《数学之友》2015年第8期
数学教学中培养学生探究能力的几点建议
潘倩
(江苏省外国语学校，215104)
探究是数学教学的生命线．哈佛大学有一句名
言：教育的真正目的就是让学生不断提出问题和思
索问题．在学习中思索、研究，在思索、研究中学习．
但在数学教学中存在这样一个现象，学生能听懂老
师讲的例题，但当自己独立去解决同样类型的问题
时却不知所措．究其原因，主要在于教师没有很好地
启发学生的思考，教师只是告诉学生解答的结果，演
示了一遍解答的过程，忽视了解决问题方法的发现
过程的展示，忽视了探索解决问题方法的传授，致使
学生在独立解题时由于不知道思考方法而无从下
手．实质上就是没有给学生自主探究的学习机会，所
以学生也就不能达到对数学知识的深刻理解．本文
结合笔者教学实践谈谈在数学教学中培养学生探究
能力的几点建议．
1创设问题情境，激发探究欲望
教师引导学生探究就是要寻找问题最佳的切入
点，为学生设置适宜探究的情境气氛，吸引学生的兴
趣，充分调动学生学习的积极性，让学生自觉主动参
与到课堂教学中来．这就需要事实探究主题的激趣
策略、亲近策略和问题生成策略，引导学生大胆生
疑，主动进入自学探究阶段，探究主题．例如在《基
本不等式》一节的教学中，设计如下两个实际应用
问题，引导学生从中发现关于均值不等式的定理及
其推论．(1)某商店在节前进行商品降价酬宾销售
活动，拟分两次降价．有3种降价方案：甲方案是第
一次打P折，第二次打g折销售；乙方案是第一次打
q折，第二次打P折销售；丙方案是两次都打折
二
销售．请问：哪一种方案降价较多?(2)今有一台天
平两臂之长略有差异，其他均精确．有人要用它称量
物体的重量，只需将物体放在左右两个托盘中各称
一次，再将称量结果相加后除以2就是物体的真实
重量．你认为这种做法对不对?如果不对的话，你能
否找到一种用这台天平称量物体重量的正确方法?
这样学生所面临的情境问题是他们所熟悉的、常见
的，但又是新奇的富有挑战性的，学生就可能处于一
·16·
种想知而未知，欲罢而不能的心理状态，引起强烈的
探究欲望．
2启发学生猜想、引申、拓展，培养探究能力
有些问题若直接让学生就一般情况给出结论，
对初学者而言难度较大，这样就可启发学生就简单
情形做实验，从而引出猜想．这也就是华罗庚教授所
提倡的退步解题法．可以采用由易到难、由直观到抽
象、类比、化归等多种手段，使学生易于自己动手解
决，体验成就感，增强原动力，最终解决要探究的问
题．例如，在数列中的问题：平面内的n条直线最多
有多少个交点?对于学生而言感到很困难，但为了
简便起见，可设平面内的n条直线最多交点为a
个，这样学生就可以得到a=0，a：=1，a=3，a=
6，a=10，寻找并发现规律：要产生最多交点，第凡
条直线必须与其它(n一1)条直线都相交，即有(凡一
1)个交点．所以a=a+／7,一1，然后再用累加法可
求得a．
探究：(1)平面内的n(孔>1)条直线最多将平
面分成几个部分?(2)空间中的n(n>1)个平面最
多将空间分成几个部分?让学生自己解决．
3变换问题背景，培养探究能力
拓展探究的目的是拓宽学生学习与交流的空
间，增加知识间的融会贯通．此时教师要根据内容的
特点简要归纳概括所用到的知识和方法，给学生交
代清楚．然后要求学生运用探究获得的知识和方法，
解决类似或相关的问题，学会举一反三．
11
例如：已知正数，Y满足+2y=1，求+的
Y
最小值．
这是道基本不等式题，在介绍完典型的解法后，
就以此知识为基础让学生去探究不同背景下的相关
题的解法．
1n
探究1：(不等式背景)已知n，b为正数，且+÷
