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课题：函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质
Ⅰ．教学内容解析
本节课的教学内容是函数dcxbxaxxf????23)(的性质．教学重点是函数
dcxbxaxxf????23)(单调性、极值和最值的研究方法及其应用．
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．在高中，其研究经历了三个阶
段，一是数学1中指数函数、对数函数和幂函数的研究，二是数学4中三角函数的
研究，三是选修系列中的导数及其应用．导数是研究函数的单调性、极值和最值等
性质的有力工具，函数及其导数具有丰富的思想内涵和应用价值．在复习了导数的
概念、导数的计算及其简单应用后，以函数dcxbxaxxf????23)(的性质研究为
载体，设计此教学内容，具有承上启下的作用．
通过对函数dcxbxaxxf????23)(性质的探索，一方面可以让学生感受导数
在研究函数性质中的意义和价值，另一方面可以帮助学生建立并完善讨论函数性质
的基本框架，掌握研究函数性质的过程和方法，知道函数性质的基本内容及其作
用．更为重要的是，在此过程中，可以使学生进一步体会数形结合、分类讨论、转
化与化归等思想方法，为继续学习和研究其他函数问题奠定基础．
Ⅱ．教学目标设置
本节课教学是为了帮助学生系统了解研究函数性质的思维过程，掌握运用导数
研究函数性质的基本方法，感受导数在研究函数中的作用和价值，体会导数的思想
与丰富内涵，提高学生运用所学知识分析问题解决问题的能力．具体目标是：
1．从已有的研究函数的经历中建立函数dcxbxaxxf????23)(性质的研究思
路，体会对函数从具体到一般的研究过程和数形结合的研究方法；
2．能用导数研究函数dcxbxaxxf????23)(的单调性、极值、最值、零点个
数等性质，感受导数在研究函数性质中的意义和作用；
3．构建讨论函数性质的基本框架，完善数学认知结构，提高运用等价转化、
分类讨论和数形结合等数学思想方法分析问题、解决问题的能力．
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Ⅲ．学生学情分析
本节课的授课对象为无锡市辅仁高级中学高三（3）班的学生，选修物理和化
学，他们思维活跃，学习数学的积极性较高，数学基础较好．
1、学生已有的认知基础
学生已经有了研究指数函数、对数函数、幂函数和三角函数等函数模型的直接
经验，具备了从图象直观获得结论和从数量关系上进行逻辑推理的能力，掌握了导
数的概念和求法，了解了运用导数研究函数的单调性、极值、最值和零点等性质的
过程和方法．
2、达成教学目标所需具备的认知基础
函数dcxbxaxxf????23)(的性质比较复杂，图象也不容易作出，为了实现
本节课的教学目标，对学生运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分
析问题、解决问题的能力有较高的要求．
3、“已有的基础”与“需要的基础”之间的差异
一般情况下，研究函数离不开图象，要作出函数dcxbxaxxf????23)(的图
象，并利用图象解决问题，学生有一定的困难，需要教师精心设计，帮其化解；学
生有运用分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法分析问题、解决问题的意
识，但面对具体问题，如何正确的运用，需要教师做好示范和引领．
4、教学难点及其突破策略
难点：研究函数的性质，学生习惯于由形到数，由具体到一般，本节课中，需
要通过对函数dcxbxaxxf????23)(的性质的研究，得出其图象特征，再运用图
象分析思路、解决问题，这在思维上是一个逆转，成为教学的难点．
突破策略：摆正教师的主导作用和学生的主体地位之间的关系，设计问题串让
学生回顾已有经验，进而从整体上认识研究目标，构建研究思路，发挥信息技术的
辅助功能，引导学生观察发现，归纳总结dcxbxaxxf????23)(的图象与系数之
间的关系以及导函数的图象与原来函数之间的关系，实现数和形的灵活转换．
Ⅳ．教学策略设计
本节课是高三复习课，帮助学生系统地掌握知识和方法，形成良好的认知结构，
培养学生的思维品质、提高学生的解题能力是主要目标．为了实现这一目标，教学
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中采用了以下策略：
1、站在系统的高度组织复习内容．通过精心设计的“问题串”引导学生回顾
研究函数性质的过程和方法，在实际问题中构建具体的函数模型，运用“数”和“形”
