江苏省2016年高考优题精练
数列
一、填空题
1、（2015年江苏高考）数列满足，且，则数列的前10项和为_________。
2、（2014年江苏高考）在各项均为正数的等比数列中，若，，则的值是▲
3、（2013年江苏高考）在正项等比数列中，，，则满足的最大正整数的值为。
4、（2015届南京、盐城市高三二模）记等差数列的前n项和为，已知，且数列也为等差数列，则=
5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））已知等差数列的首项为4，公差为2，前项和为．若()，则的值为▲．
6、（苏锡常镇四市2015届高三教学情况调研（二））已知等差数列满足：．若将都加上同一个数，所得的三个数依此成等比数列，则的值为▲
7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）在等比数列中，已知，则▲
8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）设是等差数列的前项和，若数列满足且，则的最小值为▲an}的前n项和为Sn．若a1＝1，Sn＝2(a1＋an)(nn∈N)，则Sn＝▲
10、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知等比数列前项和为，且则数列公比为▲的各项均为正数则▲
12、（苏州市2015届高三上期末）已知等差数列中，，若前5项的和，则其公差为
13、（泰州市2015届高三上期末）等比数列中，，，则数列的前项和为▲已知数列的首项，前项和为，且满足，则满足的的最大值为}的前n项和为Sn，且，若对任意，都有，则实数p的取值范围是＿＿＿＿
二、解答题
1、（2014年江苏高考）设是各项为正数且公差为的等差数列，
（1）证明：依次构成等比数列；
（2）是否存在，使得依次构成等比数列？并说明理由；
（3）是否存在及正整数，使得依次构成等比数列？并说明理由。
2、（2014年江苏高考）设数列{}的前n项和为.若对任意的正整数n,总存在正整数m,使得，则称{}是“H数列。”
（1）若数列{}的前n项和=（n），证明：{}是“H数列”；
（2）设数列{}是等差数列，其首项=1.公差d0.若{}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{}，总存在两个“H数列”{}
和{}，使得=（n）成立。
3、（2013年江苏高考）设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和。记，，其中为实数。
（1）若，且成等比数列，证明：（）；
（2）若是等差数列，证明：。
4、（2015届南京、盐城市高三二模）给定一个在这个数列里，任取项，不改变它们在数列中的先后次序，得到的数列称为数列的一个子数列(n∈N，a为常数)，等差数列a2，a3，a6是数列{an}的一个3阶子数列．
（1）求a的值；
（2）等差数列b1，b2，…，bm是{an}的一个m(m≥3，m∈N)阶子数列，且b1＝(k为常数，
k∈N，k≥2)，求证：m≤k＋1；
（3）等比数列c1，c2，…，cm是{an}的一个m(m≥3，m∈N)阶子数列，
求证：c1＋c2＋…＋cm≤2－．
5、（南通、扬州、连云港2015届高三第二次调研（淮安三模））设是公差为的等差数列，是公比为()的等比数列．．为等比数列；
（2）已知数列的前4项分别为4，10，19，34．和的通项公式；
②是否存在元素均为正整数的集合，，…，(，)，使得数列
，，…，为等差数列？证明你的结论．为常数，且为正整数，，无穷数列的各项均为正整数，其前项和为，对任意正整数，．数列中任意两不同项的和构成集合
（1）证明无穷数列为等比数列，并求的值；
（2）如果，求的值；
（3）当时，设集合中元素的个数记为
求数列的通项公式
7、（泰州市2015届高三第二次模拟考试）已知，，满足，是数列项和，是公差为的等差数列．数列，，求数列的通项公式；
（2）若（是不为零的常数），求证：数列（为常数，），，求证：对任意的，数列单调递减．
8、（盐城市2015届高三第三次模拟考试）设函数（其中），存在无穷数列，使得.
（1）求（用表示）；
（2）时，，的前项和为，求证：；
（3）若数列是公差不为零的等差数列，求的通项公式.
9、（2015届江苏南京高三9月调研）已知{an}是等差数列，其前n项的和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝＝＋an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn＝anbn，n∈N，求数列{cn}的前n项和．
10、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知无穷数列满足：，且对于任意，都有．
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式．
中，已知，且满足，，为常数．
(1)证明：，，成等差数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)当时，数列中是否存在三项，，成等比数列，且，，也成等比数列？若存在，求出，，的值；若不存在，说明理由．
12、（南京市、盐城市2015届高三上期末）设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数（），求证：“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列满足：对任意的正整数，都有
，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.