ao
=1，则使得a+6≥恒成立的的取值范围是．
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探究2：(函数背景)若口>1，设函数f()：0
+-4的零点m，g()=log。+一4的零点为n，
则+的最小值为
／nn
探究3：(三角背景)已知0<
二
1
0的常数()=÷+—}的最小值为9，则t的
SlnCos
值为．
——
—
探究4：(向量背景)在AABC中，点0满足BO
=2De，过点0的直线交射线AB，AC于不同的两点
，Ⅳ，若：m劢，：n，则+的最小值
lnn
为．
探究5：(解析几何背景)若直线2ax+一2=0
(0，b>o)平分圆+Y一2x一4y一6=0，则÷+÷
的最小值为．
这类题思维量大，能较好地考查学生利用基本
不等式求函数最值的重点知识，可考查学生化归与
转化能力、分析问题解决问题的能力．通过把一道题
目变成几个题目，学生不断地探究解决问题，把学过
的知识反复地应用与巩固，促进知识间的联系、渗透
和迁移，培养学生的探究习惯、探究意识和探究
能力．
当然教师在设计探究教学方案时还应充分考虑
学生已有的认知水平，如果教师给出的探究性问题
与学生的已有知识的潜在距离过大，学生就难以展
开探究，如果教师给出的探究性问题与学生的已有
知识的潜在距离过小，那么对学生来说就缺乏挑战
性，课堂教学就缺乏紧凑感，也无法调动学生学习与
研究数学问题的积极性．所以探究性问题应设置在
学生认知的最近发展区内，使学生的学习过程成为
教师引导下的再探索、再创造的过程．
4引导学生反思，培养探究能力
在数学活动中引导学生反思，能促进他们从
新的角度对问题的条件、结论、方法等进行全面的
考察、分析与思考，弄清各知识要素在问题中的地
位与作用，探究性地加以重新整合构造，从而深化
对问题本质的理解．探索一般规律，在产生新的结
论和方法的同时，使学生养成独立思考、积极探究
的习惯．
例如：求过点P(2，1)且与两坐标围成的三角形
面积是2的直线Z的方程．
解：直线Z的斜率显然是存在的，设为，则直线
z的方程为Y一1=|j}(一2)，其与坐标轴的交点分别
为Al2一÷，0l，B(0，1—2k)．、，I，，
1I1I
．s△A0B=寺I2一亡I‘l1—2kl=2，
，''厅
解得k=
1L匾
所以直线z的方程为Y—l=(一2)．
教师引导学生反思：满足条件的直线Z为什么
只有两条，是否与AABC的面积大小有关?改变面
积大小会影响直线Z的个数吗?
探究1：当直线Z绕点P旋转时，与坐标轴围成
的三角形可能在哪几个象限?
由于点P在第一象限，学生很容易看出三角形
可能存在于第一、二、四三个象限．
探究2：当直线Z与坐标轴围成的三角形在第二
象限时，三角形的面积可能的取值范围是什么?
让学生动手去探究，将直线Z绕点P旋转，从动
态的三角形可以看出当Z的倾斜角很小时，f与轴
负半轴的交点与原点的距离趋于无穷大，所以三角
形面积的取值范围为(0，+∞)．从这个结论你能悟
出什么?
学生恍然大悟：第二象限的三角形肯定存在，它
的面积可以取任何值，有三角形的存在得出直线Z
的存在．同样，当直线z与坐标轴围成的三角形在第
四象限时，它的面积也可以取任何值，直线z也是存
在的．这样就得出无论三角形的面积是多少，至少有
2条满足条件的直线Z．
探究3：如果直线z与坐标轴围成的三角形在第
一象限，它的存在性是否与面积的大小有关?
学生发现从原题可知面积是2且在第一象限的
三角形是不存在的．那么教师继续引导“为什么不
存在呢?你能求出第一象限的三角形的面积吗?”
