Gothedistance
第3章中值定理与导数的应用
内容概要
名称主要内容（3.1、3.2）
3.1
中值
定理
名称条件结论
罗尔
中值
定理
)(xfy?：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b
内可导；（3）)()(bfaf?
至少存在一点)(a,bξ?使得
0)(/?ξf
拉格
朗日
中值
定理
)(xfy?：（1）在][a,b上连续；（2）在)(a,b
内可导
至少存在一点)b,a(??使得
)(/ξfabafbf???)()(
柯西
中值
定理
)(xf、)(xg：（1）在][a,b上连续，在)(a,b
内可导；（2）在)(a,b内每点处0)(/?xg
至少存在一点)(a,bξ?使得
abafbfξgξf???)()()()(/
/
3.2
洛必
达
法则
基本形式
00型与??型未定式
通分或取倒数化为
基本形式1）???型：常用通分的手段化为00型或??型；
2）??0型：常用取倒数的手段化为00型或??型，即：
0001/0?????或01/0???????；
取对数化为
基本形式1）0型：取对数得00ln00e??，其中000ln001/0???????
或0ln001/0?????????；
2）?1型：取对数得ln11e????，
其中00ln101/0????????
或ln101/0??????????；
3）0?型：取对数得????ln00e，
其中000ln01/0????????
或0ln01/0??????????。
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课后习题全解
习题3-1
★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值?。
（1）]511[32)(2.,,xxxf????；（2）]30[3)(,,xxxf??。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/?ξf，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2???xxxf在]511[.,?上连续，在)5.1,1(?内可导，且0)51()1(???.ff，
∴32)(2???xxxf在]511[.,?上满足罗尔定理的条件。令()410fξξ????得
)511(41.,ξ???即为所求。
（2）∵xxxf??3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(??ff，
∴xxxf??3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。令
()3023ξfξξξ??????，得)30(2,ξ??即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423????xxxy在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10fffξ????，若得到的根]10[,ξ?则
可验证定理的正确性。
解：∵32()452yfxxxx?????在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423????xxxy在
区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。又2)0(2)1(????,ff，2()12101fxxx????，
∴要使(1)(0)()010fff??????，只要：513(01)12,????，
∴513(01)12,?????，使(1)(0)()10fffξ????，验证完毕。
★3.已知函数4)(xxf?在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
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解：要使(2)(1)()21fffξ????，只要3315415
4ξ????
，从而315(12)
4ξ,??
即为满足定理
的?。
★★4.试证明对函数rqxpxy???2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为][a,b，则函数rqxpxy???2在][a,b上连续，在)(a,b内可导，从
而有()()()fbfafξba????，即abrqaparqbpbqξ????????)()(222，
解得2abξ??，结论成立。
★5.函数3)(xxf?与1)(2??xxg在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满
足定理的数值ξ。
知识点：柯西中值定理。
思路：根据柯西中值定理的条件和结论，求解方程()()()
()()()fξfbfagξgbga?????
，得到的根ξ便为所求。
解：∵3)(xxf?及2g()1xx??在]21[,上连续，在)21(,内可导，且在)21(,内的每一点处有
()20gxx???，所以满足柯西中值定理的条件。要使()(2)(1)()(2)(1)fξffgξgg?????，只要37232?ξξ，解
得)21(914,ξ??，ξ即为满足定理的数值。
★★★6.设)(xf在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(?f。求证：
存在)10(,ξ?，使()()fξfξ
ξ???
。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：从
ξξfξf)()(/??
结论出发，变形为0)()(/??ξfξξf，构造辅助函数使其导函数为
)()(/xfxxf?，然后再利用罗尔中值定理，便得结论。构造辅助函数也是利用中值定理解决问题时常
用的方法。
证明：构造辅助函数)()(xxfxF?，()()()Fxfxxfx????
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根据题意)()(xxfxF?在]10[,上连续，在)10(,内可导，且0)1(1)1(???fF，
0)0(0)0(???fF，从而由罗尔中值定理得：存在)10(,ξ?，使
()()()0Fξfξξfξ?????，即()()fξfξξ???。
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使()()fxfxx???，只要
()1[()][ln()][ln][ln()]00[()]0
()()fxxfxfxxxfxxfxfxxxfx???????????????
∴只要设辅助函数)()(xxfxF?
★★7.若函数)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，且)()()(321xfxfxf??
)(321bxxxa????，证明：在)(31,xx内至少有一点ξ，使得()0fξ???。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：连续两次使用罗尔中值定理。
证明：∵)(xf在)(a,b内具有二阶导函数，∴)(xf在][21,xx、][32,xx内连续，
在)(21,xx、)(32,xx内可导，又)()()(321xfxfxf??，
∴由罗尔定理，至少有一点)(211,xxξ?、)(322,xxξ?，
使得1()0fξ??、2()0fξ??；又()fx?在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，
从而由罗尔中值定理，至少有一点??)(21,ξξξ)(31,xx，使得()0fξ???。
★★8.若4次方程043223140?????axaxaxaxa有4个不同的实根，证明：
0234322130????axaxaxa
的所有根皆为实根。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论方程根的情况可考虑罗尔中值定理。
证明：令43223140)(axaxaxaxaxf?????
则由题意，)(xf有4个不同的实数零点，分别设为4321,x,x,xx，
∵)(xf在][21,xx、][32,xx、][43,xx上连续，在)(21,xx、)(32,xx、)(43,xx上可导，
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又0)()()()(4321????xfxfxfxf，
∴由罗尔中值定理，至少有一点)(211,xxξ?、)(322,xxξ?、)(433,xxξ?