结合的手段展开性质探究，从中归纳出以导数为工具研究函数性质的一般方法，帮
助学生形成完整的认知结构，学会学习．
2、站在学生的角度组织教学活动．根据学生的思维特点和认知基础，运用引
导发现和讲练结合的方法，尽可能多地给学生提供课堂参与的机会，提出问题让学
生分析、思考和交流，借助多媒体课件、图形计算器等工具，让学生动手操作，在
尝试和探索中掌握方法，体会思想，形成技能．
3、突出数学思想方法的提炼和渗透．通过典型例题及其变式的教学，由浅入
深，逐层递进，不断地给学生提供比较、分析、归纳、综合的机会，保持积极有效
的思维活动，帮助学生在解题总结和反思中领悟转化与化归、分类讨论、数形结合
等数学思想方法在数学学习中的价值和作用．
Ⅴ．教学过程
1、问题引领
师：同学们，今天我们要来研究函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的性质．老师先与大
家交流几个问题．
[问题1]在高一高二阶段我们主要研究过哪些函数模型？
师：今天我们要研究的函数是一个多项式函数．如果0?a，这个函数我们已
经研究过．今天我们着重研究0?a的情形，不妨称之为三次函数．在研究之前，
我们先回忆一下对已有函数的性质是怎么研究的，研究了哪些问题，以便为我们今
天的研究提供参考．以指数函数为例．
[问题2]你能回忆一下指数函数性质的研究过程和方法吗？
[师生活动]引导学生回忆指数函数性质的研究过程和方法，得到：由具体的几
个指数函数的图象概括得到一般的指数函数的性质．
教师总结：具体一般
数形（板书）
[设计意图]用问题串启发，引导学生回忆研究函数性质的过程和方法，并展开
积极的思考，给学生营造一个良好的探究学习的氛围．
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2、整体感知
[问题3]我们常研究函数的哪些性质？
师：我们研究一类函数的性质，实际上就是要探讨这类函数有哪些共同的特
征．那么，我们常研究函数的哪些性质呢？
生：定义域，值域，定点，奇偶性（对称性），单调性，极值，最值，零点，
周期性等．
师：（板书学生回答）总结的很好．函数的性质就是函数的运动变化中的规律
性，不变性和特殊性．
[问题4]你能勾画一下函数)0()(23?????adcxbxaxxf性质的研究过程和
方法吗？
[设计意图]从宏观上把握，让学生整体感知研究函数性质的思路、过程和方法，
发现问题的本质，抓住要点，为研究函数)0()(23?????adcxbxaxxf性质指明方向．
3、组织探究
问题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是28.0r?分，
其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0．2
分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．瓶子半径r多大时，能使每瓶饮料
的利润y最大？（球的体积公式为334rV??
球
）
[师生活动]教师引导学生首先要建立利润与半径的函数关系式,将实际问题转
化为函数模型，将利润最大问题转化为研究函数的最值问题．
生：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是
238.02.034)(rrrfy??????)3(15423rr???，]6,0(?r．
师：我们将实际问题的研究转化为研究函数．如果抛开实际背景，我们可以得
到一个函数233)(xxxf??．我们就从它先研究起．
[问题5]你准备如何研究函数233)(xxxf??的性质？分别从什么角度入手研
究？
[设计意图]在实际问题中抽象出一个具体的三次函数模型，为从具体函数入手
探究函数的性质提供一个载体，让学生构建研究函数性质的思路，展开探究活动．
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[师生活动]学生根据上述性质在预先准备好的方格纸上作出函数的草图．教师
投影展示学生画出的草图．教师用图形计算器作出函数图象，请学生验证自己的草
图，并交流作图时注意运用函数的变化趋势、极值以及零点等性质．
师：（教师利用图形计算器画出导函数xxxf63)(2???的图像）你能描述导函
数)(xf?的性态对函数)(xf单调性的影响吗？
生：在)0,(??上，0)(??xf，所以233)(xxxf??在)0,(??上单调递增；在)2,0(
上，0)(??xf，所以233)(xxxf??在)2,0(上单调递减；在),2(??上，0)(??xf，
所以233)(xxxf??在),2(??上单调递增.
