Gothedistance
必修一
第一章集合与函数
一、集合
1.集合的表示法
（1）列举法.如｛1,2｝，｛(1,2)｝.
（2）描述法.一般形式是｛x∈A|p(x)｝，其中p(x)表示x所满足的条件，“∈A”也可写在
“｜”后面，当A为实数集R时可省略“∈R”.有时“|”也可省略，如｛三角形｝.
（3）文氏图法.
（4）特定集合的表示.整数集Z，自然数集N，正整数集N＊，有理数集Q，实数集R，
复数集C，空集：?.
说明：要注意这些字母印刷字体的不同表示的集合意义不同.如C表示复数集，而C则
aM?）.
（2）集合与集合：如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作
A?B或B?A.
若集合A是集合B的子集，且A中至少有一个元素不属于B，则称A是B的真子集，
记作AB或BA.
注：（1）规定?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（2）n个元素的集合共有2n个子集（包括空集及自身）.
3.集合的运算
（1）交集：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.
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（2）并集：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.
（3）补集：CUA={x|x∈U，且x?A}.
补充：用图形表示集合及其运算是重要内容，请同学们注意图中各
部分的表示方法.
图中左圆表示A，右圆表示B，矩形表示U，则Ⅰ=A∩CUB，
Ⅱ=A∩B，Ⅲ=CUA∩B，Ⅳ=CU(A∪B)=CUA∩CUB，Ⅰ+Ⅲ+Ⅳ=CU(A∩B)=CUA∪B.
二、函数
1.函数的概念
设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个
数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B
的一个函数，记作
∈N)要求f(x)≠0，….
注意：求定义域时不能先变形！如1
111xyxx????
，变形前后x值范围不同.
（2）人为规定的定义域：
如函数y=x2(x<0)，定义域为{x|x<0}而非R.
（3）由实际意义限定的定义域：
自变量有实际意义时，还要考虑其实际意义.如圆的面积S＝πr2，其定义域为{r|r>0}而
不是R.
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4.值域
（1）求值域的常用方法
①单调性法.如果f(x)在［a,b］上单调递增，则其值域为［f(a),f(b)］；如果f(x)在［a，
b］上单调递减，则其值域为［f(b),f(a)］.如1yxx???
②换元法.通过换元转化为其他函数.如1yxx???可设1tx??化为y=-t2+t+1(t
≥0)，21yxx???可设x=cosθ(0≤θ≤π)化为y=sinθ+cosθ.
③判别式法.如2111
2222axbxcyaxbxc???
，其中1a，2a不全为0，且分子分母无非常数公因
式.
④转化法.通过换元、变形等转化成已知定义域的函数.如求
222248yxxxx??????的最小值.
⑤不等式法：见必修5.
⑨f(x)=ax2+bx+c(a>0，x∈[m,n])：设
02bxa??
，
1°当x0≤m时，值域为［f(m),f(n)］；
2°当
02mnmx???
时，值域为［f(x0),f(n)］；
3°当
02mnxn???
时，值域为［f(x0),f(m)］；
4°当x0≥n时，值域为［f(n),f(m)］.
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说明：①这4种情况可结合图象记忆，不需死记.②若只求最大值则可分x0
两种情况，若只求最小值则可分x0m三种情况，若最大值和最小值都求
则分四种情况.③a<0时可仿照上面的原理.
5.函数的单调性
（1）概念：设D是函数f(x)定义域内的一个区间.
?x1，x2∈D，x1
?x1，x2∈D，x1f(x2)，则f(x)是D上的减函数.
（2）单调函数图象的特点
增函数的图象随x增大而上升，减函数的图象随x增大而下降.
（3）单调函数的判定及证明
①定义法：?x1，x2∈D，x1
的符号，变形时往往是因式分解或配方.
②导数法：见选修.
（4）几个常用函数的单调性
②－增＝减，－减＝增；
③增—减＝增，减—增＝减，增—增＝不定，减—减＝不定；
（6）复合函数的单调性
①定义：设y=f(t)，t=g(x)，则函数y=f(g(x))叫做复合函数.
②单调性口诀：同增异减.
解释：两个函数单调性相同时，复合函数为增函数；两个函数单调性相反时，复合函数
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为减函数.如g(x)在［a,b］上单调增，f(t)在［g(a),g(b)］上单调减，则f(g(x))在［a,b］
上单调减.