使得123()()()0fξfξfξ??????，即方程0234322130????axaxaxa至少有3个实根，又
三次方程最多有3个实根，从而结论成立。
★★★9.证明：方程015???xx只有一个正根。
知识点：零点定理和罗尔定理的应用。
思路：讨论某些方程根的唯一性，可利用反证法，结合零点定理和罗尔定理得出结论。零点定理往往用来
讨论函数的零点情况；罗尔定理往往用来讨论导函数的零点情况。
解：令1)(5???xxxf，∵)(xf在]10[,上连续，且01)1(??f，01)0(???f，
∴由零点定理，至少有一点)10(,ξ?，使得01)(5????ξξξf；
假设015???xx有两个正根，分别设为1ξ、2ξ（21ξξ?），
则)(xf在在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，且0)()(21??ξfξf，
从而由罗尔定理，至少有一点)(21,ξξξ?，使得4()510fξξ????，这不可能。
∴方程015???xx只有一个正根。
★★10.不用求出函数)4)(3)(2)(1()(?????xxxxxf的导数，说明方程()0fx??有几个实根，
并指出它们所在的区间。
知识点：罗尔中值定理的应用。
思路：讨论导函数的零点，可考虑利用罗尔中值定理。
解：∵)4)(3)(2)(1()(?????xxxxxf在]21[,、]32[,、]43[,上连续，
在)21(,、)32(,、)43(,内可导，且0)4()3()2()1(????ffff，
∴由罗尔中值定理，至少有一点)21(1,ξ?、)32(2,ξ?、)43(3,ξ?，
使得123()()()0fξfξfξ??????，即方程)0fx??至少有三个实根，
又方程()0fx??为三次方程，至多有三个实根，
∴()0fx??有3个实根，分别为)21(1,ξ?、)32(2,ξ?、)43(3,ξ?。
★★★11.证明下列不等式：
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（1）baba???arctanarctan；（2）当1?x时，exex?；
（3）设0?x，证明xx??)1(ln；（4）当0?x时，xx???11)11(ln。
知识点：利用拉格朗日中值定理。
思路：用拉格朗日中值定理证明不等式的过程：寻找函数()yfx?，通过式子()()()fbfafξba????
（或()()()()fbfafξba????）证明的不等式。
证明：（1）令xxfarctan)(?，∵)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得
21arctanarctan()()1abfξbababaξ?????????
。
（2）令xexf?)()1(?x，∵)(xf在]1[,x上连续，在)1(,x内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得eex?)(xeξ1??，
∵xξ??1，∴eexxexeeeξx???????)1()1(，从而当1?x时，exex?。
（3）令)1ln()(xxf??)0(?x，∵)(xf在]0[,x上连续，在)0(,x内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得1ln(1)ln(1)ln(10)()(0)
1xxfξxxξ??????????
，
∵xξ??0，∴xx
ξ??11
，即0?x，xx??)1ln(。
（4）令xxfln)(?)0(?x，∵)(xf在]1[xx,?上连续，在)1(xx,?内可导，
∴由拉格朗日中值定理，得11ln(1)ln(1)ln()(10)xxfξ
xξ????????
，
∵xξx???1，∴
xξ??111
，即当0?x时，xx???11)11ln(。
★★12.证明等式：)1(12arcsinarctan2
2????xπxxx
.
知识点：()0()fxfxC????（C为常数）。
思路：证明一个函数表达式)(xf恒等于一个常数，只要证()0fx??
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证明：令)1(12arcsinarctan2)(
2????xxxxxf
，
当1?x时，有π??1arcsin1arctan2；当1?x时，有
22
2222222
2
212(1)222122()
1(1)1(1)121()
1
xxxxfx
xxxxxx
x
???????????
??????
?
?0)12(12
22?????xx
，∴()(1)fxCf????；
∴)1(12arcsinarctan2
2????xπxxx
成立。
★★★13.证明：若函数)(xf在)(???,-内满足关系式()()fxfx??，且1)0(?f，则xexf?)(。
知识点：()0()fxfxC????
思路：因为()()1xxfxeefx????，所以当设()()xFxefx??时，只要证()0Fx??即可
证明：构造辅助函数()()xFxefx??，
则()()()0xxFxefxefx???????；
∴()(0)1xF(x)efxCF?????
∴xexf?)(。
★★★14.设函数)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内有二阶导数，且有
bcac,fbfaf)(0)(0)()(?????，
试证在)(a,b内至少存在一点ξ，使()0fξ???。
知识点：拉格朗日中值定理的应用。
思路：关于导函数)()(ξfn在一点处符号的判断，根据已知条件和拉格朗日中值定理的结论，逐层分析
各层导函数改变量和自变量改变量的符号，得出结论。
证明：∵)(xf在][a,c、][c,b上连续，在)(a,c、)(c,b内可导，
∴由拉格朗日中值定理，至少有一点)(1a,cξ?、)(2c,bξ?，
使得
2()()()0fcfbfξcb?????
，
1()()()0fafcfξac?????
；
又()fx?在][21,ξξ上连续，在)(21,ξξ内可导，从而至少有一点)(21,ξξξ?，
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使得21
21
()()()0fξfξfξξξ????????。
★★★15.设)(xf在][a,b上可微，且()0()0()()fa,fb,fafbA,????????试证明)(/xf在
)(a,b内至少有两个零点。
知识点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。
思路：要证明在某个区间)(a,b内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b上有三个零点，即可
以利用罗尔中值定理，得出结论。
证明：∵()()()lim0
xa
fxfafaxa
???
?????，由极限的保号性知，
)(1a,δ???（不妨设21b-aδ?），对于)(1a,δx????，均有0)()(???axafxf，
特别地，)(11a,δx????，使得0)()(
1
1???axafxf，∴得Aafxf??)()(1；
同理，由()0fb,???得)(22b,δx????（2
2b-aδ?
），使得0)()(
2
2???bxbfxf，
从而得Abfxf??)()(2；
又∵)(xf在][21,xx上连续，∴由介值定理知，至少有一点)(21,xxξ?使得Aξf?)(；
∵)(xf在][a,ξ、][ξ,b上连续，在)(a,ξ、)(ξ,b内可导，且Abfξfaf???)()()(，
∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(1a,ξξ?、)(2ξ,bξ?，使得12()()0fξfξ????，结论成立。
★★★16.设)(xf在闭区间][a,b上满足()0fx???，试证明存在唯一的bcc,a??，使得
()()()fbfafcba????。
知识点：微分中值定理或函数单调性的应用。
思路：证明唯一性的题目或考虑利用反证法；或正面论述。此题用反证法和罗尔中值定理，或利用函数的
单调性得出结论。
证明：存在性。
∵)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内可导，∴由拉格朗日中值定理知，至少有一点)(a,bc?，使得
()()()fbfafcba????。
唯一性的证明如下：
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方法一：利用反证法。假设另外存在一点)(a,bd?，使得()()()fbfafdba????，
又∵()fx?在][c,d（或][d,c）上连续，在)(c,d（或)(d,c）内可导，
∴由罗尔中值定理知，至少存在一点)()(a,bc,dξ??（或)()(a,bd,cξ??），使得()0fξ???，
这与)(xf在闭区间][a,b上满足()0fx???矛盾。从而结论成立。
方法二：∵)(xf在闭区间][a,b上满足()0fx???，∴()fx?在][a,b单调递增，
从而存在存在唯一的)(a,bc?，使得()()()fbfafcba????。结论成立。
★★★17.设函数)(xfy?在0?x的某个邻域内具有n阶导数，且
(1)(0)(0)(0)0nfff,??????试用柯西中值定理证明：
)10()()()(???θn!θxfxxfnn。
知识点：柯西中值定理。
思路：对)(xf、nxxg?)(在]0[,x上连续使用n次柯西中值定理便可得结论。
证明：∵)(xf、nxxg?)(及其各阶导数在]0[,x上连续，在)0(,x上可导，
且在)0(,x每一点处，(1)()!0ngxnx???，又(1)(0)(0)(0)0nfff,??????，
∴连续使用n次柯西中值定理得，
(1)(1)111
11(1)111()(0)()()(0)()()(0)(0)(0)(0)
nnn
nnnnnnfξfffξffxfxfxxgnnξgn!ξg??
