Gothedistance
必修2
第一章空间几何体
一、空间几何的结构
1.棱柱的结构特征
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，
由这些面所围成的几何体叫做棱柱.
2.棱锥的结构特征
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体
二、三视图和直观图
1.三视图
三视图即物体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图.重点掌握柱、锥、台、
球及其组合体的三视图．
2.直观图
用斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画
成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′,且使∠x′O′y′＝45°（或135°）,它们确定的平面表示
水平面.
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线
段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，
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长度为原来的一半.
说明：多边形面积S和其直观图面积S′有等量关系:22SS?’.
三、表面积和体积
1.侧面展开图
（1）圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的两边长分别等于底面周长2πr和母线l.
（2）圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于底面周长2πr，半径等于母线l.
（3）圆台的侧面展开图是扇环，扇环的两条弧长分别等于两底面周长2πr和2πR，宽
等于母线长l.
2.面积公式
S圆柱侧＝2πrl（r为底面半径，l为母线长）
S圆锥侧＝πrl（r为底面半径，l为母线长）
S圆台侧＝π(r＋R)l（r，R为两底面半径，l为母线长）
S球＝4πR2（R为球的半径）
说明：○1多面体的表面积等于其各个面的面积之和；○2圆柱、圆锥和圆台的表面积为侧
面积＋底面积.
第二章空间点、直线、平面之间的位置关系
一、位置关系
1.公理
公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
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公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直
线.
公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行.
定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
2.位置关系
（1）空间两条直线
相交：有一个公共点
平行：没有公共点
异面：没有公共点，不在任何一个平面内
异面直线所成的角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，
我们把a′，b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）.如果两条异
面直线所成的角是直角，那么就说两条异面直线互相垂直.
（3）两个平面
平行：没有公共点，记作α∥β.
相交：有一条公共直线，记作α∩β＝l.
二、平行的判定和性质
1.直线与平面平行
判定定理若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
性质定理若一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该
直线平行.
2.平面与平面平行
判定定理若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.
性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行.
在同一平面内
Gothedistance
三、垂直的判定和性质
1.直线与平面垂直
定义如果直线l与平面?内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面?垂直.
判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与该平面垂直.
性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.平面与平面垂直
二面角定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二
面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O
为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则∠AOB叫做二面角的平
面角.二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二
面角.二面角的取值范围：[0°,180°].
1.倾斜角与斜率
（1）当直线l与x轴相交时,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l
的倾斜角.
当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
范围：0°≤α＜180°
（2）一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，即k＝tanα.
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注：当l垂直于x轴时，倾斜角为90°，斜率不存在.
（3）斜率公式
过两点A(x1，y1)，B(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率为
??
?2121yykxx
.
2.两条直线平行与垂直的判定
设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则
l1∥l2?k1＝k2，且b1≠b2，
l1⊥l2?k1·k2＝－1.
注：当两条直线的斜率都不存在时，l1∥l2；当一条直线斜率不存在，另一个直线斜率
为0时，l1⊥l2.解题时一定不要忽略斜率不存在的情况.
二、直线的方程
2.距离公式
（1）两点间的距离公式.点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的距离为
????22122121ppxxyy????
（2）点到直线的距离.P(x0,y0)到直线Ax＋By＋C=0的距离为
Gothedistance
00
22
AxByCdAB????
（3）平行线的距离.Ax＋By＋C1=0和Ax＋By＋C2=0的距离为
1222???CCdAB
3.直线系方程
（1）平行、垂直直线系
设直线l：Ax＋By＋C=0,则:
与l平行的直线系为：Ax＋By＋C′＝0；
与l垂直的直线系为：Bx－Ay＋C′＝0.
（2）过交点的直线系
已知两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则过两直线交点的直线系
为：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，但不包括l2.
注:若曲线方程可以改写成f(x,y)＋λg(x,y)＝0的形式，且方程组fxy
gxy?????(,)0,(,)0,
有实数解
xx,yy,????
?00
则该曲线必过点(x0,y0).用这种方法可以解决过定点问题.
二、位置关系
1.点与圆
Gothedistance
设点P，圆心C，半径r，则
P在圆内?|PC|＜r；
P在圆上?|PC|＝r；
P在圆外?|PC|＞r.
2.直线与圆
设直线l与圆心距离为d，则
l与圆相交?d＜r；
l与圆相切?d＝r；
l与圆相离?d＞r.
3.圆与圆
设两圆圆心间距离为d，半径分别为r，R，则
内含?d＜r－R|；
内切?d＝|r－R|；
相交?|r－R|＜d＜r＋R；
外切?d＝r＋R；
外离?d＞r＋R.
空间直角坐标系中的坐标，记作M(x,y,z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵
坐标，z叫做点M的竖坐标.
2.空间两点间距离公式
Gothedistance
dxxyyzz??????222212121()()()
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