13、（南通市2015届高三上期末）设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”.
若数列的前项和为，证明：是“紧密数列”；
设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求.的取值范围.中.
（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.
15、（泰州市2015届高三上期末）数列，，满足：，，．
（1）若数列是等差数列，求证：数列是等差数列；
（2）若数列，都是等差数列，求证：数列从第二项起为等差数列；
（3）若数列是等差数列，试判断当时，数列是否成等差数列？证明你的结论．
，所以
。故
2、43、12
4、505、76、－17、648、
9、10、2－2n－111、
12、213、14、915、
二、解答题
1、（1）证明：设，因为：
因为，，所以
依次构成等比数列。
因为，，所以
依次构成等比数列。
所以依次构成等比数列。
（2）假设依次构成等比数列，那么应该有：
，因为
，所以………(a)，考察(a)的解，
故为的极大值，而，所以符合（a）的解。
又，（因为数列各项为正数）。所以
，解得，。
所以，这与（a）矛盾。所以不存在这样的，使得依次构成等比数列。
（3）假设存在及正整数，使得依次构成等比数列，那么：
，而
…………(a)
…….(b)
由于，而，（且各项不等）
所以，所以。
令，，则，同理，
。代入(a),(b)得：
，等式两边取对数变形得：
由（e）（f）得到新函数:
，求导得到：
，令
，求二阶导数得：
，令
，则，
而，故单调递减，又，所以除了
外无零点，而这与题目条件不符。
所以：不存在及正整数，使得依次构成等比数列。
2、（1）证明：∵=，∴==（n），又==2=，∴（n）。∴存在m=n+1使得
（2）=1+（n-1）d，若{}是“H数列”则对任意的正整数n,总存在正整数m,使得。=1+（m-1）d成立。化简得m=+1+，且d0
又m，，d，且为整数。
（3）证明：假设成立且设都为等差数列，则
n+=+（-1），=++1，
∴=（）同理=（）取==k
由题==+（-1）++（-1）
=（）+（n-1）（）=（n+k-1））
可得{}为等差数列。即可构造出两个等差数列{}
和{}同时也是“H数列”满足条件。
3、证明：∵是首项为，公差为的等差数列，是其前项和
∴
（1）∵∴
∵成等比数列∴∴
∴∴∵∴∴
∴
∴左边=右边=
∴左边=右边∴原式成立
（2）∵是等差数列∴设公差为，∴带入得：
∴对恒成立
∴由①式得：∵∴
由③式得：
法二：证：（1）若，则，，．
成等比数列，，
即：，得：，又，故．
，，．
（）．
，
．
若是等差数列，则型．
故有：，即，而≠0，
故．
时是等差数列．
解，a3＝，a6＝，
代入得－＝－，解得a＝0．……………3分
（2）设等差数列b1，b2，…，bm的公差为d．
因为b1＝，所以b2≤，
从而d＝b2－b1≤－＝－．………………6分
所以bm＝b1＋(m－1)d≤－．
又因为bm＞0，所以－＞0．
即m－1＜k＋1．
所以m＜k＋2．
又因为m，k∈N，所以m≤k＋1．……………9分
（3）设c1＝(t∈N)，等比数列c1，c2，…，cm的公比为q．
因为c2≤，所以q＝≤．
从而cn＝c1qn－1≤（1≤n≤m，n∈N）．
所以c1＋c2＋…＋cm≤＋＋＋…＋
＝[1－]
＝－．…………13分
设函数f(x)＝x－，（m≥3，m∈N）．
当x∈(0，＋∞)时，函数f(x)＝x－为单调增函数．
因为当t∈N，所以1＜≤2．所以f()≤2－．
即c1＋c2＋…＋cm≤2－．………16分
5、解：（1）证明：依题意，
，……3分
从而，又，
所以是首项为，公比为的等比数列．……5分
（2）①法1：由（1）得，等比数列的前3项为，，，
则，
解得，从而，……7分
且
解得，，
所以，．……10分
法2：依题意，得……7分
消去，得
消去，得
消去，得，
从而可解得，，，，
所以，．……10分
②假设存在满足题意的集合，不妨设，，，，且，，
，成等差数列，
则，
因为，所以，①
若，则，
结合①得，，
化简得，，②
因为，，不难知，这与②矛盾，
所以只能，
同理，，
所以，，为数列的连续三项，从而，
即，
故，只能，这与矛盾，
所以假设不成立，从而不存在满足题意的集合．，，所以，
因为数列是各项不为零的常数列，所以，，
则由及得，
当时，，两式相减得，
当时，，也满足，故．…………4分，
当时，，两式相减得，
即，，即，
又，所以，
即，
所以当时，，两式相减得，
所以数列从第二项起是公差为等差数列；
又当时，由得，
当时，由得，
故数列是公差为等差数列．…………15分时，，即，
因为，所以，即，所以，即，
所以，
当时，，两式相减得，
即，故从第二项起数列是等比数列，
所以当时，，
，
另外由已知条件得，又，，，
所以，因而，令，则，
因为，所以，所以对任意的，数列单调递减．……………16分解:（1）由题意，得，
显然的系数为0，所以，从而，.………………………4分
（2）由，考虑的系数，则有，
得，即，
所以数列单调递增，且，
所以，
当时，.…………………………10分