???
???????????????????
)10()()(???θn!θxfn，从而结论成立。
习题3-2
★★1.用洛必达法则求下列极限：
（1）xeexx
xsinlim0
?
?
?；（2）x-aax
axsinsinlim??
；（3）
2
2)2(
sinlnlimxπ-x
πx?
；（4）xarcx
xcot
)11ln(lim?
???
；
（5）xx
x2tanln7tanlnlim0??
；（6）eexx
xx????ln1lim
3
1
；（7）xx-xx
xsintanlim0??
；（8）xx
x2cotlim0?
；
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（9）212
0limxxex?
；（10）)1(lim1?
??xxex
；（11）)111(lim
0???xxex
；（12）)ln11(lim
1xx-xx??
；
（13）x
xxa)1(lim???
；（14）x
xxsin0lim??
；（15）x
xxtan0)
1(lim
??
；（16）xx-xex
xarctan
1)1ln(lim
0
???
?
；
（17）x
xx
1
0)sin1(lim??
；（18）x
xx)
1(lnlim
0??
；（19）x
xxx
12)1(lim??
???
；（20）2)1tan(limn
nnn????
。
知识点：洛必达法则。
思路：注意洛必达法则的适用范围。该法则解决的是未定型的极限问题，基本形式为：00型与??型未定
式，对于这种形式可连续使用洛必达法则；对于???型与??0型的未定式，可通过通分或者取倒数的
形式化为基本形式；对于0型、?1型与0?型的未定式，可通过取对数等手段化为未定式；此外，还可
以结合等价无穷小替换、两个重要的极限、换元等手段使问题简化。
解：（1）2coslimsinlim
00?
????
?
?
?x
eexeexx
x
xx
x
；
（2）axaxax
axaxcos1coslimsinsinlim??????
；
（3）
8
1
8
sinlim
)2(4
coslim
)2(4sin
cos
lim)2(sinlnlim
222
2
2
?????????
????
x
πx
x
πxx
x
xπ
x
πxπxπxπx
；
（4）1
)1(
1lim
1
1
)1(
1
limcot
)11ln(
lim
2
2
????
??
????
?????????xx
x
x
xx
xarc
x
xxx
；
（5）1
7cos27tan
2tan2cos7lim
2tan
2sec2
7tan
7sec7
lim2tanln7tanlnlim2
2
02
2
00??
???
??????xx
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
；
（6）eexxeexx
xxxx
413limln1lim2
1
3
1?
??
?
??
??
；
（7）22
30000tansec12tansec2limlimlimlim2sin1cossincosxxxxxxxxxxxxxx????????????
；
（8）212sec21lim2tanlim2cotlim
2000??????xxxxxxxx
；
Gothedistance
（9）????
?
?
??
????
2
2
2
2
1
0
3
1
3
0
2
1
0
1
2
0
lim2
2
lim1limlimx
x
x
x
x
x
x
x
e
x
ex
x
eex；
（或解为：22112
0limlimlim1
uuux
xxuueexeu
?
????????????
）
（10）1lim1
1
lim1)1(lim)1(lim
1
2
1
2
1
1
??
?
?
????
????????
x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
ex
x
eex；
（或解为：∵当x??时，111~xex?，∴11/11/lim(1)limlim11/1/xx
xxx
exxexx
??????
?????）
（11）(1)~
20000111111lim()limlimlim1(1)22
xxxxex
xxxxxxexexexexexx
?
????
????????????；
（12）
2
1
2ln
ln1lim1
ln
lnlim
ln)1(
1lnlim)
ln
1
1(lim1111??
???
???
????
?????x
x
x
xxxxxxxxxxxxxxx
；
（或解为：ln(1)~1
2100ln1(1)ln(1)(1)ln(1)limlimlim(1)lnln(1)
uuux
xuu
xxxuuuuuuxxuuu???
???
????????????
0ln(1)1lim22uuu????
）
（13）ln(1)limln(1)limlim11lim(1)xxxaaaxxxxax
xxx
aexeee????????
???????
；
（14）0000ln1tansinlimsinlnlimlimlimsin0csccotcsc
0lim1xxxx
xxxxxxxxxxx
xxeeeee??????????????????
；
（15）22000
1lnsin
limlimlimtan0cotcsc
0000
1lim()limlimlim1xxxxxxxx
xxxxeeeex
??????
????
??
?
?????????
；
（16）
2
2
0
2
00)1(
)1)(1(lim
1
11
1
1
limarctan1)1ln(limxxexex
x
xe
xx
xexx
x
x
x
x
x?
????
??
???
?
???
???
Gothedistance
200(1)1limlim22
xxx
xx
xeexexx
??
????????；
（17）eeexxx
xx
x)(
xxxxx??????
?
????sin1
coslim
0
sin1lnlim
0
1
000limlim)sin1(lim
；
（18）00200
11()
ln[ln]lnlimlim111
limlimln1/
0
1lim(ln)1xxxxxxxxxxxxx
xeeeex
????
????
?
????
???
??????
；
（19）1)1(lim22
22
1
1lim
1
11lim)1ln(lim1
2?????????
????
???
?????????xxx
x
x
x
xx
x
x
xxxeeexx；
（20）令2)1tan()(xxxxf?，则22201lntanln1lim
0
1tanlim(tan)lim()ttttxxtt
xt
txext??
?
??
??????
22
233230000
1sin2sectansectansincos2limlimlimlim
2tan22cos2tttt
ttttttttttt
tttttteeee????????
????????
22
2200(1cos)~1cos221limlim2663tt
xxtteee
??????????
∴2131lim(tan)n
nnen?????
★★2.验证极限xxx
xsinlim???
存在，但不能用洛必达法则求出。
知识点：洛必达法则。
思路：求导后极限如果不存在，不能说明原式极限不存在，只能说洛必达法则失效。洛必达法则不能解决
所有的未定型极限问题。
解：∵101)sin1(limsinlim??????