师：一个函数的导函数也是我们研究该函数性质的重要方面.（教师板书：导
函数图像）
[即时调查]
)0()(23?????adcxbxaxxf的导函数)0(23)(2?????acbxaxxf的图象如
图所示，则)0()(23?????adcxbxaxxf的大致图象可能是（A）（B）（C）（D）
中的哪一个？
(1)(2)(3)
(A)(B)(C)(D)
xo1x
y
)(xf?
xo1x
y
3x2x
)(xf?
xo
1x
y
)(xf?
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[问题6]你能借助导数写出（A）（B）（C）（D）不同情形下，各系数应满足
的关系式吗？
[设计意图]让学生体会研究函数性质既可以从形的角度进行直观描述，又可以
从数的角度进行精确刻画，数与形之间可以灵活转换，数与形协同作战威力无限，
从而培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的意识和能力．
生：系数应满足的关系式分别为：
cbxaxxf????23)(2，0)(??xf的判别式)3(42acb???
（A）0,0???a；（B）0,0???a；（C）0,0???a；（D）0,0???a
师：这就告诉我们，对一个函数“形”的研究最终回到了对“数”的研究．好，
回到开头提出的实际问题，饮料公司若想利润最大，饮料瓶的半径应为多大？
生：233)(xxxf??在]6,0(上的最大值在6?x时取到，所以半径应定为6cm．
师：那么是不是半径越大利润就越大？
生：不对．在]2,0(上半径越大，利润越小（利润为负值，是亏本的）．在),2(??
上半径越大利润越大．
4、抽象概括
[问题7]一般地,对函数)0()(23?????adcxbxaxxf,你能研究它的性质了
吗？
生：定义域、值域都为R,当0??db时cxaxxf??3)(是奇函数，单调性、
极值、最值都可以通过导数来研究．
师：同学们，对于这样一个函数，我们经历了研究性质的过程，着重从“数”
和“形”两个角度研究其性质，体会了导数在研究函数性质中的巨大作用．
[设计意图]在教师的主导下，学生完成抽象概括的过程，让学生进一步体会由
具体到一般的研究过程，培养学生抽象、概括、归纳推理的能力．
5、实践体验
例题设函数????axaxxf(13)(3R),求)(xf的单调区间和极值．
思路1函数)(xf的导函数为33)(2???axxf.
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（1）当0?a时，033)(2????axxf，)(xf在),(????上单调递增，)(xf无极值；
（2）当0?a时，由033)(2????axxf得
ax???1
.
x)1,(a????
a??1
)1,1(
aa???
a?1
)1,(
a????
)(xf?—0+0—
)(xf
极小值
极大
值
)(xf?的单调减区间是)1,(a????和)1,(a????，单调增区间是)1,1(aa???．
)(xf的极小值为1)1(3)1()1(3?????????aaaaf=112??a，
)(xf的极大值为113)1()1(3???????aaaaf=112??a．
[设计意图]让学生在解决具体问题的过程中巩固运用导数研究函数性质的一
般方法，加深数学理解，学会数学思考，培养良好的解题习惯，提高分析问题、解
决问题的能力．
变式1：若函数)(xf有三个不同的零点，求实数a的取值范围．
（1）当0?a时，033)(2????axxf，)(xf在),(????上单调递增，故)(xf不
可能有三个零点；
（2）当0?a时，04
0)1(
0)1(
????
