Gothedistance
一道昆明市统测解三角形题目的思考
题目：2015年10月昆明市统测
文科：在△ABC中，D是BC的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
理科：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则
AD=_______；
常规解法及题根：
（15年新课标2理科）?ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，?ABD是?ADC
面积的2倍。
(Ⅰ)求CB??sinsin;
(Ⅱ)若AD=1，DC=22求BD和AC的长.
（15年新课标2文科）△ABC中D是BC上的点,AD平分?BAC,BD=2DC.
（I）求sinsinBC??；
（II）若60BAC??,求B?.
重点结论：角平分线性质：
（1）平分角
（2）到角两边距离相等
（3）线段成比率
中点性质与结论：
（1）平分线段；
（2）向量结论；
（3）两个小三角形面积相等。
题目解法搜集：
解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；
在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：在△ABC中，222BC=AB+AC-2ABACcosBAC=7?，则BC=7；
因为AD平分∠BAC，则ABBDACDC?，所以BD=374，DC=74；
在△ABD中，设AD=x，利用cos∠BAD=cos30°=
2222ABADBDABAD??
即
2
22373
43
223
x
x
??????
???
?，解得x=933344或。
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若在△ADC中，设AC=m，则273=12162xx???,解得x=33344或。
解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一个解。
解法2（余弦定理灵活使用）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求
解；
在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：在△ABC中，222BC=AB+AC-2ABACcosBAC=7?，则BC=7；
因为AD平分∠BAC，则ABBDACDC?，所以BD=374，DC=74；
（三边求角）
在△ABC中，cosB=
222AB+BC-AC2ABBC
=
??2223+7-1
237??=527；
ABD中，
222AD=AB+BD-2ABBDcosB=
2
2237375AD=3+-234427?????????
=2716；
所以AD=334。
解法评价：突出余弦定理两大运用，两边及夹角，利用余弦定理求第三边和三边求角，训练
同一个角在不同三角形中求解。
解法3（坐标法）：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
则AD=_______；
解：把△ABC放到坐标系，A放到坐标原点，AC在X轴上，则
C（1,0），B（32，332），其中14DFCDEGCB??；
所以ＤＥ＝ＤＦ＝338，所以ＡＤ＝２ＤＥ＝334
Gothedistance
解法评价：在听课好几次听到老师讲坐标法，当然这题坐标作用不大，不多想到把图形摆正
之后，解题思路和角平分线到角两边距离就可以使用。
解法４（面积法）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
则AD=_______；
解：ABCACDABDSSS?????，由正弦定理的面积公式可得：
111sinsinsin222ABACAADACDACADABBAD????
得11131sin603ADsin301sin30222AD????????????，秒解ＡＤ＝334
解法评价：解法学习于昆明数学教师ｑｑ群，相当快速高效。
制作此资料希望能够和广大同行分享交流更多数学解题技巧和方法。
惊呆我了，后面这种面积法，以后大家有什么得意的速算方法分享下，尽力整理起来留份
资料。
解法5（向量法）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
则AD=_______；
解：由ABBDACDC?得BD：DC=3:1，所以1344ADABAC??，则
22213916816ADABABACAC???，227=16AD
则ＡＤ＝334。
解法评价：此法属于通法，中线和角平分线有类似结论，可以解决一类题型，而且计算中直
接使用公式，无需求解复杂方程，实属考试必备方法。
方法六（构造法）：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
则AD=_______；
解：过B做AC的平行线交AD的延长线于点E，则△ABD为等腰三角形，
在等腰△ABD中，AB=EB=3，∠E=∠BAD=30°，解得
Gothedistance
ＡＥ＝33，ACDEBD??,13ADCDACDEBDAB???
所以AD１＝ＡＥ４，得ＡＤ＝334。
解法评价：此法特别巧妙，偏向于喜欢几何证明的学生，特别是喜欢三角形相似，角平分线
定理证明的基本思路就和此做法比较相似，此法对于角平分线的题目另辟新径。
解法7（正三角形法）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
则AD=_______；
解：构造正三角形ABE，过A作BE平行线交BC延长线于Ｈ。
为了使用ＡＣ：ＣＥ＝1：2，ACCBE??Ｈ；
所以AH=BG=BE2１,所以AD=2１ＡＧ=334。
解法评价：此法特别巧妙，尚不知道怎么想到的，好像利用正三角形解题是一种解法，本人
对初中几何证明不熟悉了，不知道能不能扩展为通法，求高手解答。
解法8（构造等腰三角形）在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，
∠BAC=60°，则AD=_______；
解：过C做AD平行线交BA延长线于点E。
在等腰△ACE中（角平分线加平行线必出等腰），
AE=AC=1,∠EAC=120°，所以CE=3。
ADAB3=CEBE4?，AD=334。
解法9（极坐标法）在△ABC中，D在BC上，AD
平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则
AD=_______；
解：以点A为极点，AB为极轴，则C点极坐标为
Gothedistance
（3，3?），点B（1,0），BC的直角坐标为B（1,0）
C（33322，）,33BCk?,BC直角坐标系方程为y=33（x-1),所以极坐标方程为
33cossin1??????，当6???时，D点极坐标为（?，6?），所以
AD=?=
11
33cossin33cossin66???????
=334。
解法评价：此法对极坐标要求较高，不过避开角平分线几何性质，只不过计算量不小。
解法10（参数方程）：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，
则AD=_______；
解：设AD的参数方程为
3
2
1
2
xt
yt
?
?
??
?
??，
BC直角坐标系方程为y=33（x-1)，因为D点在BC上，
把B点极坐标带入BC方程解得t=334，则AD=t。
解法评价：平行线和角平分线还是比较般配的，常常出现等腰三角形，然后利用比率解题速
度还是很占优势。
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