????xxxxxxx
，∴极限xxx
xsinlim???
存在；
若使用洛必达法则，得xxx
xsinlim???xxxxcoslim11cos1lim????????
，
而x
xcoslim??
不存在，所以不能用洛必达法则求出。
★★★3.若)(xf有二阶导数，证明
20()2()()()limhfxhfxfxhfxh????????
。
知识点：导数定义和洛必达法则。
思路：使用洛必达法则，对极限中的函数上下求关于h的导数，然后利用导数定义得结论。
证明：∵
200()2()()()()limlim2hhfxhfxfxhfxhfxhhh????????????
Gothedistance
0()()()()lim2hfxhfxfxfxhh?
??????????
//001()()1()()limlim()22hhfxhfxfxhfxfxhh??????????????，∴结论成立。
★★★4.讨论函数
??
?????
?,e
,exxfxx
21
1
1
])1([)(
0
0
?
?
x
x在点0?x处的连续性。
知识点：函数在一点连续的概念。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性，要利用函数在一点处左、右连续的概念。
解：∵
1
2000
1111(1)ln(1)1
limlnlimlim12
00
(1)lim()lim[]xxxxxxxxxxexxx
xx
xfxeeee??????
??
?????
??
?????
011lim21xxe?????)0(21fe???，∴)(xf在0?x处右连续；
又∵)0()(lim21
0fexfx??
?
??
，∴)(xf在0?x处左连续；
从而可知，
??
?????
?,e
,exxfxx
21
1
1
])1([)(
0
0
?
?
x
x在点0?x处连续。
★★★5.设)(xg在0?x处二阶可导，且0)0(?g。试确定a的值使)(xf在0?x处可导，并求
(0)f?，其中(),0()
,0
gxx
fxx
ax
???
???
??
。
知识点：连续和可导的关系、洛必达法则。
思路：讨论分段函数在分段点处的连续性、可导性，一般考虑利用定义。
解：要使)(xf在0?x处可导，则必有)(xf在0?x处连续，
又∵)(xg在0?x处(0)0g?，∴xxgxfa
xx)(lim)(lim00????)0(0)0()(lim/0gxgxgx?????
；
由导数定义，
0()(0)(0)lim0xfxffx?????200
()(0)()(0)
limlim0xx
gxggxgxx
xx??
??????
?
0()(0)1lim(0)22xgxggx?
???????。
Gothedistance
内容概要
名称主要内容（3.3）
3.3泰
勒公式泰勒中值定理：如果)(xf在含有0x的某个开区间)(a,b内具有1?n阶的导数，则对任一
)(a,bx?，有???????200//00/0)(!2)())(()()(xxxfxxxfxfxf
)()(!)(00)(xRxxnxfnnn???，此公式称为n阶泰勒公式；
其中1
0
)1()(
)!1()()(?
??
??n
n
nxxnfxR?
（?介于0x于x之间），称为拉格朗日型余项；或
])[()(0nnxxoxR??，称为皮亚诺型余项。
n阶麦克劳林公式：
Gothedistance
)(!)0(!2)0()0()0()()(2///xRxnfxfxffxfnnn???????
其中1)1(
)!1()()(?
?
??n
n
nxnxfxR?
（10???）或)()(nnxoxR?。
常用的初等函数的麦克劳林公式：1）)(!!212nnxxonxxxe???????
2）)(
)!12()1(!5!3sin22
1253???
???????n
nnxo
nxxxxx?
3）)(
)!2()1(!6!4!21cos12
2642?????????nnnxo
nxxxxx?
4）)(1)1(32)1ln(1132???????????nnnxonxxxxx?
5）)(1112nnxoxxxx????????
6）)(!)1()1(!2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx?????????????
习题3-3
★1.按)1(?x的幂展开多项式43)(24???xxxf。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法。求)(xf按)(0xx?的幂展开的n阶泰勒公式，则依次求)(xf直到1?n阶的导
数在0xx?处的值，然后带代入公式即可。
解：3()46fxxx???，(1)10f??；2()126fxx????，f(1)18???；
()24fxx????，(1)24f????；24)()4(?xf；24)1()4(?f；0)()5(?xf；
将以上结果代入泰勒公式，得
(4)234(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!fffffxfxxxx???????????????
432)1()1(4)1(9)1(108?????????xxxx。
Gothedistance
★★2.求函数xxf?)(按)4(?x的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：同1。
解：1()
2fxx??
，1(4)4f??；321()4fxx?????，1(4)32f????；
523()8fxx?????，3(4)256f????；2741615)(???xxf)(；将以上结果代入泰勒公式，得
(4)234(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!ffffξfxfxxxx???????????????
4
27
32)4(
128
5)4(5121)4(641)4(412?????????x
ξxxx
，（ξ介于x与4之间）。
★★★3.把
2
211)(xxxxxf?????在0?x点展开到含4x项，并求)0()3(f。
知识点：麦克劳林公式。
思路：间接展开法。)(xf为有理分式时通常利用已知的结论)(1112nnxoxxxx????????。
解：
322
2
2
211)1(2112112111)(xxxxxxxxxxxxxxxxf???????????????????
)(2221))(1)(1(2144233xoxxxxoxxx??????????；
又由泰勒公式知3x前的系数(0)03!f????，从而(0)0f????。
★★4.求函数xxfln)(?按)2(?x的幂展开的带有皮亚诺型余项的n阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(xf为对数函数时，通常利用已知的结论
xx??)1ln()(1)1(321132?????????nnnxonxxx?。
方法一：（直接展开）1()fxx??，1(2)2f??；
21()fxx????
，1(2)4f????；
32()fxx????
，1(2)4f????；
nnnxnx,f)!1()1()(1)(?????
，
nnnnf2)!1()1()2(1)(????
；
将以上结果代入泰勒公式，得
Gothedistance
(4)234(2)(2)(2)(2)ln(2)(2)(2)(2)(2)12!3!4!ffffxfxxxx!????????????????
n(n)xnf)2(!)2(??))2((nxo???23)2(21)2(212ln????xx?????33)2(23
))2(()2(21)1(1nnnnxoxn???????。
方法二：2)22(21222ln)221ln(2ln)22ln(ln)(?????????????xxxxxxf
2313)2(21)2(212ln))22(()22(1)1()22(31??????????????xxxoxnxnnn?