6.函数的奇偶性
（1）定义
设f(x)定义域为D，?x∈D，若f(-x)=f(x)，则f(x)为偶函数；若f(-x)=-f(x)，则f(x)
为奇函数.
（2）图象的特点
奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称.
（3）判定
先看定义域是否关于原点对称.若定义域关于原点对称，再求f(-x)，看是否满足定义中
的等式.
注：f(x)为奇函数时，若f(0)有意义，则必有f(0)=0.
（4）运算
奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇±偶＝非奇非偶；
奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
7.函数的图象
①关于x=m对称：满足f(2m-x)=f(x)或f(m+x)=f(m-x)，注意(2m-x)+x=(m+x)+(m-x)=2m.
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②关于点(m,n)对称：满足f(2m-x)=2n-f(x).
说明：①一般地，若f(x+a)=f(b-x)，则f(x)的图象有对称轴
2abx??
；若f(x+a)=f(x+b)，
则f(x)的周期为|b-a|.②任何函数的图象都不可能关于直线y=n对称.
第二章基本初等函数
一、指数函数
1.指数及其运算
(,Z,2)mnmnaamnn???
1(R)ppapa???
,,nnanaan???
???
ap·aq=ap+q（以下a，b>0，p，q∈R）
ap÷aq=ap-q
(ap)q=apq
(a·b)p=ap·bp
(a÷b)p=ap÷bp
2.指数函数
（1）定义：y=ax（a>0，a≠1）
（2）图象：
③图象过定点：(0,1)
④单调性：a>1时，在R上是增函数，0＜a＜1时，在R上是减函数.
为奇数时
为偶数时
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二、对数函数
1.对数及其运算
（1）定义
ab=N?logaN=b（a>0，a≠1，N＞0）
常用对数：lgN=log10N
自然对数：lnN=logeN，其中e=2.71828…是无理数常数.
（2）性质
①loga1=0，②logaa=1，③logaap=p，
④负数和零没有对数.
（3）运算法则
loga(M×N)=logaM+logaN
loga(M÷N)=logaM－logaN
logaNp=plogaN
（4）换底公式：loglog
logcacbba?
，其中a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0.
2.对数函数
（1）定义：y=logax（a>0,a≠1）
（2）图象：
（3）性质：
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（3）性质：
函数y=xy=x2y=x312yx?y=x-1
定义域RRR［0,＋∞){x|x≠0}
值域R［0,＋∞)R［0,＋∞){y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性R增
(－∞,0］减
［0,＋∞)增
R增［0,＋∞)增
(－∞,0)减
(0,＋∞)减
定点n>0时，都过(0,0)和(1,1)，n<0时，都过(1,1)
第三章函数的应用
一、函数与方程
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②条件成立时，零点不一定是唯一的.
3.二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且满足f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法
叫做二分法．
给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：
1°确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
2°求区间(a，b)的中点x1；
3°计算f(x1)，若f(x1)=0，则x1就是函数的零点；若f(a)·f(x1)<0，则令b=x1（此时零
点x0∈(a，x1))；若f(x1)·f(b)<0，则令a=x1（此时零点x0∈(x1，b))．
4°判断是否达到精确度ε：若|a-b|＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复2°—4°.
注：①当区间长度小于精度ε时，区间上任何一个数都可以做为零点的近似值，而并非
一定是a（或b）；②经过n次对分后区间长度为2
nba?
，由
2nba???
可以估计对分区间的
次数.
二、函数模型及其应用
1.几种常见函数模型
线性函数：y=ax+b(a≠0)
反比例函数：(0)kyk
x??
指数型函数：y=a·bx+c
设f(x)=ax2+bx+c(a>0)的两根为x1，x2，
02bxa??
，m
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①1xm?，0
20
,
()0,
()0.
xm
xmfx
fm
???
?????
??
②x1
③1xm?，0
20
,
()0,
()0.
xm
xmfx
fm
???
?????
??
④
12()0,()0.fmxmxnfn?????????
解掌握，不要死记；②为帮助记忆，可认为a>0时，有f(+∞)＞0，f(－∞)＞0，例如当f(m)<0
时，函数在f(－∞)·f(m)<0，故在(-∞,m)上有一根.
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