Gothedistance
导数结合洛必达法则巧解高考压轴题
2010年和2011年高考中的全国新课标卷中的第21题中的第○2步，由不等式恒成立来
求参数的取值范围问题，分析难度大，但用洛必达法则来处理却可达到事半功倍的效果。
洛必达法则简介：
法则1若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)??lim0
xafx??
及??lim0
xagx??
；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g''(x)≠0；
(3)????lim
xa
fxlgx
?
???，
那么????lim
xa
fxgx
?
=????lim
xa
fxlgx
?
???。
法则2若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)??lim0
xfx???
及??lim0
xgx???
；
(2)0A?，f(x)和g(x)在??,A??与??,A??上可导，且g''(x)≠0；
(3)????lim
x
fxlgx
??
???，
那么????lim
x
fxgx
??
=????lim
x
fxlgx
??
???。
法则3若函数f(x)和g(x)满足下列条件：(1)??lim
xafx???
及??lim
xagx???
；
(2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g''(x)≠0；
(3)????lim
xa
fxlgx
?
???，
那么????lim
xa
fxgx
?
=????lim
xa
fxlgx
?
???。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
○1将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，xa??，xa??洛必达法则也
成立。
○2洛必达法则可处理00，??，0??，1?，0?，00，???型。
○3在着手求极限以前，首先要检查是否满足00，??，0??，1?，0?，00，???型
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定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这
时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
○4若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
二．高考题处理
1.(2010年全国新课标理)设函数2()1xfxexax????。
（1）若0a?，求()fx的单调区间；
（2）若当0x?时()0fx?，求a的取值范围
原解：（1）0a?时，()1xfxex???，''()1xfxe??.
当(,0)x???时，''()0fx?；当(0,)x???时，''()0fx?.故()fx在(,0)??单调减
少，在(0,)??单调增加
（II）''()12xfxeax???
由（I）知1xex??，当且仅当0x?时等号成立.故
''()2(12)fxxaxax????，
从而当120a??，即12a?时，''()0(0)fxx??，而(0)0f?，
于是当0x?时，()0fx?.
由1(0)xexx???可得1(0)xexx????.从而当12a?时，
''()12(1)(1)(2)xxxxxfxeaeeeea?????????，
故当(0,ln2)xa?时，''()0fx?，而(0)0f?，于是当(0,ln2)xa?时，()0fx?.
综合得a的取值范围为1,
2????????
原解在处理第（II）时较难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解:（II）当0x?时，()0fx?，对任意实数a,均在()0fx?；
当0x?时，()0fx?等价于
2
1xxaex???
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令??
2
1xxgxex???(x>0),则
3
22()xxxxgxeex?????，令
????220xxhxxxxee?????，则??1xxhxxee????，??0xhxxe????，
知??hx?在??0,??上为增函数，????00hxh????；知??hx在??0,??上为增函数，
????00hxh??；??0gx???，g(x)在??0,??上为增函数。
由洛必达法则知，
2000
11222limlimlimxxx
xxx
xxeeex
??????
?????，
故12a?
综上，知a的取值范围为1,
2????????
。
2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程为
230xy???。
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当0x?，且1x?时，ln()1xkfxxx???，求k的取值范围。
原解：（Ⅰ）
22
1(ln)
''()(1)
xxbx
fxxx?
??
???
由于直线230xy???的斜率为12?，且过点(1,1)，故(1)1,1
''(1),2
f
f
???
????
?
即
1,1
,22
b
ab
???
?????
?
解得1a?，1b?。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln1f()1xxxx???，所以
2
2ln1(1)(1)()()(2ln)11xkkxfxxxxxx????????
。
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考虑函数()2lnhxx??2(1)(1)kxx??(0)x?，则2
2(1)(1)2''()kxxhxx????
。
（i）设0k?，由22
2(1)(1)''()kxxhxx????
知，当1x?时，''()0hx?，h（x）递减。而
(1)0h?故当(0,1)x?时，()0hx?，可得21()01hxx??；
当x?（1，+?）时，h（x）<0，可得
211x?
h（x）>0
从而当x>0,且x?1时，f（x）-（1ln?xx+xk）>0，即f（x）>1ln?xx+xk.
（ii）设0
244(1)0k?????，对称轴x=111k??
.
当x?（1，k?11）时，（k-1）（x2+1）+2x>0,
故''h（x）>0,而h（1）=0，故当x?（1，k?11）时，h（x）>0，可得
211x?
h
（x）<0,与题设矛盾。
（iii）设k?1.此时212xx??，2(1)(1)20kxx?????''h（x）>0,而h（1）=0，
故当x?（1，+?）时，h（x）>0，可得
211x?
h（x）<0,与题设矛盾。
综合得，k的取值范围为（-?，0]
原解在处理第（II）时非常难想到，现利用洛必达法则处理如下：
另解：（II）由题设可得，当0,1xx??时，k<
22ln11xxx??
恒成立。
令g(x)=
22ln11xxx??
(0,1xx??),则??????22
22
1ln12
1
xxxgx
x
??????
?
，
再令????221ln1hxxxx????(0,1xx??)，则??12lnhxxxxx????，
??212ln1hxxx?????，易知??212ln1hxxx?????在??0,??上为增函数，且
??10h???；故当(0,1)x?时，??0hx???，当x?（1，+?）时，??0hx???；
???hx?在??0,1上为减函数，在??1,??上为增函数；故??hx?>??1h?=0
???hx在??0,??上为增函数
解：应用洛必达法则和导数
当
(0,)
2
x
?
?
时，原不等式等价于
3
sinxx
a
x
?
?
.
记
3
sin
()
xx
fx
x
?
?
，则
4
3sincos2
''()
xxxx
fx
x
??
?
.
记
()3sincos2gxxxxx???
，则
''()2cossin2gxxxx???
.
因为
''''()cossincos(tan)gxxxxxxx????
，
''''''()sin0gxxx???
，所以
''''()gx
在
(0,)
2
?
上单调递减，且
''''()0gx?
，
所以
''()gx
在
(0,)
2
?
上单调递减，且
''()0gx?
.因此
()gx
在
(0,)
2
?
上单调递减，
且
()0gx?
，故
4
()
''()0
gx
fx
x
??
，因此
3
sin
()
xx
fx
x
?
?
在
(0,)
2
?
上单调递减.
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??1h=0
?当(0,1)x?时，??0hx?，当x?（1，+?）时，??0hx?
?当(0,1)x?时，??0gx??，当x?（1，+?）时，??0gx??
???gx在??0,1上为减函数，在??1,??上为增函数
由洛必达法则知
??2111ln1ln12121210221limlimlimxxxxxxgxxx?????????????????????
?0k?，即k的取值范围为（-?，0]
规律总结：对恒成立问题中的求参数取值范围，参数与变量分离较易理解，但有些题
中的求分离出来的函数式的最值有点麻烦，利用洛必达法则可以较好的处理它的最值，是
一种值得借鉴的方法。
自编：若不等式3sinxxax??对于(0,)
2x??
恒成立，求a的取值范围.
由洛必达法则有
3200000
sin1cossincos1lim()limlimlimlim
3666xxxxx
xxxxxfx
xxx?????
???????，
即当0x?时，1
()
6
gx?
，即有1
()
6
fx?
.
故1
6
a?
时，不等式3sinxxax??对于
(0,)
2
x??
恒成立.
通过以上例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：
①可以分离变量；
②用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；
③出现“0
0
”型式子.
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