Gothedistance
【高考地位】
圆锥曲线的离心率是近年高考的一个热点,有关离心率的试题,究其原因,一是贯彻高考命题“以能力
立意”的指导思想,离心率问题综合性较强,灵活多变,能较好反映考生对知识的熟练掌握和灵活运用的能
力,能有效地反映考生对数学思想和方法的掌握程度;二是圆锥曲线是高中数学的重要内容,具有数学的实
用性和美学价值,也是以后进一步学习的基础.
【方法点评】
方法1定义法
解题模板：第一步根据题目条件求出,ac的值
第二步代入公式cea?，求出离心率e.[来源:学&科&网]
例1.若椭圆经过原点，且焦点为??0,11F、??0,32F，则其离心率为（）
A.43B.32C.21D.41
【变式演练1】点P（-3，1）在椭圆1
2
2
2
2??byax（0??ba）的左准线上，过点P且方向为??5,2??a的
光线，经直线2??y反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）
A33B31C22D21
方法2方程法
Gothedistance
解题模板：第一步设出相关未知量；
第二步根据题目条件列出关于,,abc的方程；
第三步化简，求解方程，得到离心率.
例2.已知双曲线221(00)xyabab????，的左、右焦点分别为1F，2F，P是准线上一点，且12PFPF?，
124PFPFab?，则双曲线的离心率是（）
Ａ．2Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．3
例3.已知双曲线??2210,0xyCabab????：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，
若4AFFB?,则C的离心率为w.w.w.zxxk.（）
mA．65B.75C.58D.95
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【变式演练2】设双曲线??2200xyabab－＝1＞，＞的渐近线与抛物线21y＝x＋相切，则该双曲线的离心
率等于（）
（A）3（B）2（C）5（D）6[来源:学|科|网]
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【变式演练3】如图，在平面直角坐标系xoy中，1212,,,AABB为椭圆221(0)xyabab????的四个顶点，
F为其右焦点，直线12AB与直线1BF相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该
椭圆的离心率为▲.
方法3借助平面几何图形中的不等关系
解题模板：第一步根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对
称的性质中的最值等得到不等关系，
第二步将这些量结合曲线的几何性质用,,abc进行表示，进而得到不等式，
Gothedistance
第三步解不等式，确定离心率的范围.
例4已知椭圆的中心在O,右焦点为F，右准线为l，若在l上存在点M，使线段OM的垂直平分线经过
点F，则椭圆的离心率的取值范围是（）
A.
???????1,22
B.?
??????23,0
C.
???????1,23
D.?
??????22,0
【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质
构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.[
【变式演练4】已知椭圆22
1:1(0)xyCabab????
与圆2222:Cxyb??，若在椭圆1C上存在点P，使得
由点P所作的圆2C的两条切线互相垂直，则椭圆1C的离心率的取值范围是（）
A．1[,1)2B．23[,]22C．2[,1)2D．3[,1)2
Gothedistance
方法4借助题目中给出的不等信息
解题模板：第一步找出试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，?的
范围等；
第二步列出不等式，化简得到离心率的不等关系式，从而求解.
例5已知椭圆221(0)xyabab????上一点A关于原点O的对称点为,BF为其右焦点，若,AFBF?设
,ABF???且,,124??????????则椭圆离心率的取值范围是.
【答案】26[,]23[来源:Zxxk.Com]
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【变式演练5】【2014江西赣州期末联考】过椭圆C：)0(1
2
2
2
2????babyax的左顶点A且斜率为k的直线
交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若
31
＜k＜
21
,则椭圆的离心率的取值范
围是.
方法5借助函数的值域求解范围
解题模板：第一步根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关
系式；
第二步通过确定函数的定义域；
第三步利用函数求值域的方法求解离心率的范围.[来源:Z#xx#k.Com]
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例6.已知椭圆22
1:12xyCmn???
与双曲线22
2:1xyCmn??
有相同的焦点，则椭圆1C的离心率e的取值范
围为（）
A．2(,1)2B．2(0,)2C．(0,1)D．1(0,)2
【答案】A
【变式演练6】已知两定点(2,0)A?和(2,0)B，动点(,)Pxy在直线:3lyx??上移动，椭圆C以,AB
为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为（）
A.2
26
B.4
26
C.2
13
D.4
13
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【高考再现】
1.【2012高考真题浙江理8】如图，F1,F2分别是双曲线C：22
221xyab??
（a,b＞0）的左、右焦点，B是虚
轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M，若
|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是（）
A.233B.62C.2D.3
【答案】B
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【解析】由题意知直线BF1的方程为：bxcby??，联立方程组
???
???
?
??
??
