Gothedistance
专题30巧求圆锥曲线中的最值和范围问题
【高考地位】
最值问题是高考的热点，而圆锥曲线的最值问题几乎是高考的必考点，不仅会在选择题或填空题中进
行考察，在综合题中也往往将其设计为试题考查的核心.
【方法点评】
方法一圆锥曲线的定义转化法
解题模板：第一步根据圆锥曲线的定义，把所求的最值转化为平面上两点之间的距离、点线之间的距离
等；
第二步利用两点间线段最短，或垂线段最短，或三角形的三边性质等找到取得最值的临界条
件，进而求出最值.
例1.已知点F是双曲线221412xy??的左焦点，定点(1,4),AP是双曲线右支上动点，则||||PFPA?的最
小值为.
【变式演练1】【2014届湖南省怀化市二模】抛物线24yx?上一点P到直线1x??的距离与到点??2,2Q
的距离之差的最大值为（）
A.3B.3C.5D.5
方法二切线法[来源:学科网]
使用情景：当所求的最值是圆锥曲线上点到某条直线ykxc??的距离的最值时
解题模板：第一步设出与这条直线平行的圆锥曲线的切线ykxb??，
第二步切线方程ykxb??与曲线方程联立，消元得到一个一元二次方程，且0??，求出b
的值，即可求出切线方程；
第三步两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上去的最值时的点.
例2.求椭圆2212xy??上的点到直线23yx??的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点
的坐标.
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【变式演练2】【2015届福建高三9月月考】如图，设椭圆22:1(0)xyCabab????的左右焦点为21,FF，
上顶点为A，点2,FB关于1F对称，且2AFAB?
（1）求椭圆C的离心率；
（2）已知P是过2,,FBA三点的圆上的点，若21FAF?的面积为3，求点P到直线033:???yxl距
离的最大值．
方法三参数法
解题模板：第一步根据曲线方程的特点，用适当的参数表示曲线上点的坐标；
第二步将目标函数表示成关于参数的函数；
第三步把所求的最值归结为求解关于这个参数的函数的最值的方法.
例3.在平面直角坐标系中，(,)Pxy是椭圆2212xy??上动点，则Sxy??的最大值是________.
【变式演练3】设22,,26abRab???，求2ab?的最大值和最小值，并求取得最值时,ab的值.
方法四基本不等式法
解题模板：第一步将所求最值的量用变量表示出来，
第二步用基本不等式求这个表达式的最值，并且使用基本不等式求出最值.
例4.【河北省“五个一名校联盟”2015届高三教学质量监测（一）20】已知椭圆C1：1422??yx和动圆
C2：)0(222???rryx，直线mkxyl??:与C1和C2分别有唯一的公共点A和B．[来源:学.科.网Z.X.X.K]
（I）求r的取值范围；
（II）求|AB|的最大值，并求此时圆2C方程
[来源:Zxxk.Com]
【变式演练4】【2014新课标1，理20】已知点A（0，-2），椭圆E：221(0)xyabab????的离心率为32，
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F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为233，O为坐标原点.
(Ⅰ)求E的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于,PQ两点，当OPQ?的面积最大时，求l的方程.
方法五函数法
解题模板：第一步把所求最值的目标表示为关于某个变量的函数；
第二步通过研究这个函数求最值，是求各类最值最为普遍的方法.[来源:Zxxk.Com]
例5.【河北省邯郸市2015届高三上学期摸底考试，理21】已知椭圆C：??2210xyabab????的两焦点
与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线01???yx与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长
半轴长为半径的圆相切.
（1）求椭圆的方程.
（2）设P为椭圆上一点，若过点)0,2(M的直线l与椭圆E相交于不同的两点S和T,且满足
OPtOTOS??(O为坐标原点)，求实数t的取值范围。
【变式演练5】【河北省唐山市第一中学2015届高三上学期期中考试，理20】已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2
＝2经过椭圆Γ∶
)0(12222????babyax
(a>b>0)的右焦点F和上顶点B.
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)如图，过原点O的射线l与椭圆Γ在第一象限的交点为Q，与圆C的交点为P，M为OP的中点，求OQOM?
的最大值．
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【高考再现】
1.【2014高考福建卷第9题】设QP,分别为??2622???yx和椭圆11022??yx上的点，则QP,两点间的
最大距离是（）
A.25B.246?C.27?D.26
2.【2014高考湖北卷理第9题】已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是他们的一个公共点，且
123FPF???
