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| 以曲代曲证明不等式——切线法证明不等式的发展 |
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2014年第2期数学教学2—33
以曲代曲证明不等式
一切线法证明不等式的发展
434300湖北省公安县第一中学杨先义
用切线法证明不等式已有过不少研究，例
如文【11、f21．其操作过程是：设f(x)是一个函
数，用待定系数法决定不等式f(x)≤z+
(或f(x)≥z+)中的常数和，然后令X
分别取a、b、c等变量，将所得不等式相加即得
原不等式．这一解法的几何意义是：函数f(x1
的图像总在切线Y=+的下方(或上方1．
有文献称之为一次估计法，或者称为以直代曲．
但在一些非常相似的情形，这一方法并不能总
是成功．
例1(文【3】例2)若a、b、c为正数，且abc
=l，则、／／n+l+、／／6+1+、／／c+1≤、／／2fn+
b+c1．
分析：我们希望建立关于a、b、C的不等
式，这三个不等式结构相同，相加即可．最容易
想到的当然是、／／0+l≥、／／2n，可惜方向不同；
另一个是~／n+1≥，方向也不同，这两
、／2
条路都行不通．事实上，用、／／+1≤+肯
定不能成功，因为f(x1=、／／0+1是下凸的函
数，它的任一条切线都在图像下方，只能有
、／／z+1≥+．这就迫使我们作出改变．考
虑到不等式在a=b=C=1时取等号，希望找
到一个函数夕()，它的图像总在f(x)图像的上
方，且在=1处相切．结合原不等式右边的系
数，让g(x)有一次项、／／．除了常数项，
增加一项(当然首先要考虑形式简单的函
数)，考虑到将来叠加后会+、／／6+≥
3．、／／6．=3，所以前有负号，于是
尝试令9()=、／／2+(1一)，其中为待定
正常数．建立如下辅助不等式：、／／0+1≤、／／2
+a(1一)．记h(z)=、／／0+1一、／／2—a(1一
、)，h(x)应当在X=l时取最大值0．
求导)===一+
／
，
、，，’+I‘、．』一
由(1)=0解得=、／／2．
证明：首先证明辅助不等式而≤
v／2x+、／／2(1一)(>0)．…………………··(1)
当且仅当X=1时取等号．
由均值不等式≤V~+b2
．得
+≤佣(0、b>0)．
．
‘
．而+≤．：
(+1)，
．
‘
．(1)式成立，取等号成立的充要条件是
、／0+1=、／／2，即X=1．
在(1)中将分别换成a、b、C，三式相加，
注意到++≥3．．=3，
有、／+、／+、／≤(n+b+
C)+(3一一一)≤(n+b+c)．
至此，原不等式获证．
评注1：(1)式本来是用导数法得到的，但
在证明中用的是基本不等式，是根据具体情况
做出的处理．
评注2：容易证明，函数Y=而和
=蚪(1一)在点(1，)处有公共切
线Y=+．
例2(文[3]例3)若a、b、c为正数，且abc
=1，则
n62C22
，
—l+v—~a++≤—(血+
b+C)+一3．
类似上面的分析，希望引入辅助不等式：
而X2≤川(1硐十字，
其中为待定正常数
2——34数学教学2014年第2期
㈤=一孥
，希望，()在：1时取最大值0．
。
特一
2、／／2
3’2√
令，，(]．)：0，可得：：一4．
证明：首先证明辅助不等式
而x2≤计10v／-2_4)(1+
．
…………………………．．(2)一…………………………’’’’’’’’’’’’’’’’’’。～，
3一一
(2)一[(一4)(一
)+](1+)
铮+f12、／一20)Xv~+(22—13v／2)x+
(12—10、／)、／／+11、／互一15≥0
(一1)。(+(12一18)+l1、／／2—
15)≥0．……………………………………………‘(3)
上式第2个因式的判别式A=(12一
18)2—4(11、／／一15)=4(168—119x／2)<0，从
而第2个因式恒为正，所以(3)式成立，从而(2)
式成立，当且仅当=1时取等号．
在(2)式中将分别换成叭!!三相
加，注意到++≥3··=
3，有++≤
(川+c)+(一4)(3一一一
)+一3≤(。+b+c)+一3．原
不等式获证·2
评注：容易证明函数：==和
+(一4)(一伺+譬在