0
,
b
y
a
x
bxcby
得点Q),(acbcacac??，联立
2.【2012高考真题新课标理】设12FF是椭圆22:1(0)xyEabab????的左、右焦点，P为直线32ax?上
一点，12PFF?是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）
()A12()B23()C??()D??
【答案】C
【解析】
3.【2012高考真题江西理】椭圆)0(1
2
2
2
2????babyax的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1，
Gothedistance
F2.若1AF，21FF，BF1成等比数列，则此椭圆的离心率为_______________.
【答案】55
【命题立意】本题考查椭圆的几何性质，等比数列的性质和运算以及椭圆的离心率.
4【2013年高考新课标1（理）】已知双曲线C:
221xyab??
(
0,0??
)的离心率为
52
,则C的渐近线方
程为（）
A．
14yx??
B．
13??
C．12yx??D．
??
5【2013年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）】如图,21,FF是椭圆14:22
1??yxC
与双曲线2C的
公共焦点,BA,分别是1C,2C在第二、四象限的公共点.若四边形21BFAF为矩形,则2C的离心率是（）
（）
Gothedistance
A．2B．3C．23D．26
∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.
6【2013年高考湖南卷（理）】设12,FF是双曲线22:1(0,0)xyCabab????的两个焦点,P是C上一点,若
216,PFPFa??且12PFF?的最小内角为30,则C的离心率为___.
7.【2014高考广东卷理第4题】若实数k满足09k??，则曲线221259xyk???与曲线221259xyk???的
Gothedistance
（）
A.离心率相等B.虚半轴长相等C.实半轴长相等D.焦距相等
8.【2014高考湖北卷理第9题】已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且
123FPF???
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A.433B.233C.3D.2
Gothedistance
9.【2014江西高考理第16题】过点(1,1)M作斜率为12?的直线与椭圆C：221(0)xyabab????相交于
,AB，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为.
10.【2014山东高考理第10题】已知0??ba，椭圆1C的方程为1
2
2
2
2??byax，双曲线2C的方程为
Gothedistance
221xyab??，1C与2C的离心率之积为23，则2C的渐近线方程为（）
A.02??yxB.02??yxC.02??yxD.02??yx
11.【2014浙江高考理第16题】设直线)0(03????mmyx与双曲线1
2
2
2
2??byax（
0ab??
）两条渐近
线分别交于点BA,，若点)0,(mP满足PBPA?,则该双曲线的离心率是__________
12.【2014重庆高考理第8题】设21FF，分别为双曲线)0,0(1
2
2
2
2????babyax的左、右焦点，双曲线上
Gothedistance
存在一点P使得,49||||,3||||
2121abPFPFbPFPF????
则该双曲线的离心率为（）
A.34B.35C.49D.3
13.【2014高考北京理第19题】已知椭圆C：2224xy??.
（1）求椭圆C的离心率；
（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y?上，且OAOB?，试判断直线AB与圆222xy??
的位置关系，并证明你的结论.
Gothedistance
考点：椭圆的性质，直线与圆的位置关系.
14.【2014高考福建理第19题】已知双曲线)0,0(1:
2
2
2
2????babyaxE的两条渐近线分别为
xylxyl2:,2:21???.
（1）求双曲线E的离心率；
Gothedistance
（2）如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线21,ll于BA,两点（BA,分别在第一，
四象限），且OAB?的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公
共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，说明理由.
Gothedistance
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为221416xy??.以下证明:当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：
221416xy??也满足条件.
【反馈练习】
1.【广州市珠海区2014年高三8月摸底考试7】已知抛物线24yx?与双曲线??2210,0xyabab????有
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相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，且AFx?轴，则双曲线的离心率为().
A．22?B．51?C．31?D．2+1
2.【四川省成都市2015届高中毕业班摸底测试10】如图，已知椭圆22
1:111xCy??
，双曲线22
222:1yxCab??
(a
＞0，b＞0)，若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A，B两点，且C1与该渐近线的两交点将线
段AB三等分，则C2的离心率为().
A、5B、17
C、5D、2147
Gothedistance
3.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）15】已知双曲线)0,0(1
2
2
2
2????babyax
的右焦点为F，由F向其渐近线引垂线，垂足为P，若线段PF的中点在此双曲线上，则此双曲线的离心率
为_______．
所以双曲线的离心率为2.
考点：双曲线的性质，两直线的位置关系
4.【湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试13】过点
(1,1)M
作斜率为
12?
的直线与椭
圆C：
22
221(0)xyabab????
相交于A,B，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为.[
Gothedistance
5.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理9】已知21,FF分别是双曲线C：
22
221(0,0)xyabab????
