2014-2015学年重庆市中山学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题．（每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A．x＞﹣2
B．x＜﹣2
C．x≠﹣2
D．x≥﹣2
2．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A．B．C．D．
3．下列根式中不是最简二次根式的是()
A．
B．
C．
D．
4．方程x（x+3）=x+3的解是()
A．x=0
B．x1=0，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3
D．x1=1，x2=﹣3
5．一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为()
A．m=﹣2，n=7
B．m=2．n=7
C．m=﹣2，n=1
D．m=2．n=﹣7
6．如图，⊙O的弦AB等于它的半径，点C在优弧AB上，则()
A．∠ACB=30°
B．∠ACB=60°
C．∠ABC=110°
D．∠CAB=70°
7．已知两圆相切，圆心距为5，且其中一圆半径为3，那么另一个圆的半径为()
A．2
B．2或8
C．8
D．不能确定
8．S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是()
A．1500（1+x）2=980
B．980（1+x）2=1500
C．1500（1﹣x）2=980
D．980（1﹣x）2=1500
9．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为()
A．a
B．a
C．（﹣1）a
D．（2﹣）a
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有()
①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上．
11．计算：=__________．
12．若a＜0，化简|a﹣3|﹣=__________．
13．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=__________．
14．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为__________．
15．若点P（m，2）与Q（3，n）关于原点对称，则m=__________；n=__________．
16．如图，直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有__________个．
三、解答题.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．计算：（3+﹣4）÷．
18．解方程：x2+2x﹣7=0．
19．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
20．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8mm（如图），求此小孔的直径d．
21．先化简，再求值：（﹣）?，其中x=﹣2．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）△OB2P为等腰三角形，且P在x轴上，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
23．要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
24．如图：在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上运动，试探究：当点E运动到何处时，DE与⊙O相切？并证明DE是⊙O的切线．
25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
26．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解．
（1）求M点的坐标．
（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．
（3）若D是劣弧的中点，当∠PAD等于多少度时，四边形PADB是梯形？说明你的理由．
2014-2015学年重庆市中山学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题．（每小题4分，共40分）在每小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在题后的括号中．
1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是()
A．x＞﹣2
B．x＜﹣2
C．x≠﹣2
D．x≥﹣2
考点：二次根式有意义的条件．
分析：根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
解答： 解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥﹣2．
故选D．
点评：主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子（a≥0）叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．在下列四个图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()
A．
B．
C．
D．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解答： 解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
C、不是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选B．
点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3．下列根式中不是最简二次根式的是()
A．
B．
C．
D．
考点：最简二次根式．
分析：找到被开方数中含有开得尽方的因数的式子即可．
解答： 解：各选项中只有选项C、=2，不是最简二次根式，
故选：C．
点评：最简二次根式必须满足两个条件：
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4．方程x（x+3）=x+3的解是()
A．x=0
B．x1=0，x2=﹣3
C．x1=1，x2=3
D．x1=1，x2=﹣3
考点：解一元二次方程-因式分解法．
