《数学之友》
解题探索
透视“组合"题型解法
张成永
(江苏省淮北中学，223900)
组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有
很多特别的技巧，本文通过几个例题来说明组合中
几种常见题型的解法．
1特殊元素位置优先法
例1从0，1，……，9这l0个数字中选取数字
组成偶数，可以得到不含相同数字的五位偶数多
少个?
分析：偶数要求末位应是偶数，但万位不能选
0，可以考虑位置优先法．
解：个位选0，有A：个，个位不选0且万位不能
选0，有c41乙81A；个，所以一共可以A；+c41乙8138=
13775个偶数．
评注：0、2、4、6、8是特殊元素，元素0更为特
殊，首位与末位是特殊的位置．
2有序分配问题逐分法
例2有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，
乙、丙各需1人承担，从l0人中选出4人承担这三
项任务，不同的选法总数有多少种?
分析：甲、乙、丙三项任务，需要不同的人，可以
考虑逐分法．
解：先从lO人中选出2个承担甲项任务，再从
剩下8个中选1人承担乙项任务，第三步从另外7
人中选1个承担两项任务，不同的选法共有c：。·C
·C；=2520种．
评注：有序分配问题是指把元素按要求分成若
干组，可用逐步下量分组法．
3“至少”问题间接法
例3从4台甲型和5台乙型电视机中任取出
3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同
的取法共有多少种?
分析：逆向思考，至少各一台的反面就是分别
只取一种型号，不取另一种型号的电视，这样考虑比
较简单，故可考虑间接法．
．86．
解：从4台甲型中选3台有c；种，5台乙型小
选3台有C；种，故不同取法有C；一C；一C；=70种．
评注：关于“至少”类型组合问题，用间接法较
方便．
4选排问题——先取后排法
例4四个不同的球放人编号为1，2，3，4的四
个盒中，则恰有一个空盒的放法共有多少种?
分析：因为恰有一个是空盒，则一定是有两个球
在一起，先从4个球中选2个，然后将其与其它两球
向四个盒中排，故可以考虑先取后排法．
解：先取四个球中的二个为一组，另两组备…·个
球的方法有c种，再排：在四个盒子每次排三个有
A：种，故共有c：·A；=144种．
评注：从几类元素中取出符合题意的几个元素，
再安排到一定位置上，可用先取后排''法I
5部分合条件问题——排除法
例5以一个正方体顶点为顶点的四面体共有
多少种?
分析：正方体有8个顶点，但是6个表面和6个
对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，故可以
考虑排除法．
解：正方体的8个顶点理论上有c：种，除去六
个表面和6个对角面得四个顶点共面共l2个，即
c：一12=58．
评注：在选取总数中，只有一部分合条件，可从
总数中减去不合条件数，即为所求．
．总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：
排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为
加，分步为乘．
参考文献：
[1]单螬．解题研究[M]．上海：上海教育出
版社，2013．
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