))2(()2(21)1()2(231133nnnnxoxnx????????????。
★★5.求函数xxf1)(?按)1(?x的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。
知识点：泰勒公式。
思路：直接展开法，解法同1；或者间接展开法，)(xf为有理分式时通常利用已知的结论
2121111(1)nnnxxxxx???????????。
方法一：
21()fxx???
，(1)1f????；
32()fxx???
，(1)2f?????；
46()fxx?????
，
(1)6f??????1)(!)1()(???nnnxnx,f?，!)1(!)1()1(1)(nnfnnn???????；
将以上结果代入泰勒公式，得
231(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!ffffxxxx??????????????????
nnxnf)1(!)1()(???1)1()1()!1()(?????nnxnξf
?nxxxx)1()1()1()1(132???????????1
2
1)1()1(?
?
????n
n
nx
ξ
（ξ介于x与1?之间）。
方法二：nxxxx
xx)1()1()1()1(1[)1(11132????????????????
])1()1(121??????nnnxξ?n32)1()1()1()1(1??????????xxxx?121)1()1(??????nnnxξ
（ξ介于x与1?之间）。
Gothedistance
★★6.求函数xxey?的带有皮亚诺型余项的n阶麦克劳林展开式。
知识点：麦克劳林公式。
思路：直接展开法，解法同1；间接展开法。)(xf中含有xe时，通常利用已知结论
)(212nnxxon!x!xxe???????。
方法一：(1)xyxe???，(0)1y??；(2)xyxe????，(0)2y???；x(n)enx,y)(???，
nyn?)0()(，将以上结果代入麦克劳林公式，得
23(0)(0)(0)(0)(0)()1!2!3!!(n)xnnffffxefxxxxoxn??????????????
?????!232xxx)!1(??nxn)(nxo?。
方法二：???????
???????
?
!2))()!1(!21(
32112xxxxo
nxxxxxen
nx
)!1(??nx
n)(nxo?。
★★7.验证当210??x时，按公式62132xxxex????计算xe的近似值时，所产生的误差小于
010.，并求e的近似值，使误差小于010.。
知识点：泰勒公式的应用。
思路：利用泰勒公式估计误差，就是估计拉格朗日余项的范围。
解：010
192
1
2
1
!4
2
!4!4)(4
42
1
43.xexexRξ?????；646048181211.e?????。
★★8.用泰勒公式取5?n，求21ln.的近似值，并估计其误差。
知识点：泰勒公式的应用。
解：设)1ln()(xxf??，则(5)25(0)(0)(0)()(0)1!2!5!ffffxfxxx????????
22xx??55x???，从而1823052042032022020)20(21ln5432.......f.???????；其
Gothedistance
误差为：00001070
620)1(61)(
66
65..xξxR?????
。
★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限：
（1）)3(lim233xxxx
x??????
；（2）
2
22
0sin)(cos
1211lim
2xex
xx
xx?
???
?
。
知识点：泰勒展开式的应用。
思路：间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式，然后利用极限的运算性质得到结果。
解：（1）])11()31([lim)3(lim2131
2233xxxxxxxxxx?????????????
))]1(12)12
1(21
)1(211())]1(o3311([lim2222xoxxxxxxx???????????????
21))1(8921(lim???????xoxx。
（2）
2
2
122
02
22
0)(cos
)1(211lim
sin)cos(
1211lim
22xex
xx
xex
xx
xxxx?
????
?
???
??
12
1
)(23
)(81
lim
)))(1()(21(
)(2
)121(21
2
11(
2
11
lim
4
4
44
022222
4422
0
??
??
?
?
?????
?
?
????
?
??
xox
xox
xxoxxox
xo)xxx
xx。
★★10.设0?x，证明：)1ln(22xxx???。
知识点：泰勒公式。
思路：用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数，另一边为其幂级数展
开的一部分时，可考虑用泰勒公式。
解：
3
32
)1(32)1ln(ξxxxx?????
（ξ介于0与x之间），∵0?x，∴0
)1(33
3?
?ξx
，
从而
2)1(32)1ln(
2
3
32xx
ξxxxx???????
，结论成立。
（也可用§3.4函数单调性的判定定理证明之）
★★11.证明函数)(xf是n次多项式的充要条件是0)()1(??xfn。
知识点：麦克劳林公式。
Gothedistance
思路：将)(xf按照麦克劳林公式形式展开，根据已知条件，得结论。
解：必要性。易知，若)(xf是n次多项式，则有0)()1(??xfn。
充分性。∵0)()1(??xfn，∴)(xf的n阶麦克劳林公式为：2(0)()(0)(0)2!fxfxffx??????
3()(1)1(0)(0)()
3!!(1)!
nnnnfxfxfξx
nn
??????????
?
2(0)(0)(0)2!fxffx?????
3(0)3!fx????!)0()(nxfnn???，即)(xf是n次多项式，结论成立。
★★★12.若)(xf在][a,b上有n阶导数，且(1)()()()()()0nfafbfbfbfb??????????
证明在)(a,b内至少存在一点ξ，使)(0)()(bξaξfn???。
知识点：泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。
思路：证明)(0)()(bξaξfn???，可连续使用拉格朗日中值定理，验证)()1(xfn?在][a,b上满足
罗尔中值定理；或者利用泰勒中值定理，根据)(xf在bx?处的泰勒展开式及已知条件得结论。
方法一：∵)(xf在][a,b上可导，且)()(bfaf?，
∴由罗尔中值定理知，在)(a,b内至少存在一点1ξ，使得1()0fξ??；
∵()fx?在][][1a,b,bξ?上可导，且()0fb??，
∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b,bξ?内至少存在一点2ξ，使得2()0fξ???；
依次类推可知，)()1(xfn?在][1,bξn?][a,b?上可导，且0)()()1(1)1(?????bfξfnnn，
∴由罗尔中值定理知，在)()(1a,b,bξn??内至少存在一点ξ，使得0)()(?ξfn。
方法二：根据已知条件，)(xf在bx?处的泰勒展开式为：
(1)()21()()()()()()()()()()
2!(1)!!
nnnnfbfbfξfxfbfbxbxbxbxb???????????????
