Gothedistance
1
几类圆锥曲线问题
一、弦长问题
圆锥曲线的弦长求法
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(11,yx)、B(22,yx)两点，则弦长|AB|为：
(2)若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|．
例1过抛物线241xy??的焦点作倾斜角为?的直线l与抛物线交于A、B两点，旦|AB|=8，求倾斜角?．
分析一：由弦长公式易解．解答为：
∵抛物线方程为yx42??，∴焦点为(0，-1)．
设直线l的方程为y-(-1)=k(x-0)，即y=kx-1．
将此式代入yx42??中得：0442???kxx．∴kxxxx442121?????，
由|AB|=8得:????41441822????????kk∴1??k
又有1tan???得:4???或43???.
分析二:利用焦半径关系.∵2,2
21pyBFpyAF??????
∴|AB|=-(1y+y2)+p=-[(kx1-1)+(kx2-1)]+p=-k(1x+x2)+2+p．由上述解法易求得结果，可由同学们自
己试试完成．
二、最值问题
方法1：定义转化法
①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．
例2、已知点F是双曲线x
2
4－
y2
12＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋
|PA|的最小值为________．
解析如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，
即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，
将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，
即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，
Gothedistance
2
即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.故填9.
方法2：数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两
平行线的距离即为所求的最值．
例3、求椭圆x
2
2＋y
2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
解设椭圆的切线方程为y＝x＋b，
代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±3.
当b＝3时，直线y＝x＋3与y＝x＋23的距离d1＝62，将b＝3代入方程3x2＋4bx＋2b2－
2＝0，解得x＝－233，此时y＝33，
即椭圆上的点??????－233，33到直线y＝x＋23的距离最小，最小值是62；
当b＝－3时，直线y＝x－3到直线y＝x＋23的距离d2＝362，将b＝－3代入方程3x2＋
4bx＋2b2－2＝0，解得x＝233，此时y＝－33，
即椭圆上的点??????233，－33到直线y＝x＋23的距离最大，最大值是362.
方法3：参数法（函数法）
①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值
例4、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x
2
3＋y
2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
解析因为椭圆x
2
3＋y
2＝1的参数方程为
?
??x＝3cosφy＝sinφ，(φ为参数)．
故可设动点P的坐标为(3cosφ，sinφ)，其中0≤φ＜2π.
因此S＝x＋y＝3cosφ＋sinφ＝2??????32cosφ＋12sinφ＝2sin??????φ＋π3，
Gothedistance
3
所以，当φ＝π6时，S取最大值2.故填2.
方法4：基本不等式法
①将最值用变量表示．
②利用基本不等式求得表达式的最值．
例5、求椭圆x
2
3＋y
2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．
例6已知定点A(0，3)点B、C分别在椭圆2216413xy??的准线上运动，当∠BAC=90°时，求△ABC面积的
最小值。
解：椭圆2216413xy??的两条准线方程分别为：y=1或y=－1。
点B在直线y=1上且设B（a，1），点C在直线y=－1上且设C（b，－1），由于∠BAC=90°，A(0，3)，
所以2
ABka??
，4
ACkb??
ABk·ACk=81ab??，ab=－8。
1||||2ABCSABAC??=222222114161646422ababab??????=2211612816()82aa???，当且
仅当2
216aa?
，即2a??，4b?时△ABC面积的值最大为8。
例7已知2x+4(y-1)2=4，求：(1)2x+y2的最大值与最小值;(2)x+y的最大值与最小值．
解：(1)将2x+4(y-1)2=4代入得：2x+y2=4-4(y-1)2+y2=-3y2+8y
由点(x，y)满足2x+4(y-1)2=4知：4(y-1)2≤4即|y-1|≤1．∴0≤y≤2．
当y=0时，(2x+y2)min=0．
(2)：分析：显然采用(1)中方法行不通．如果令u=x+y，则将此代入2x+4(y-1)2=4中得关于y的一元
二次方程，借助于判别式可求得最值．
Gothedistance
4
令x+y=u，则有x=u-y,代入2x+4(y-1)2=4得：52y-(2u+8)y+2u=0．
又∵0≤y≤2，(由(1)可知)∴[-(2u+8)]2-4×5×2u≥0．
∴5151????u
当51??u时,??2,0551???y;当51??u时,??2,0551???y
∴??51max???yx;??51min???yx
三、定值、定点问题
方法1：特殊到一般法
根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题
①根据特殊情况确定出定值或定点；
②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．
例8、已知双曲线C：x2－y
2
2＝1，过圆O：x
2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，
证明：∠AOB的大小为定值．
证明:当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝±2.