分析：先移项，使方程右边为0，再提公因式（x+3），然后根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0．”进行求解．
解答： 解：原方程可化为：x（x+3）﹣（x+3）=0
即（x﹣1）（x+3）=0
解得x1=1，x2=﹣3
故选D．
点评：本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．
5．一同学将方程x2﹣4x﹣3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m、n的值应为()
A．m=﹣2，n=7
B．m=2．n=7
C．m=﹣2，n=1
D．m=2．n=﹣7
考点：一元二次方程的一般形式．
分析：先把（x+m）2=n展开，化为一元二次方程的一般形式，再分别使其与方程x2﹣4x﹣3=0的一次项系数、二次项系数及常数项分别相等即可．
解答： 解：∵（x+m）2=n可化为：x2+2mx+m2﹣n=0，
∴，解得：．
故选A．
点评：此题比较简单，解答此题的关键是将一元二次方程化为一般形式，再根据题意列出方程组即可．
6．如图，⊙O的弦AB等于它的半径，点C在优弧AB上，则()
A．∠ACB=30°
B．∠ACB=60°
C．∠ABC=110°
D．∠CAB=70°
考点：圆周角定理．
分析：欲求∠ACB，又可求圆心角∠AOB=60°，可利用圆周角与圆心角的关系求解．
解答： 解：连接OA、OB，
∵AB=OA=OB，
∴∠AOB=60°，
∴∠ACB=30°．
故选A．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
7．已知两圆相切，圆心距为5，且其中一圆半径为3，那么另一个圆的半径为()
A．2
B．2或8
C．8
D．不能确定
考点：圆与圆的位置关系．
专题：分类讨论．
分析：两圆相切，分为内切、外切两种情况，内切时，R﹣3=5，外切时，R+3=5．
解答： 解：因为两圆相切，圆心距为5，设另一个圆的半径为R，
当内切时，R﹣3=5，解得R=8，
当外切时，R+3=5，解得R=2．故选B．
点评：本题相切要考虑两种情况，根据两种情况对应的数量关系，分别求解．
8．S型电视机经过连续两次降价，每台售价由原来的1500元降到了980元．设平均每次降价的百分率为x，则下列方程中正确的是()
A．1500（1+x）2=980
B．980（1+x）2=1500
C．1500（1﹣x）2=980
D．980（1﹣x）2=1500
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题．
分析：本题可先列出第一次降价的售价的代数式，再根据第一次的售价列出第二次降价的售价的代数式，然后根据已知条件即可列出方程．
解答： 解：依题意得：第一次降价的售价为：1500（1﹣x），
则第二次降价后的售价为：1500（1﹣x）（1﹣x）=1500（1﹣x）2，
∴1500（1﹣x）2=980．
故选C．
点评：本题考查的是一元二次方程的运用，要注意题意指明的是降价，应该是1﹣x而不是1+x．
9．如图，用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x为()
A．a
B．a
C．（﹣1）a
D．（2﹣）a
考点：垂径定理的应用；等腰直角三角形；正方形的性质；特殊角的三角函数值．
专题：压轴题．
分析：作出图象，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距就可以了．
解答： 解：如图，正方形ABCD是圆内接正方形，BD=a，
点O是圆心，也是正方形的对角线的交点，则OB=，
△BOC是等腰直角三角形，
作OF⊥BC，垂足为F，由垂径定理知，点F是BC的中点，
∴OF=OBsin45°=，
∴x=EF=OE﹣OF=a．
故选B．
点评：本题利用了正方形的性质，垂径定理，正弦的概念，等腰直角三角形的性质求解．
10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有()
①AE=CF；②EC+CF=；③DE=DF；④若△ECF的面积为一个定值，则EF的长也是一个定值．
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④
考点：旋转的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定；勾股定理．
专题：压轴题．
分析：①如果连接CD，可证△ADE≌△CDF，得出AE=CF；
②由①知，EC+CF=EC+AE=AC，而AC为等腰直角△ABC的直角边，由于斜边AB=8，由勾股定理可求出AC=BC=4；
③由①知DE=DF；
④∵△ECF的面积=×CE×CF，如果这是一个定值，则CE?CF是一个定值，又EC+CF=，从而可唯一确定EC与EF的值，由勾股定理知EF的长也是一个定值．
解答： 解：①连接CD．
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点D为AB的中点，
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
在△ADE与△CDF中，∠A=DCF=45°，AD=CD，∠ADE=∠CDF，
∴△ADE≌△CDF，
∴AE=CF．说法正确；
②∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=8，
∴AC=BC=4．
由①知AE=CF，
∴EC+CF=EC+AE=AC=4．说法正确；
③由①知△ADE≌△CDF，
∴DE=DF．说法正确；
④∵△ECF的面积=×CE×CF，如果这是一个定值，则CE?CF是一个定值，
又∵EC+CF=，
∴可唯一确定EC与EF的值，
再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确．
故选D．
点评：本题综合考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及方程的思想，有一定难度．
二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）每小题中，请将正确答案直接填在题后的横线上．
11．计算：=6．
考点：二次根式的乘除法．
分析：根据二次根式的乘法法则计算．
解答： 解：==6．
故答案为：6
点评：主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则=（a≥0，b≥0）．
12．若a＜0，化简|a﹣3|﹣=3．
考点：二次根式的性质与化简．
分析：此题考查了绝对值的定义及二次根式的化简．
解答： 解：∵a＜0，
∴a﹣3＜0，
∴|a﹣3|﹣=﹣a+3+a=3．
故答案为：3．
点评：考查了根据绝对值的定义及二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．