?
nnbxnξf)(!)()(??)(bξx??，
Gothedistance
∴)(af0)(!)()(???nnbanξf，从而得0)()(?ξfn，结论成立。
内容概要
名称主要内容（3.4）
3.4函
数的单
调性与
曲线的
凹凸性
函数单调性的判别法：设)(xfy?在][a,b上连续，在)(a,b内可导，则
（1）若在)(a,b内()0fx??，则)(xfy?在][a,b上单调增加；
（2）若在)(a,b内()0fx??，则)(xfy?在][a,b上单调减少。
1）曲线凹凸性的概念：设)(xf在区间I内连续，如果对I上任意两点21,xx，恒有
2)()()2(2121xfxfxxf???，则称)(xf在I上的图形是凹的；如果恒有
2)()()2(2121xfxfxxf???，则称)(xf在I上的图形是凸的。
2）拐点的概念：连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。
曲线凹凸性的判别法：设)(xf在][a,b上连续，在)(a,b内具有一阶和二阶导数，则
（1）若在)(a,b内()0fx???，则)(xfy?在][a,b上的图形是凹的；
（2）若在)(a,b内()0fx???，则)(xfy?在][a,b上的图形是凸的。
习题3-4
★1.证明函数)1ln(2xxy???单调增加。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间I上，()0fx??（()0fx??），
则)(xf在I单调增加（减少）。
证明：∵2
222(1)1011xxy????????
（仅在1?x处0y??），
∴)1ln(2xxy???在)(????,内是单调增加的。
★2.判定函数)20(sin)(πxxxxf????的单调性。
Gothedistance
解：∵()1cos0fxx????（仅在πx?处()0fx??），
∴)20(sin)(πxxxxf????是单调增加的。
★★3.求下列函数的单调区间：
（1）133123????xxxy；（2）)0(82???xxxy；（3）3232xxy??；
（4）)1ln(2xxy???；（5）xxy)1(??；（6）xxyln22??。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间，用导数为零的点及不可导点，将定义域
划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的单调性；如果划分定义域的点有两个或以上，可列表讨
论，使得思路更清晰一些。
解：（1）133123????xxxy的定义域为)(????,；令2230yxx?????，
得11??x，32?x。列表讨论如下：
x)1(???,1?)31(,?3)3(??,
()fx??0
－0?
)(xf↗
↘↗
由上表可知，133123????xxxy在)1(???,、)3(??,内严格单增，而在)31(,?内严格单减。
（2）在)0(??,内，令
2820yx????
，得2?x；
当)20(,x?时，有0y??；当)2(???,x时，有0y??；
∴)0(82???xxxy在)20(,内严格单增，在)2(??,内严格单减。
（3）3232xxy??的定义域为)(????,；令133
3
222(1)0333xyxx???????，
得1?x；0?x为不可导点。列表讨论如下：
x)0(,??0)10(,1)1(??,
()fx??0
－0?
)(xf↗
↘↗
Gothedistance
由上表可知，3232xxy??在)0(,??、)1(??,内严格单增，而在)10(,内严格单减。
（4）)1ln(2xxy???的定义域为)(????,，
222
11(1)111xyxxxx????????0?，
∴)1ln(2xxy???在)(????,内严格单增。
（5）xxy)1(??的定义域为)0[??,，∵323()102yxxx???????，
∴xxy)1(??在)0[??,上严格单增。
（6）xxyln22??的定义域为)0(??,，令214140xyxxx??????，得21?x；
当)210(,x?时，0y??；当)21(???,x时，0y??；
∴xxyln22??在)210(,内严格单增，在)21(??,内严格单减。
★★4.证明下列不等式：
（1）当0?x时，xx???1211；（2）当4?x时，22xx?；
（3）当0?x时，xxxarctan)1ln()1(???；（4）20πx??时，331tanxxx??。
知识点：导数的应用或者泰勒公式的应用。
思路：利用泰勒公式可以证明一些不等式（见习题3-3第10题），利用函数单调性也是证明不等式常用的
方法。
解：（1）方法一：令xxxf????1211)(，
则当0?x时，11()
221fxx????)111(21x???0?
，
∴xxxf????1211)(在)0[??,上严格单增；从而0)0()(??fxf，
即xx???1211，结论成立。
方法二：由泰勒公式，得
23
2
23
2
)1(8
)
)1(82
11(2111211)(
ξ
x
ξ
xxxxxxf
?
?
?
?????????（xξ??0），
Gothedistance
∴0
)1(8
)(
23
2?
?
?
ξ
xxf，从而得xx???1211，结论成立。
（2）方法一：令22)(xxfx??，则当4?x时，()2ln22xfxx???，
222222()2ln22(4)16ln22(ln4)2(ln)20xfxfe??????????????，
∴()2ln22xfxx???在)4(??,内严格单增，
从而()2ln22(4)16ln244(ln161)0xfxxf??????????，
∴22)(xxfx??在)4(??,内严格单增，在)4(??,内08)4(2)(2?????fxxfx，
∴22xx?，结论成立。
注：利用()fx??的符号判断()fx?的单调性，利用()fx?的单调性判断其在某区间上的符号，从而得出
)(xf在某区间上的单调性，也是常用的一种方法。
方法二：令xxxfln22ln)(??，
当4?x时，0214ln21212ln22ln)(/???????xxf，
∴xxxfln22ln)(??在)4(??,内严格单增，
∴04ln22ln4)4(ln22ln)(??????fxxxf，从而有，xxln22ln?，
∴xxeeln22ln?，即22xx?，结论成立。
（3）令xxxxfarctan)1ln()1()(????，
则当0?x时有
21()ln(1)101fxxx???????
（仅在0?x时，()0fx??），
∴)(xf在)0[??,上严格单增，从而有0)0()(??fxf，
即xxxarctan)1ln()1(???，结论成立。
（4）令xxxg??tan)(，则当20πx??时，有22()sec1tan0gxxx?????
从而xxxg??tan)(在)20(π,内严格单增，∴0)0()(??gxg，即在)20(π,内xx?tan；
再令331tan)(xxxxf???，
Gothedistance
则当20πx??时，2222()sec1tan0fxxxxx???????，
从而331tan)(xxxxf???在)20(π,内严格单增，∴0)0()(??fxf，
即在)20(π,内331tanxxx??，结论成立。
★★★5.试证方程xx?sin只有一个实根。
知识点：导数的应用。
思路：利用导数的符号判断函数的单调性，进而讨论方程的根是常用的方法。
解：易知，00sin?，即0?x是方程的一个根；
令xxxfsin)(??，则()1cos0fxx????（仅在)(2Zkkπx??处()0fx??），
∴xxxfsin)(??在)(????,内严格单增，从而)(xf只有一个零点，
即方程xx?sin只有一个实根。
★★6.单调函数的导函数是否必为单调函数？研究例子：xxxfsin)(??。
知识点：导数的应用。
思路：利用一阶导数符号判断单调性，从而证明结论。
解：单调函数的导函数不一定为单调函数。
∵()1cos0fxx????（仅在)()12(Zkπkx???处()0fx??），
∴xxxfsin)(??在)(????,内严格单增；
而()1cosfxx???在))12(,2(πkkπ?内严格单减，在)2,)12((kππk?内严格单增，从而在
)(????,上不单调。
★★7.求下列函数图形的拐点及凹凸区间：
（1）)0(1???xxxy；（2）1
2???xxxy
；（3）xxyarctan?；
（4）xexy???4)1(；（5）)1ln(2??xy；（6）xeyarctan?。
知识点：导数的应用。
思路：利用二阶导数的符号判断函数的凹凸性；求拐点和凹凸区间，用二阶导数为零的点及不可导点，将
定义域划分成若干个区间，然后在每个区间上判断函数的凹凸性；如果划分定义域的点有两个或以上，可
列表讨论，使得思路更清晰一些。
解：（1）
211yx???
