第五章数列、推理与证明第1讲数列的概念与简单表示法1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数
列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
数列可以看作是定义域为N的非空子集的函数，其图象是一群孤立的点．2．数列的分类无限－1,1，－1，…摆动数列存在正数M，使|an|≤M有界数列按其他标准分类an＋1＝an常数列an＋1____an
递减数列其中n∈Nan＋1>an递增数列按项与项之间的大小关系分类项数______无穷数列项数有限有穷数列
按项数分类满足条件类型分类原则 3.数列的表示法 数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的
通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个公式an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个
数列的通项公式．5．Sn与an的关系an＋1an－1BBD 4．如图5-1-1所示的是用同样规格的黑、白两
色正方形瓷砖铺设的若干图案．若按此规律铺设，则第n个图案中需用黑)D色瓷砖的块数为(用含n的代数式表示)(
图5-1-1 A．4n B．4n＋1 C．4n－3 D．4n＋8考点1
由数列的前几项写数列的通项公式 例1：分别写出下列数列的一个通项公式，数列的前4项已给出．【规律方法】对于一个公式
能否成为一个给出的前n项的数列的通项公式，需逐项加以验证，缺一不可． 根据数列{an}的前n项求通项公式，我们常常取其
形式上较简便的一个即可．另外，求通项公式，一般可通过观察数列中各项的特点，进行分析、概括，然后得出结论，必要时可加
以验证．已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：①负号用(－1)n与(－1)n＋1[或(－1)n－1]来调
节；②分数形式的数列，分析分子、分母的特征，且充分借助分子、分母的关系； ③相邻项的变化特征； ④拆项后的特征；
⑤对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列，等比数列(后面专门学习)和其他方法解决； ⑥此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，
主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差或等比数列)等方法．【互动探究】1．已知数
列{an}的前4项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{an}的通项公式的个数有()A．1个B．2个C．
3个D．4个 解析：由三角函数公式知，②和③实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1,0,1,0的通项公式；对
于④，易看出，它不是数列{an}的通项公式；对于⑤，将n＝3代入，a3＝3≠1，故⑤不是{an}的通项公式；①显然
是数列{an}的通项公式．综上所述，可作为数列{an}的通项公式有3个．故选C.答案：C2．古希腊人常用小石子在沙
滩上摆成各种形状来研究数，如图5-1-2.图5-1-2 他们研究过图5-1-2(1)中的1,3,6,10，…，由于这
些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图5-1-2(2)中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下
列数中既是三角形数又)是正方形数的是( A．289 C．1225 B．1024D．1378C考点
2由递推关系式求数列的通项公式 例2：已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1，n∈N. (1)若a1＝－1，写
出此数列的前4项，并推测该数列的通项公式； (2)若a1＝1，写出此数列的前4项，并推测该数列的通项公
式． (2)方法一：a1＝1，a2＝2×1＋1＝3，a3＝2×3＋1＝7，a4＝2×7＋1＝15，可推测该数列{an
}的通项公式为an＝2n－1.方法二：由an＋1＝2an＋1?an＋1＋1＝2(an＋1)?an＋1＋1=(a1＋1)2n－
1?an＋1＝2n－1. 解：(1)a1＝a2＝a3＝a4＝－1， 可推测该数列{an}的通项公式为an＝－1. 【
规律方法】数列的递推公式是由递推关系式(递推)和首项(基础)两个因素所确定的，即使递推关系完全一样，而首项不同就可得到两个不同的数列；适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体把握是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一. |
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