13．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个解是0，则m=﹣2．
考点：一元二次方程的解．
分析：一元二次方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．将x=0代入方程式即得．
解答： 解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．
故答案为：m=﹣2．
点评：此题要注意一元二次方程的二次项系数不得为零．
14．如图，⊙O的直径CD过弦EF的中点G，∠EOD=40°，则∠FCD的度数为20°．
考点：圆周角定理；垂径定理．
专题：压轴题．
分析：根据垂径定理得出弧DE等于弧DF，再利用圆周角定理得出∠FCD=20°．
解答： 解：∵⊙O的直径CD过弦EF的中点G，
∴=，
∴∠DCF=∠EOD，
∵∠EOD=40°，
∴∠FCD=20°，
故答案为：20°．
点评：此题主要考查了垂径定理以及圆周角定理的推论，灵活应用相关定理是解决问题的关键．
15．若点P（m，2）与Q（3，n）关于原点对称，则m=﹣3；n=﹣2．
考点：关于原点对称的点的坐标．
分析：根据关于原点对称的两点的横、纵坐标都是互为相反数解答．
解答： 解：∵点P（m，2）与Q（3，n）关于原点对称，
∴m=﹣3，n=﹣2．
故答案为：﹣3，﹣2．
点评：本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟记关于原点对称点两点的横、纵坐标都是互为相反数是解题的关键．
16．如图，直线y=x+与x轴、y轴分别相交于A，B两点，圆心P的坐标为（1，0），⊙P与y轴相切于点O．若将⊙P沿x轴向左移动，当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P有3个．
考点：坐标与图形性质；直线与圆的位置关系．
专题：压轴题；动点型．
分析：因为是动点，所以从特殊位置（相切）入手分析，分右相切和左相切两种情况，然后求解．
解答： 解：若圆和直线相切，则圆心到直线的距离应等于圆的半径1，
据直线的解析式求得A（﹣3，0），B（0，），
则tan∠BAO==，
所以∠BAO=30°，
所以当相切时，AP=2，
点P可能在点A的左侧或右侧．所以要相交，应介于这两种情况之间，即需要移动的距离＞4﹣2=2，而＜3+2=5，此时横坐标为整数的点P有（﹣2，0）（﹣3，0）（﹣4，0）三个．
故答案为3．
点评：注意：本题正确答案为3，有许多学生把直线与圆相切的点也看成交点，得到答案是5；也有的学生只考虑⊙P在线段OA之间运动，得到答案为2．
三、解答题.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．
17．计算：（3+﹣4）÷．
考点：二次根式的混合运算．
专题：计算题．
分析：先把各二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
解答： 解：原式=（9+﹣2）÷4
=8÷4
=2．
点评：本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18．解方程：x2+2x﹣7=0．
考点：解一元二次方程-配方法．
专题：计算题；配方法．
分析：首先把方程移项，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，左边就是完全平方式，右边就是常数，然后利用平方根的定义即可求解．
解答： 解：∵x2+2x﹣7=0
∴x2+2x=7
∴x2+2x+1=7+1
∴（x+1）2=8
∴x=±﹣1
x1=﹣，x2=．
点评：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
19．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．
专题：开放型．
分析：（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围；
（2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可．
解答： 解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴（﹣3）2﹣4（﹣k）＞0，
即4k＞﹣9，解得；
（2）若k是负整数，k只能为﹣1或﹣2；
如果k=﹣1，原方程为x2﹣3x+1=0，
解得，，．
（如果k=﹣2，原方程为x2﹣3x+2=0，解得，x1=1，x2=2）
点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．
20．要测量一个钢板上的小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上，测的钢珠顶端与小孔平面的距离h=8mm（如图），求此小孔的直径d．
考点：垂径定理的应用．
分析：作OD⊥AB，交⊙O与点C，连接OB．根据垂径定理，得CD垂直平分AB．根据勾股定理求得BD的长，再根据垂径定理求得AB的长．
解答： 解：作OD⊥AB，交⊙O与点C，连接OB．
由垂径定理得：CD垂直平分AB．
∴CD=h=8mm，OD=CD﹣CO=3mm．
在Rt△ODB中，BD2=OB2﹣OD2=16，
∴BD=4mm．
∴AB=2BD=8mm．
答：此小孔的直径d为8mm．
点评：能够从实际问题中抽象出几何模型，熟练运用勾股定理和垂径定理．
21．先化简，再求值：（﹣）?，其中x=﹣2．
考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值．
专题：探究型．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
解答： 解：原式=×
=3（x+1）﹣x+1
=3x+3﹣x+1
=2x+4．
当x=﹣2时，原式=2×（﹣2）﹣2=2﹣4﹣2=2﹣6．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（0，1），B（﹣1，1），C（﹣1，3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2；
（3）△OB2P为等腰三角形，且P在x轴上，请直接写出所有符合条件的P点坐标．
考点：作图-旋转变换；等腰三角形的性质；作图-轴对称变换．
分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x的轴对称点，顺次连接可得△A1B1C1；
（2）分别找出A、B、C三点关于原点O的对称点，顺次连接可得△A2B2C2；
（3）分三种情况讨论即可求得．
解答： 解：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示：