，
22yx???
，∵当0?x时，0y???，
∴xxy1??在)0[??,上为凹函数，没有拐点。
（2）1
2???xxxy
的定义域为)1()11()1(??????,,,??；
Gothedistance
2
2211(1)xyx?????
，2
232(3)(1)xxyx?????
，令0y???，得0?x；
当1??x或10??x时，0y???；当01???x或1?x时，0y???；
∴1
2???xxxy
的凹区间为)01(,?、)1(??,，凸区间为1),(???、1),0(；∴拐点为)00(,。
（3）xxyarctan?的定义域为)(????,，
2arctan1xyxx????
，
2220(1)yx?????
，
∴xxyarctan?在整个定义域上为凹函数，没有拐点。
（4）xexy???4)1(的定义域为)(????,，34(1)xyxe????，
212(1)xyxe?????0?，∴xexy???4)1(在整个定义域上为凹函数，没有拐点。
（5）)1ln(2??xy的定义域为)(????,，
221xyx???
，2
222(1)(1)xyx?????
，
令0y???，得121??,x；列表讨论如下：
x)1(???,1?)11(,?1)1(??,
()fx??
－0?0－
)(xf?
??
由上表可知，)1ln(2??xy的凸区间为)1(???,、)1(??,，凹区间为)11(,?，拐点为)2ln1(,?
及)2ln1(,。
（6）xeyarctan?的定义域为)(????,，arctan
21
xeyx???，
22(12)(1)
arcanxexy
x?????
，
令0y???，得21?x；当21?x时，0y???；当21?x时，0y???；
∴xeyarctan?的凹区间为]21(,??，凸区间为)21[??,，拐点为)21(21arctan,e。
★★★8.利用函数图形的凹凸性，证明不等式：
（1）)(22yxeeeyxyx????；（2）)22(2coscos2cosπ,πx,y,yxyx??????。
知识点：函数凹凸性的概念。
Gothedistance
思路：利用函数凹凸性的概念可证明一些不等式，特别是不等式中含不同变量的线性组合及其函数值的线
性组合时可考虑利用函数的凹凸性。
证明：（1）令xey?，∵0xye????，∴xey?在)(????,内是凹的。
利用凹函数的定义，)(??????,x,y)(yx?，有22yxyxeee???，结论成立。
（2）令xycos?，∵在)22(π,π?内，cos0yx?????，∴xycos?在)22(π,π?内是凸的。利
用凸函数的定义，)22(π,πx,y???)(yx?，有2coscos2cosyxyx???，结论成立。
★★★9.求曲线11
2???xxy
的拐点。
知识点：导数的应用。
思路：同7。
解：11
2???xxy
的定义域为)(????,，2
2212(1)xxyx?????
，
22222
2423(22)(1)(12)4(1)2(1)(41)(1)(1)xxxxxxxxxyxx????????????????
令0y???，得11??x，3232??,x；现列表讨论如下：
x)1(???,
1?
)321(??,
32?
)3232(??,32?
)32(???,
()fx??
－0?0－0?
)(xf?
???
由上表可知，拐点为)11(??,、)
3483132(???,
、)
3483132(???,
。
★★10.问a及b为何值时，点)31(,为曲线23bxaxy??的拐点？
知识点：导数的应用。
思路：拐点通常是二阶导数的零点或者是不可导点。又高阶可导的函数的拐点一定是二阶导数的零点。
解：23bxaxy??的定义域为)(????,，232yaxbx???，62yaxb????；
将)31(,代入23bxaxy??中，得：ba??3①；
Gothedistance
将)31(,代入62yaxb????中，得：ba260??②；
由①②得，23??a，29?b。
★★★11.试确定曲线dcxbxaxy????23中的a、b、c、d，使得在2??x处曲线有水平切线，
)101(?,为拐点，且点)442(,?在曲线上。
知识点：导数的几何意义及导数的应用。
思路：利用可导函数的拐点一定是二阶导数的零点，在某点处的导数值等于该点处切线的斜率，以及已知
条件，建立方程组，确定函数中的待定参数。
解：232yaxbxc????，62yaxb????；将)442(,?代入dcxbxaxy????23，得
dcba?????24844①
将)101(?,分别代入dcxbxaxy????23与62yaxb????中，得
dcba?????10②；ba260??③
将2??x代入232yaxbxc????中，得cba???4120④
由①②③④得，1?a，3??b，24??c，16?d。
★★★12.试确定22)3(??xky中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
知识点：导数的应用。
思路：可导的拐点必为二阶导数为零的点；依此求出拐点坐标，写出法线方程，根据已知条件，求出k值。
解：22)3(??xky的定义域为)(????,；24(3)ykxx???，212(1)ykx????；
令0y???，得121??,x。易知，当x的取值通过121??,x的两侧时，212(1)ykx????会变号，
∴)41(k,与)41(k,?均为22)3(??xky的拐点；∵18xyk????，18xyk????，
∴两拐点处法线方程分别为：)1(814???xkky，)1(814????xkky；
又两法线过原点，将)00(,代入法线方程，得1322?k，解得82??k。
★★★★13.设函数)(xfy?在0xx?的某邻域内具有三阶导数，如果0()0fx???，
而0()0fx????，试问))((00x,fx是否为拐点，为什么？
知识点：导数的应用。
思路：根据极限的保号性和拐点的定义得结论。
方法一：0()0fx???，0()0fx????不妨设0()0fx????，即
Gothedistance
0
000
00
()()()()limlim
xxx
fxfxfxfxxxxx
??