当x＝2时，代入双曲线方程，得y＝±2，
即A(2，2)，B(2，－2)，此时∠AOB＝90°，
同理，当x＝－2时，∠AOB＝90°.
当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，
则|b|1＋k2＝2，即b2＝2(1＋k2)．
由直线方程和双曲线方程消掉y，
得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，
由直线l与双曲线交于A，B两点．
故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
Gothedistance
5
则x1＋x2＝2kb2－k2，x1x2＝－b
2＋2
2－k2，
y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2
＝－k
2b2－2k2
2－k2＋
2k2b2
2－k2＋
2b2－k2b2
2－k2＝
2b2－2k2
2－k2，
故x1x2＋y1y2＝－b
2－2
2－k2＋
2b2－2k2
2－k2＝
b2－21＋k2
2－k2，
由于b2＝2(1＋k2)，
故x1x2＋y1y2＝0，即OA→·OB→＝0，∠AOB＝90°.
综上可知，若l交双曲线于A，B两点，则∠AOB的大小为定值90°.
方法2：引进参数法
定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).
①引进参数表示变化量；
②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点
例9、如图所示，曲线C1：x
2
9＋
y2
8＝1，曲线C2：y
2＝4x，过曲线C
1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，
分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若G为CD的中点、H为BE的中点，证明|BE|·|GF2||CD|·|HF
2|
为定值．
（自由变量，分析、转化问题）
证明由题意，知F1(－1,0)，F2(1,0)，
设B(x1，y1)，E(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
直线y＝k(x－1)，代入x
2
9＋
y2
8＝1，
Gothedistance
6
得8??????yk＋12＋9y2－72＝0，即(8＋9k2)y2＋16ky－64k2＝0，
则y1＋y2＝－16k8＋9k2，y1y2＝－64k
2
8＋9k2.
同理，将y＝k(x－1)代入y2＝4x，得ky2－4y－4k＝0，
则y3＋y4＝4k，y3y4＝－4，
所以|BE|·|GF2||CD|·|HF
2|
＝|y1－y2||y
3－y4|
·
1
2|y3＋y4|
1
2|y1＋y2|
＝y1－y2
2
y1＋y22·
y3＋y42
y3－y42
＝y1＋y2
2－4y
1y2
y1＋y22·
y3＋y42
y3＋y42－4y3y4＝
－16k2
8＋9k22＋
4×64k2
8＋9k2
－16k2
8＋9k22
·?
?????4k2
??
?
??
?4
k
2＋16
＝3
为定值．
例10A、B是抛物线22ypx?（p＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：
（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；
（2）直线AB经过一个定点。
证明：（1）设A（11,xy）、B（22,xy），则2112ypx?，2222ypx?。
∵22121222yypxpx???=22121244xxpyy??，∴2124yp??为定值，212124xxyyp???也为定值。
（2）∵2221212112()()2()yyyyyypxx??????，∵12xx?，∴21
2112
2yypxxyy????
∴直线AB的方程为：21
1112122ypyyxyyyyy??????
2
1212
24ppxyyyy????
12
2(2)pxpyy???，∴直线AB过定点（2p，0）。
例11已知抛物线方程为212yxh???，点A、B及点P(2，4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。
（1）试证明直线AB的斜率为定值；
Gothedistance
7
（2）当直线AB的纵截距为m（m＞0）时，求△PAB的面积的最大值。
分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。
解析：（1）证明：把P(2，4)代入212yxh???，得h=6。所以抛物线方程为：y－4=k(x－2)，由
2
4(2)
16
2
ykx
yx
?????
?????
?
，消去y，得22440xkxk????。
所以
2
4422
2
244
A
A
kxk
ykk
????????
??????
?
，因为PA和PB的倾角互补，所以PBPAkkk????，用－k代k，得
2
22244B
B
xkykk????????
?
，所以BA
ABAByykxx???
2244
22(22)kkkk????????
=824kk?。
（2）设AB的方程为y=2x+m(m＞0)，由
2
2
16
2
yxm
yx
????
?????
?
，消去y得：
242120xxm????，令△=16－4(2m－12)＞0，解得0＜m＜8，
221212||5[()4]ABxxxx???25[44(212)]40(8)mm?????，点P到AB的距离
d=|224|
55mm????
，所以，2222211||40(8)2(8)445
PABmSABdmmm????????
=43
311888()()(8)8()2233mmm????
，所以，6439
PABS?
，
当且仅当182mm??，即163m?时，等号成立，故△PAB面积最大值为6439。
例12（2001年全国高考）设抛物线22ypx?（p＞0）的焦点为F，Cx
y
O
F
B
A
图2
Gothedistance
8
经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点。
方法1：设直线方程为()2pykx??，A11(,)xy，B22(,)xy，C
2(,)2py?