（2）画出△ABC绕原点O顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C2如图所示：
（3）①OB2=PB2时，OP=2OA2=2，
∴P1（2，0）；
②OB2=OP时，∵OB=，
∴P2（﹣，0），P3（，0）；
③OP=B2P时，P4（1，0）．
综上，符合条件的P点坐标为（1，0），（2，0），（，．
点评：本题考查了轴对称作图、旋转作图以及等腰三角形的性质，解答本题的关键是熟练轴对称的性质和旋转的性质．
23．要对一块长60米，宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化、设计方案如图所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
分析：可把P，Q通过平移看做一个矩形，设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，用含x的代数式分别表示出绿地的长为60﹣3x，宽为40﹣2x，利用“两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的”作为相等关系列方程求解即可．
解答： 解：设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得
解之得
x1=10，x2=30
经检验，x2=30不符合题意，舍去．
答：两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．
点评：解题的关键是通过平移的方法，把分开的两块绿地合成一块长方形的绿地，利用其面积是矩形ABCD面积的作为相等关系列方程．
24．如图：在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E在BC上运动，试探究：当点E运动到何处时，DE与⊙O相切？并证明DE是⊙O的切线．
考点：切线的判定．
专题：探究型．
分析：若E为BC的中点时，连接OD，DE，如图，根据圆周角定理得∠ADB=90°，由于E为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得DE=BE，则利用等腰三角形的性质有∠BDE=∠DBE，加上∠ODB=∠OBD，则∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD，则∠ODE=∠OBD=90°，于是根据切线的判定方法即可判断DE是⊙0的切线．
解答： 解：当E为BC的中点时，DE与⊙0相切．
证明如下：连接OD，DE，如图，
∵AB是⊙0直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BDC=90°，
又∵E为BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠BDE=∠DBE，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠BDE+∠ODB=∠DBE+∠OBD
即∠ODE=∠OBD，
∵∠ABC=90°
∴∠OBD=90°，
∴OD⊥DE
∴DE是⊙0的切线．
点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件；
（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？
考点：一元二次方程的应用．
专题：销售问题．
分析：此题属于经营问题，若设每件衬衫应降价x元，则每件所得利润为（40﹣x）元，但每天多售出2x件即售出件数为件，因此每天赢利为（40﹣x）元，进而可根据题意列出方程求解．
解答： 解：（1）设每件衬衫应降价x元，
根据题意得（40﹣x）=1200，
整理得2x2﹣60x+400=0
解得x1=20，x2=10．
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，
故每件衬衫应降20元．
答：每件衬衫应降价20元．
（2）设商场平均每天赢利y元，则
y=（40﹣x）
=﹣2x2+60x+800
=﹣2（x2﹣30x﹣400）=﹣2[（x﹣15）2﹣625]
=﹣2（x﹣15）2+1250．
∴当x=15时，y取最大值，最大值为1250．
答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天赢利最多，最大利润为1250元．
点评：（1）当降价20元和10元时，每天都赢利1200元，但降价10元不满足“尽量减少库存”，所以做题时应认真审题，不能漏掉任何一个条件；
（2）要用配方法将代数式变形，转化为一个完全平方式与一个常数和或差的形式．
26．如图，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴切于点C，且OA，OB的长是方程x2﹣4x+3=0的解．
（1）求M点的坐标．
（2）若P是⊙M上一个动点（不包括A、B两点），求∠APB的度数．
（3）若D是劣弧的中点，当∠PAD等于多少度时，四边形PADB是梯形？说明你的理由．
考点：垂径定理；解一元二次方程-因式分解法；坐标与图形性质；勾股定理；圆周角定理．
分析：（1）解方程x2﹣4x+3=0得x1=1，x2=3，则OA=1，OB=3，作图ME⊥x轴，垂足为E，则E平分AB，Rt△AEM中，ME=而求得点M．
（2）连接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是正方形得到∠AMB=60°，
当P时优弧上的点时，当P时劣弧上的点时，得到结果．
（3）若梯形PADB中PA∥BD，则∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°，得到∠PAD=30°，若梯形PADB中PB∥AD，则∠PAD+∠APD=180°由（2）可知∠APB=30°而解得．
解答： 解：（1）解方程x2﹣4x+3=0得x1=1，x2=3，
∴OA=1，OB=3，
作图ME⊥x轴，垂足为E，则E平分AB，
∴E（2，0），即M得横坐标为2，
故可得MA=MC=R=2，
在Rt△AEM中，ME=，
∴M（2，）
（2）连接MA，MB，由MA=MB=AB=2知△MAB是等边三角形
∴∠AMB=60°
当P时优弧上的点时，
当P时劣弧上的点时，
（3）若梯形PADB中PA∥BD
则∠PAD+∠ADB=180°由（2）可知∠ADB=150°
∴∠PAD=30°
若梯形PADB中PB∥AD，则∠PAD+∠APD=180°，由（2）可知∠APB=30°
∴∠PAD=150°．
点评：此题综合运用了相交弦定理、垂径定理，由方程求得点的坐标，在正方形中，梯形中来计算弦，以及相关角度．
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