（3）由（2），
因数列是等差数列，所以，所以对一切都成立，
若，则，与矛盾，
若数列是等比数列，又据题意是等差数列，则是常数列，这与数列的公差不为零矛盾，
所以，即，由（1）知，，所以.………16分
、表示出，，，，由数列，解方程组也可求得.）
解法2：由（1）可知，是等差数列，设公差为
，，.又由（2），得，若即时，，与条件公差不为零相矛盾，因此则.由,可得
,整理可得
代入,,或
若,则，与矛盾，
,则,满足题意,所以
an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q．
由a1＝b1＝＝＝＋解得
所以an＝n＋1，bn＝2n，n∈N．………………………………7分
（2）由题意知，cn＝(n＋1)×2n．
记Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn．
则Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn
＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，
2Tn＝2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋(n＋1)2n＋1，
所以－Tn＝2×2＋(22＋23＋…＋2n)－(n＋1)×2n＋1，……………………………11分
即Tn＝n·2n＋1，n∈N．………………………………14分
10、解：（1）由条件，，
令，得．…………………………………………………………2分，且，易求得．……………………………4分，得，求得．…………………………………………6分2）∵(1)
∴(2)
由(1)-(2)得，
……………………………………………8分
∴
∴，∴数列为常数数列．………………………12分
∴∴
∴数列为等差数列．……………………………………………………………14分
又公差，∴．……………………………………………16分
11、（1），所以，
同理，，，……………………2分
又因为，，…………………………………………………3分
所以，故，，成等差数列．………………………………4分
（2）由得，
令，则，，
是的等差数列，，
即，，
．………………………………………………………8分
，
当，
当
所以数列的前项和
（3）由（2）知，用累加法可求得，
当时也适合，所以
假设存在三项成等比数列，且也成等比数列，
则，即，
因为成等比数列，所以，，
化简得，联立得．矛盾．
故不存在三项成等比数列，且也成等比数列．
12、解：（1）数列是各项均为正数的等比数列，，，
又，，，；…………4分
（2）（ⅰ）必要性：设这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若，则，，，
.…………6分
②若，则，，左边为偶数，等式不成立，
③若，同理也不成立，
综合①②③，得，所以必要性成立.…………8分
（ⅱ）充分性：设，，
则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，
所以充分性也成立.
综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立.…………10分
（3）因为，
即，（）
当时，，（）
则（）式两边同乘以2，得，（）
（）－（），得，即，
又当时，，即，适合，.………14分
，，
时，，即；
时，，此时单调递减，
又，，，，.……………16分
13、
14、解：（1）设，
因为
．…………………………………2分
若数列是等比数列，则必须有（常数），
即，即，…………………5分
此时，
所以存在实数，使数列是等比数列………………………………………6分
（注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分）
（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，
故，即，…………………8分
由，得，……10分
所以，
，………………………………………………………………12分
显然当时，单调递减，
又当时，，当时，，所以当时，；
，
同理，当且仅当时，．
综上，满足的所有正整数为1和2．……………………………………………16分
15、证明：（１）设数列的公差为，
∵，
∴，
∴数列是公差为的等差数列．………………４分时，，
∵，∴，∴，
∴，
∵数列，都是等差数列，∴为常数，
∴数列从第二项起为等差数列．………………１０分成等差数列．
解法１设数列的公差为，
∵，
∴，∴，…，，
∴，
设，∴，
两式相减得：，
即，∴，
∴，
∴，………………１２分，得，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴数列（）是公差为的等差数列，………………１４分，令，，即，
∴数列是公差为的等差数列．………………１６分，，
令，，即，………………１２分，，
∴，
∵数列是等差数列，∴，
∴，………………１４分，∴，
∴数列是等差数列．………………１６分
26
|
|