,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A.433B.233C.3D.2
3.【2014四川高考理第10题】已知F是抛物线2yx?的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，
2OAOB??（其中O为坐标原点），则ABO?与AFO?面积之和的最小值是（）
A．2B．3C．1728D．10
4.【2014高考湖南理第21题】如图7,O为坐标原点,椭圆1:C??2210xyabab????的左右焦点分别为
12,FF,离心率为1e;双曲线2:C221xyab??的左右焦点分别为34,FF,离心率为2e,已知1232ee?,且
2431FF??.
(1)求12,CC的方程;
(2)过1F点作1C的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与2C交于,PQ两点时,求四边形
APBQ面积的最小值.
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5.【2014高考江苏第18题】如图：为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区，
规划要求，新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两
端O和A到该圆上任一点的距离均不少于80m，经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O
正东方向170m处，（OC为河岸），4tan3BCO??.
（1）求新桥BC的长；
（2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？
6.【2014高考山东卷第21题】已知抛物线2:2(0)Cypxp??的焦点为F，A为C上异于原点的任意一
点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有||||FAFD?.当点A的横坐标为3时，
ADF?为正三角形.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）若直线1//ll，且1l和C有且只有一个公共点E，
（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）ABE?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由
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7.【2014高考四川第16题】已知椭圆C：221xyab??（0ab??）的焦距为4，其短轴的两个端点与长
轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3x??上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
（ii）当||TF
PQ
最小时，求点T的坐标.[来源:Z_xx_k.Com]
【反馈练习】
1．已知二次曲线224xym?=1，则当??1,2???m时，该曲线的离心率e的取值范围是（）
A．23[,]22B．26[,]22
C．56[,]22D．36[,]22
2．【2015河南顶级名校高三入学考试】抛物线24yx?的焦点为F，点,AB在抛物线上，且0120AFB??，
弦AB中点M在其准线上的射影为N，则||
||MNAB
的最大值为（）
（A）33（B）233（C）3（D）433
[来源:学_科_网]
4．【2015四川巴蜀联盟】如图，点M（23,2）在椭圆221xyab??（a＞b＞0）上，且点M到两焦点的距
离之和为4.
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（1）求椭圆方程；
（2）设与MO（O为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A、B（A、B不重合），求OAOB?的取值范围.
5.【2015浙江综合调研】已知椭圆)0(1:
2
2
2
2????babyaxC经过点)221(，M，其离心率为22，设直
线mkxyl??：与椭圆C相交于BA、两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；[来源:学,科,网]
（Ⅱ）已知直线l与圆3222??yx相切，求证：OBOA?（O为坐标原点）；
（Ⅲ）以线段OAOB，为邻边作平行四边形OAPB，若点Q在椭圆C上，且满足OPOQ??（O为坐标
原点），求实数?的取值范围．
6.【2015届四川成都实验外国语学校高三月考】设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点Q
（2，2）在椭圆上.
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围.
（3）过M（11,yx）的直线1l:28211??yyxx与过N（22,yx）的直线2l:
28222??yyxx的交点P（00,yx）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G，H两点，求???OG·???OH
的值.
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7.【2015届辽宁省大连市第二十中学月考】平面内动点P（x，y）与两定点A（-2,0）,B（2,0）连线的
斜率之积等于13?，若点P的轨迹为曲线E，过点Q(1,0)?作斜率不为零的直线CD交曲线E于点CD、．
（1）求曲线E的方程；
（2）求证：ACAD?；
（3）求ACD?面积的最大值．
8.【2015河南八校】已知抛物线214yx?，过点P(0，2)作直线l，交抛曲线于A,B两点，O为坐标原点，
（Ⅰ）求证：OAOB?为定值；
（Ⅱ）求三角形AOB面积的最小值.
9．【2015湖北孝感高中十月月考】设椭圆??22:10xyCabab????的左、右焦点分别为12FF、，上顶点
为A，在x轴负半轴上有一点B，满足112=BFFF，且2ABAF?．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若过2ABF、、三点的圆与直线330xy???相切，求椭圆C的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点2F作斜率为k的直线l与椭圆C交于MN、两点，线段MN的中垂线与
x轴相交于??0Pm，，求实数m的取值范围．
10.【山东省日照一中2014届高三下学期开学考试】如图，椭圆22
1:1(0)xyCabab????
的离心率为22，
x轴被曲线22:Cyxb??截得的线段长等于1C的短轴长。2C与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与
2C相交于点AB、，直线,MAMB分别与1C相交于点DE、。
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（1）求1C、2C的方程；
（2）求证：MAMB?。
（3）记,MABMDE??的面积分别为12SS、，若1
2
SS??，求?的取值范围。
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