点(1，一1)处有公共切线Y=(2一、／2)(一
1)+一1．
上述两个例子显然可以看作切线法的发
展．笔者建议将这种方法称为“以曲代曲”．
例3f《美国数学月刊》问题11240)在三
角形BC中有：
e
++≤R
．
………．(4)
分析：打算用上面的方，必须得有变量，
因此用三角代换。
证明．(4)一++
aYb
一
X
一…
37,Y令=+，=+，c=+，则半刷
长p=X+Y+z，于是
S=可
=而．
由abc
，得
．
R
．——
——
—
a
．．
b
—
c
—
p
——
2r一8S2
fX+)(-4-)(+)(+Y+)
8xyz(x++)
(X+)(+)(+)
8xyz
去＼z+-yz''，]2+I(＼Xz+--zZ)。+1×
(X+)(+)(+)
8xyz
一去㈢。+一×1
㈤1))十
n去(+1)．………………………(6)
令y：u，一z：t，一x：训，则，，w>
0且=l，即in+InV+In叫=0
(6)一、、u
+
--
1
1
／~2+1【、v-1)+互1×
(w-1)。≤ln1(+1)+ln1(+1)+1n丢×
设存在常数使函数，(z)=去(而x-1)。
一ln(+1)一A1n(>0)在=1时有最大
值0．求导：：而x-1-一
一=一
1
X11)3一，(1)=一=一一一．，II，一+f++l’、
二+—
2014年第2期数学教学2—35
0，得=一1
，于是，，()=(而x--1／)2一ln．
(+1)+1ln(z)=而X--x[一]
=
(l-研x)3
．当>1时t厂()<0，f(x)是减函
数；当0<<1时，，()>0，．厂()是增函数，
故当，()ax=f(1)=0，所以
(磊)1(+1)一．
将上式中的X分别换成u、V、W，所得三
式相加，并注意到In札+In+InⅢ：0，有妻．
()2+1()2+1()(u+)
+ln言(+1)~ln言(J+1)一1．(1nu+lnv+lnW)
=in言(+1)+In言(+1)+In去(+1)，因
此(7)式成立．倒推回去，可知(4)式成立．当且
仅当=V=W=1，即=Y=Z，亦即
a=b=C时取等号．
例4已知、Y、∈(0，1)，xy+yz+
=1，求证：
++南≥．
证明：由z+≥xy+yz+zx得(++
)≥3(xy+yz+zx)=3，．‘．x+y+z≥．设
存在常数，使函数f(x)=XA(1一X4)(0
1)恰在=1时取最大值
．求导：．厂(z)=
(卜)_4，令，(去)_0，得
去)4(去)。-o，
所以=兰·()4_-．1
下面求．厂()=z互1(1一x4)的最大值，用均
值不等式：
≤(1-x4)8≤88‘
，当且仅
当8x4=1一4，即=时取等号．
·
··=≥，将一一了二，岢刀
别换成Y、，将所得三式相加，得
x
+1y4+1Z4≥8+)，l
—
4。
一
。
一
，／＼‘。。’
再由幂平均不等式及(8)得
()孝≥半≥：
3一，互3+；+§≥3．3一；：31
．
．
·
．++≥譬=警一r二十十岁‘：=：
=
，
当且仅当===1时取等号
．
参考文献
[1]杨先义．探索一道西部数学奥林匹克问
题的解法奥妙[J]．数学通讯，2013年第3期(上
半月)：17_l8．
[2】杨华．构造曲线的切线证明两类对称
不等式[J]．数学通讯，2012年第9期(下半月)：
23-26．
[3]陈孝凤，李建潮．一类含“abc=l”条
件的不等式的几种证明方法[J]．数学通讯，
2013年第3期f上半月)：39—41．
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(上接第2—32页)
(b+c。一a2)(c。+a一b2)(0。+b。一C)+
8a2b2c2：0
．
设a+b2+C2=S则
(S一2a)(一2b)(s一2c)+8abC=0．
将上式展开、整理，得
S3—2(a+b2+c0)s+4(a2b2+62c0+
c2a2)=0错Sf2—2S2+4(a2b2+b2c2+
c2n2)]=0一S2+4(a2b2+b2c2+C2n2)=
o(s≠0)甘2(ab+b2c+C20)一04一b4—
54：0
．
分解因式，得(0+6+c)(6+c—n)(c+0—
6)(n+b—C)：0．
以下同证法1．
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