，∴
2
()2
2
pykx
ypx
????
???
?
，
2220pyypk???，∴212yyp??，1
1OA
ykx?，2
1
2
2
OC
ypkp
y???
，又∵2112ypx?，∴1
1OCOA
ykkx??，
即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O。
当k不存在时，AB⊥x轴，同理可证OCOAkk?。
方法2：如图2过A作AD⊥l，D为垂足，则：AD∥EF∥BC连结
AC与EF相交于点N，则||||||
||||||ENCNBFADACAB??
，|||
|||NFAFBCAB?
，
由抛物线的定义知：|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，∴
||||||||||||||||ADBFAFBCENNFABAB?????.
例13.在抛物线x2＝4y上有两点A(x1，y1)和B(x2，y2)且满足|AB|=y1+y2+2，求证：
(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线；
(2)
BFAF11?
为定值.
证明：(1)∵抛物线的焦点为F(0，1)，准线方程为y=-1．
∴A、B到准线的距离分别d1＝y1+1，d2=y2+1(如图2－46所示)．
由抛物线的定义：|AF|=d1=y1+1，|BF|=d2=y2+1．
∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB|即A、B、F三点共线．
(2)法1：如图2－46，设∠AFK=θ．
x
y
F
B
A
C
D
O
图3
NE
Gothedistance
9
∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2∴?sin12??AF
又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ∴?sin12??BF
法2：韦达定理
四、相交问题
直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用△≥0来处理．但用△≥0来判断双圆锥曲线
相交问题是不可靠的．解决这类问题：方法1，由“△≥0”与直观图形相结合；方法2，由“△≥0”与根
与系数关系相结合；方法3，转换参数法(以后再讲)．
例14已知曲线??12:22
1???ayxC
及1:22??xyC有公共点,求实数a的取值范围．
可得：2y=2(1-a)y+2a-4=0．
∵△=4(1-a)2-4(a2-4)≥0，∴25?a.
如图2－47，可知：
椭圆中心??a,0,半轴长2??a,抛物线顶点为??1,0,所以当圆锥曲线在下方相切或相交
时,21??a.
综上所述,当2521???a时,曲线1C与2C相交.
Gothedistance
10
五、参数范围问题
方法1：曲线几何性质法
①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．
例15、已知双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，
则此双曲线中ac的取值范围是________．
解析根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，设|PF2|＝r，
则|PF1|＝4r，故3r＝2a，即r＝2a3，|PF2|＝2a3.
根据双曲线的几何性质，|PF2|≥c－a，即2a3≥c－a，即ca≤53，即e≤53.又e＞1，
故双曲线的离心率e的取值范围是??????1，53.故填??????1，53.
方法2：判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的
判别式大于零、等于零、小于零
①联立曲线方程，消元后求判别式；
②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．
例16、在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x
2
2＋y
2＝1有两个不同的交点P
和Q.
(1)求k的取值范围；
(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量OP→＋OQ→与AB→共线？如果
存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
解(1)由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋2，
代入椭圆方程，得x
2
2＋(kx＋2)
2＝1，整理得
??
?
??
?1
2＋k
2x2＋22kx＋1＝0.①
由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得Δ＝8k2－4??????12＋k2＝4k2－2＞0，
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解得k＜－22或k＞22，即k的取值范围为??????－∞，－22∪??????22，＋∞.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP→＋OQ→＝(x1＋x2，y1＋y2)．
由方程①，知x1＋x2＝－42k1＋2k2.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝221＋2k2.③
由A(2，0)，B(0,1)，得AB→＝(－2，1)．
所以OP→＋OQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)，
将②③代入，解得k＝22.由(1)知k＜－22或k＞22，故不存在符合题意的常数k.
例17.已知椭圆)0(1
2
2
2
2????babyax的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰
好通过椭圆的左焦点1F，向量AB与OM是共线向量。（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点，
1F、2F分别是左、右焦点，求∠21QFF的取值范围；
解：（1）∵abycxcF
MM
2
1,),0,(????则
，∴acbk
OM
2??。
∵ABOMabk
AB与,??
是共线向量，∴abacb???2，∴b=c,故22?e。
（2）设1122121212,,,2,2,FQrFQrFQFrraFFc?????????
2222222121212
212121212
4()24cos110
22()2
rrcrrrrcaarr
rrrrrr?
?????????????
当且仅当21rr?时，cosθ=0，∴θ]2,0[??。
例18.椭圆14922??yx的焦点为F,1F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范
围是___。
Gothedistance
12
解：由椭圆14922??yx的知焦点为F1（－5,0）F2（5,0）.