??????????????0?；
由极限的保号性知，必存在0?δ，使得)(0,δxx???，均有
0
()0fxxx????；
从而当00xxδx???时，有()0fx???，当δxxx???00时，有()0fx???；
∴))((00x,fx为拐点。
内容概要
名称主要内容（3.5）
3.5
函数的
极值与
最大值
最小值
极值的概念：设函数)(xf在点0x的某个邻域内有定义，若对该邻域内任意一点x（0xx?），
恒有)()(0xfxf?（或)()(0xfxf?），则称)(xf在点0x处取得极大值（或极小值），
而0x成为函数)(xf的极大值点（或极小值点）。
函数极值的
判别法第一充分条件：设函数)(xf在点0x的某个邻域内连续且可导（0()fx?可
以不存在），
（1）若在0x的左邻域内，()0fx??；在在0x的右邻域内，()0fx??，
则)(xf在0x处取得极大值)(0xf；
（2）若在0x的左邻域内，()0fx??；在在0x的右邻域内，()0fx??，
则)(xf在0x处取得极小值)(0xf；
（3）若在0x的左邻域内，()fx?不变号，则)(xf在0x处没有极值。
注：第一充分条件利用一阶导数符号判断函数单调性。
第二充分条件：设)(xf在0x处具有二阶导数，且0()0fx??，
0()0fx???，则
（1）当0()0fx???时，函数)(xf在0x处取得极大值；
（2）当0()0fx???时，函数)(xf在0x处取得极小值。
注：利用驻点处二阶导数符号判断驻点是否为极值点。
函数的最大值和最小值：注意函数极值和最值的区别和联系
Gothedistance
习题3-5
★★1.求下列函数的极值：
（1）xxxxf331)(23???；（2）)1ln(xxy???；（3）xxy2ln?；
（4）xxy???1；（5）xeyxcos?；（6）32)1()(xxxf???。
知识点：极值的充分条件。
思路：求0y??的点或者y?不存在的点，然后利用极值的第一或者第二充分条件进行判断。当所有的极
值可疑点多于两个时，若利用第一充分条件，可列表讨论；第二充分条件仅用来对驻点是否为极值点进行
判断。
解：（1）方法一：xxxxf331)(23???的定义域为)(????,，
令2()230fxxx?????，得31?x，12??x；现列表讨论如下：
x)1(???,1?)31(,?3)3(??,
()fx??0
－0?
)(xf↗
极大值
点
↘极小
值点
↗
由上表知，xxxxf331)(23???在1??x处取得极大值为35)1(??f，在3?x处取得极小值为
9)3(??f。
方法二：令2()230fxxx?????，得31?x，12??x；
由()22fxx????得，(1)40f??????，(3)40f????，
∴由极值的第二充分条件知，xxxxf331)(23???在1??x处取得极大值为35)1(??f，
在3?x处取得极小值为9)3(??f。
（2）方法一：)1ln(xxy???的定义域为)1(???,，令11011xyxx???????，得0?x；
当01???x时，有0y??；当0?x时，有0y??，
∴由极值的第一充分条件知，)1ln(xxy???在0?x处取得极小值为0)0(?f。
方法二：)1ln(xxy???的定义域为)1(???,，令11011xyxx???????，得0?x；
Gothedistance
又由
21(1)yx????
，得(0)10y????，
∴由极值的第二充分条件知，)1ln(xxy???在0?x处取得极小值为0)0(?f。
（3）方法一：xxy2ln?的定义域为)0(??,，令2
22lnln0xxyx????
，得11?x，22ex?；
现列表讨论如下：
x)10(,1)1(
2,e2e)(2??,e
)(/xf
－0?0－
)(xf
↘极小值
点
↗极大
值点
↘
由上表知，xxy2ln?在1?x处取得极小值为0)1(?y，在2ex?处取得极大值为
224)(eef?
。
方法二：xxy2ln?的定义域为)0(??,，令2
22lnln0xxyx????
，得11?x，22ex?；
由2
326ln2lnxxyx?????
，得(1)20y????，2
62()0yee?????
；
∴由极值的第二充分条件知，xxy2ln?在1?x处取得极小值为0)1(?y，在2ex?处取得极大值为
224)(eef?
。
（4）xxy???1的定义域为]1(,??，令2110
21xyx??????
，得43?x；
当43?x时，有0y??；当143??x时，有0y??，
∴由极值的第一充分条件知，xxy???1在43?x处取得极大值为45)43(?f。
注：此题中y??的表达式比较繁琐，所以优先考虑第一充分条件。
（5）xeyxcos?的定义域为)(????,，
令(cossin)0xyexx????，得4πkπx??，)(Zk?；由2sinxyex????，得
Gothedistance
24(2)204πkππykπe???????，(21)4((21))204πkππykπe????????，Zk?；
∴由极值的第二充分条件知，
xeyxcos?在42πkπx??处取得极大值为4222)42(πkπeπkπy???，
在4)12(ππkx???处取得极小值为4)12(22)4)12((ππkeππky??????，Zk?。
注：此题的单调区间有无穷多个，所以优先考虑第二充分条件。
（6）32)1()(xxxf???的定义域为)(????,，令
352()03xfxx????
，得52
1?x
；
02?x为不可导点；现列表讨论如下：
x)0(,??0
)520(,52)52(??,
()fx??0
－0?
)(xf↗
极大值
点
↘极小
值点
↗
由上表知，32)1()(xxxf???在0?x处取得极大值为0)0(?f，在52?x处取得极小值为
3234()
5525f??
。
注：此题中的函数具有不可导点，所以用第一充分条件。
★★★2.试证：当01???ba时，1)(2????xbaxxxf取得极值。
知识点：函数取得极值的条件。
思路：在定义区间内求()0fx??的点，然后利用极值的充分条件进行判断。
证明：1)(2????xbaxxxf的定义域为)1()1(????,,?，令2
22()0(1)xxabfxx???????
，
∵方程220xxab????根的判别式：44()4(1)abab???????
∴当01???ba时，得驻点为bax,????1121；由
32(1)()(1)abfxx??????
，得
Gothedistance
32(1)2(11)0(1)1abfababab??????????????
，
32(1)2(11)0(1)1abfababab????????????????
，
∴1)(2????xbaxxxf在bax????11处取得极小值，在bax????11处取得极大值。
★★3.试问a为何值时，函数xxaxf3sin31sin)(??在3πx?处取得极值，并求出极值。
知识点：取得极值的条件。
思路：利用极值的必要条件，确定a的值，然后利用充分条件，判断是极大值还是极小值。
解：根据题意，得
33
()(coscos3)coscos03ππxxπfxaxxaπ????????，
即012??a，2?a；
由()2sin3sin3fxxx?????，得()303f??????，
∴)(xf在3πx?处取得极大值3)3(?πf。
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