的左右焦点，以21FF为直径的圆与双曲线C在第二象限的交点为P，若双
曲线的离心率为5，则21cosPFF?等于().
A．35B．34C．45D．56
6.【河南省开封市2015届高三上学期定位考试模拟试题.理3】已知双曲线方程224312xy??，则双曲线
的离心率为（）
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A.73B.213C.77D.72[来源:Z|xx|k.Com]
考点：双曲线方程、离心率.
7.【云南省玉溪一中2015届高三上学期第一次月考试卷，理12】已知12,FF分别是双曲线
221(0,0)xyabab????的左、右焦点，以坐标原点O为圆心，1OF为半径的圆与双曲线在第一象限的交
点为P,则当12PFF的面积等于2a时，双曲线的离心率为（）
A.2B.3C.26D.2
8.【冀州中学高三上学期第一次月考，理11】已知双曲线1
2
2
2
2??byax的左右焦点分别为12FF、，O为双
曲线的中心，P是双曲线右支上的点，21FPF?的内切圆的圆心为I，且圆I与x轴相切于点A，过2F作
直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的离心率，则().
Gothedistance
A.||||OAeOB?B.||||OBeOA?C.||||OAOB?D.||OA与||OB关系不确定[
考点：1.双曲线定义；2.三角形内切圆.
9.【河南八校2014-2015学年上学期第一次联考，理13】已知双曲线22
215xya??
的右焦点为（3,0），,则该
双曲线的离心率等于.
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10.【福建省安溪一中、德化一中2015届高三9月摸底考试，理19】（本小题满分13分）
如图，设椭圆22:1(0)xyCabab????的左右焦点为21,FF，上顶点为A，点2,FB关于1F对称，且
2AFAB?
（Ⅰ）求椭圆C的离心率；
（Ⅱ）已知P是过2,,FBA三点的圆上的点，若21FAF?的面积为3，求点P到直线033:???yxl距
离的最大值.
Gothedistance
11.椭圆M：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任一点，且|PF1
→
|·|PF2
→
|的最大值的
取值范围是[2c2,3c2]，其中c＝a2－b2，则椭圆M的离心率e的取值范围是()
A．[33，22]B．[22，1]
C．[33，1]D．[13，12]
12.已知点F1、F2分别是双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交
于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是()
A．(1，3)B．(3，22)
C．(1＋2，＋∞)D．(1,1＋2)
13.（2014山东济南一模）已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点，设左右焦
Gothedistance
点分别为F1，F2，P是C1与C2在第一象限的交点，?PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，若椭圆与双曲
线的离心率分别为e1，e2，则e1·e2的取值范围是（）
(A)(19，+?)(B)(15，+?)(C)(13，+?)(D)(0，+?)
【答案】C
【解析】
14.已知F1，F2是双曲线221xyab??(a>0，b>0)的左右两个焦点，过点F1作垂直于x轴的直线与双曲线的
两条渐近线分别交于A，B两点，△ABF2是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是（）
(A)(1，2)(B)(1，5)（C）(1,5)(D)(5，+?)
15.从一块短轴长为2b的椭圆形玻璃镜中划出一块面积最大的矩形，其面积的取值范围是[3b2,4b2]，则这一
椭圆离心率e的取值范围是________．
Gothedistance
16.F1、F2是椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率
的取值范围是________．
【答案】22≤e<1
17.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆离心率的范围；[来源:Z§xx§k.Com]
(2)求证：12PFF△的面积只与椭圆的短轴长有关．
Gothedistance
18.【广东省华附、省实、广雅、深中2014届联考】在平面直角坐标系中，已知点(2,2)F及直线
:20lxy???，曲线1C是满足下列两个条件的动点(,)Pxy的轨迹：①2,PFd?其中d是P到直
线l的距离；②00.
225
x
y
xy
???
???
???
[
(1)求曲线1C的方程;
(2)若存在直线m与曲线1C、椭圆22
2:1(0)xyCabab????
均相切于同一点，求椭圆2C离心率e的
取值范围.
Gothedistance
故222
2411abeat????
，
Gothedistance
得2150,16e??又01,e??故150.4e??
所以椭圆2C离心率e的取值范围是15(0,).4
所以椭圆2C离心率e的取值范围是15(0,).4
19.椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞c)的两个焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，M是椭圆上一点，且满足F1M
→
·F2M
→
＝0.
(1)求椭圆的离心率e的取值范围；[来源:学&科&网]
(2)当离心率e取得最小值时，点N(0,3)到椭圆上的点的最远距离为52，求此时椭圆的方程．
Gothedistance
20.椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
(1)求1a2＋1b2的值；
(2)若椭圆的离心率e满足33≤e≤22，求椭圆长轴的取值范围．
Gothedistance
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