此时学生肯定k<0，
所以SAA∞寺(2一1)‘(1—2)
=丢【4+(一)+()】．
由基本不等式可知当k=一÷时，S=4．
至此，学生已彻底明白原题中面积是2时直线
为什么只有2条!(下转第20页)
·17·
《数学之友》2015年第8期
课堂上，学生走向前台，积极交流、耐心倾听、敢
于发表自己的想法．学生汇报时，教师适时介入，引
导学生对两个同学的方法进行比较，说说有什么发
现?有哪些相同的地方?有哪些不同的地方．通过
比较，找准落脚点，发现数学价值．交流时，纠正自己
的错误，提醒同学，使学生的思维在交流分享的过程
能获得提升．
3．2捕捉课堂生成的资源，深度对话
“学生是教育的对象，更是教育的资源”．学生
的经验、感受、创意、见解、问题、困惑都是不可忽视
的教学资源，教师要善于捕捉、善于发现学生易混、
易错的学习内容，鼓励学生主动提出问题．教师精心
组织学生讨论，引起争论，及时点拨、启发，打开学生
思维的局限、深入理解要解决的问题．
如教学《倍数和因数》，学生根据所写的“36的
因数：1、2、3、4、6、9、12、24、36”“l5的因数：l、3、5、
l5”“16的因数：1、2、4、8、16”，发现了一个数最小的
因数是I，最大的因数是它本身，一个数的因数的个
数是有限的．这时，有一个学生举手：“我还发现一
个偶数的因数的个数是奇数，一个奇数的因数的个
数是偶数．”大家一数，还真是这样．这时，执教老师
没有急于回答，而是说：“真的是这样吗?”片刻，有
学生举手了．学生(1)：“我举个例子，9的因数：1、3、
9．9是奇数，但它的因数的个数不是偶数．”学生
(2)：“8的因数是1、2、4、8．8是偶数，但它的因数的
个数不是奇数．”老师适时评价：“刚才，我们通过一
些例子，证明了刚才这位同学的发现不全面．但这位
同学的思考却给我们提供了深人探讨的机会，我们
一起感谢他!”这位老师的巧妙启发、智慧评价，保
护了学生的问题意识和大胆质疑的精神，激活了学
生的求异思维，促进了学生的探究学习，课堂成为了
自由、开放、生成的学堂．
学生经历整合资源的全过程，有足够的时问和
空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动，
真正走向数学．课堂上，学生在交流中分享，在分享
中收获，在思维的碰撞中提升，从自发走向自觉，实
现生命的成长．
参考文献：
[1]史宁中．数学课程标准解读(2011年版)
[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．2．
[2](美)拉尔夫·泰勒，著．课程与教学的基
本原理[M]．罗康，张阅，译．北京：中国轻工业出版
社。2014．
(上接17页)
探究4：过点P(2，1)且与两坐标轴围成的三角
形面积是．s的直线有几条?
由上面的讨论不难得到：S<4时，2条；S=4，3
条；S>4，4条．
这样，学生在教师的引导下，通过对原题的反
思，引发出对面积的大小与直线存在的条数的探究，
最终得到了完美的结局，学生对此类问题也有了透
彻的认识．
5营造和谐课堂，创设探究氛围
一个老师喋喋不休学生鸦雀无声的课堂不是好
课堂，这样的课堂严重压抑了学生学习的积极性、主
动性与创造性，更谈不上培养学生的探究精神和探
究能力了．尊重学生的独特感悟，鼓励探究学习，教
学要以学生为中心，尊重学生的不同感受及其思考
方向，引导学生主动、富有个性地学习．课堂教学中
出现意外，教师事先准备好的成功经验受到冲击时，
教师也应充分肯定和鼓励学生敢想、善想、勇于探索
的精神，让学生畅所欲言地展示其独特的探究体验，
·2O·
因为学生的探究体验就是他探究能力提升的有利因
素．但同时也要对学生运用探究方法给予适当的总
结和引导．其作用在于进一步让学生牢记探究的方
法，养成自主探究的习惯，把学习探究变成自己生活
的乐趣．
教育就是生活，学生对知识的探索与发现正是
对思维的磨炼，也是对其生活能力的提高．如何培养
学生的探究意识和探究能力是当代教育的主题，如
何让探究之花在课堂绽放是我们目前探索的一个课
题，我们要做生活的有心人，要让每一个学生进发出
智慧的火花，要让每一位学生感悟到洞悉新天地的
愉悦．
参考文献：
[1]陈前进．浅谈探究教学情境的设计[J]．
考试，2011．
[2]唐红侠．实践体验、探究是数学解题的重
要基础[J]．中学数学教学参考，2005(11)：27．
[3]徐学福．探究学习数学策略[M]．北京：
北京师范大学出版社，2010．
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