设椭圆上的点可设为P（3cos?,2sin?）.21PFF??为钝角
∴1253cos,2sin)(53cos,2sin)PFPF????????????（
=9cos2?－5＋4sin2?=5cos2?－1<0
解得：55cos55????∴点P横坐标的取值范围是（553,553?）.
解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负
值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了.
课堂知识运用训练
Gothedistance
13
1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P
到点A(－1,1)的距离与点P到x＝－1直线的
距离之和的最小值为()．
A.2B.3C.5D.6
2．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝??????b2＋c2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，
则椭圆ac的范围为()．
A.55＜ac＜35B．0＜ac＜25C.25＜ac＜35D.35＜ac＜55
3．设F是椭圆x
2
7＋
y2
6＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，
|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为________．
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1＋y2y
0
的值为________．
5．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线
段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．
6．已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′
Gothedistance
14
在轴上所截得的弦．
(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．
Gothedistance
15
课堂知识运用训练-解析
1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x＝－1直线的距离
之和的最小值为()．
A.2B.3C.5D.6
解析如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，
准线是x＝－1，由抛物线的定义知：
点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离；
于是，问题转化为：在曲线上求一点P，
使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小；显然，连AF交曲线于P点．故
最小值为22＋1，即为5.答案C
2．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)和圆x2＋y2＝??????b2＋c2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，
则椭圆ac的范围为()．
A.55＜ac＜35B．0＜ac＜25C.25＜ac＜35D.35＜ac＜55
解析此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b)一个在圆外、一个在圆内即：
??
??
?a2＞??????b2＋c2
b2＜??????b2＋c2
?
??
??
?a＞b2＋c
b＜b2＋c
?
??
?a－c2＞14a2－c2
a2－c2＜2c
?55＜e＜35.答案A
3．设F是椭圆x
2
7＋
y2
6＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点Pi(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，
|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为________．
解析若公差d＞0，则|FP1|最小，|FP1|＝7－1；
数列中的最大项为7＋1，并设为第n项，
Gothedistance
16
则7＋1＝7－1＋(n－1)d?n＝2d＋1≥21?d≤110，
注意到d＞0，得0＜d≤110；若d＜0，易得－110≤d＜0.
那么，d的取值范围为??????－110，0∪??????0，110.
4．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，
y2)，当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1＋y2y
0
的值为________．
解析设直线PA的斜率为kPA，PB的斜率为kPB，
由y21＝2px1，y20＝2px0，得kPA＝y1－y0x
1－x0
＝2py
1＋y0
，同理kPB＝2py
2＋y0
，
由于PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，
因此2py
1＋y0
＝－2py
2＋y0
，即y1＋y2＝－2y0(y0＞0)，那么y1＋y2y
0
＝－2.
5．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B两点，P为线
段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．
解求直线方程，由于F(－c,0)为已知，仅需求斜率k，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则y0＝y1＋y22，
由于S△PFO＝12|OF|·|y0|＝c2|y0|只需保证|y0|最大即可，
由???y＝kx＋cb2x2＋a2y2＝a2b2?(b2＋a2k2)y2－2b2cky－b4k2＝0，
|y0|＝??????y1＋y22＝??????b
2ck
b2＋a2k2＝
b2c
b2
|k|＋a
2|k|
≤bc2a
得：S△PFO≤bc
2
4a，此时
b2
|k|＝a
2|k|?k＝±b
a，
故直线方程为：y＝±ba(x＋c)．
6．已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′
在轴上所截得的弦．
Gothedistance
17
(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；
(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理
由．
解(1)设O′(x0，y0)，则x20＝2py0(y0≥0)，
则⊙O′的半径|O′A|＝x20＋y0－p2，
⊙O′的方程为(x－x0)2＋(y－y0)2＝x20＋(y0－p)2，
令y＝0，并把x20＝2py0，代入得x2－2x0x＋x20－p2＝0，
解得x1＝x0－p，x2＝x0＋p，所以|MN|＝|x1－x2|＝2p，
这说明|MN|是不变化，其为定值2p.
(2)不妨设M(x0－p,0)，N(x0＋p,0)．
由题2|OA|＝|OM|＋|ON|，得2p＝|x0－p|＋|x0＋p|，
所以－p≤x0≤p.
O′到抛物线准线y＝－p2的距离d＝y0＋p2＝x
2
0＋p
2
2p，
⊙O′的半径|O′A|＝x20＋y0－p2＝x20＋??????x
2
0
2p－p
2＝1
2px
4
0＋4p
4.
因为r＞d?x40＋4p4＞()x20＋p22?x20＜32p2，
又x20≤p2＜32p2(p＞0)，所以r＞d，即⊙O′与抛物线的准线总相交．
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