?
?
?
???
?
??
???
a
af
af；
综上所述，实数a的取值范围)0,4(?.
师：还有其他解法吗?
生：利用函数与方程的思想，转化为方程问题处理．
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变式2：若对任意的]1,1[??x，都有0)(?xf成立，求实数a的值.
思路1：分离参数a，转化为)(xga?或)(xga?的形式，进而转化为函数的最
值问题．
将不等式变形为133???xax．
（1）当0?x时，?aR；
（2）当]1,0(?x时，
3213xxa???
，令
3213)(xxxg???
，设),1[1????xt，则
),1[,3)(23?????ttttg，易知4)(min??tg，所以4??a；
（3）当)0,1[??x时，
3213xxa???
，令
3213)(xxxg???
，设]1,(1?????xt，
则]1,(,3)(23??????ttttg，易知4)(max??tg，所以4??a；
综上所述，4??a．
思路2：求)(xf的最大值，再通过0)(max?xf求出a．
函数)(xf的导函数为33)(2???axxf
（1）当0?a时，033)(2????axxf，故)(xf在]1,1[?上单调递增，
所以02)1()(max????afxf，得到2??a，与0?a矛盾，不符合题意；
（2）当0?a时，由033)(2????axxf得
ax???1
若)0,1[??a，则)(xf在]1,1[?上单调递增，所以)0,1[??a不符合题意；
若)1,(????a，列表如下：
x-1)1,1(a???a??1)1,1(aa???a?1)1,1(a?1
)(xf?—0+0—
)(xf
极小值
极大
值
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则
??
?
??
???
??
???
??
??
4
4
0)1(
0)1(
a
a
af
f，所以4??a．
综上所述，4??a．
[解题小结]师：回顾一下这道题目，不等式恒成立问题和函数的零点个数问题，
我们是如何解决的？
生：转化为函数的单调性、极值和最值问题的研究．
师：这是数学中的转化的思想．对含有参数的复杂问题，我们是怎么处理的？
生：分类讨论．
师：好,我们还借助于函数的图象分析问题，比如零点的个数，很好地运用了
数形结合的思想．从本题我们再次感受到解决函数的单调性、极值和最值，导数是
个有力的工具．
[设计意图]让学生体会数学问题之间的内在联系，体会数形结合、等价转化、
分类讨论等数学思想方法在数学解题中的意义和作用，培养学生的运算能力，提升
学生的数学素养．
6、总结提升
师：同学们，今天我们研究了函数dcxbxaxxf????23)(的性质．下面通过
几个问题一起来回顾一下本节课的学习过程和收获．
（1）为什么研究？
生：能够解决很多的实际问题．
师：函数是描述客观世界变化规律的重要模型，很多实际问题的研究最后都归
结为研究函数．我们研究函数的目的是为了掌握事物的变化规律．研究函数的性质
既是解决实际问题的需要，也是数学本身的自然要求．对函数dcxbxaxxf????23)(
性质的研究也不例外．
（2）研究什么？
实际问题(优化问题)用函数表达的数学问题
（导数）解决数学问题实际问题的答案
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师：事物的变化趋势、对称特征、用料最省问题、利润最大问题、周而复始现
象等问题，反映到函数上就是要研究函数的基本性质，函数的性质就是函数变化中
的规律性、不变性和特殊性．那么，我们本节课着重研究了函数的哪些性质？
生：单调性、奇偶性、最值、极值、零点等．
（3）怎么研究？
师：对一类新函数，我们的研究过程是什么？
生：从几个具体的函数入手,从具体到一般的研究过程．
师：我们研究函数dcxbxaxxf????23)(的性质，方法是什么？
生：数形结合．
师：很好．我们借鉴指数函数性质的从形到数的研究方法，但是我们又有了导
数的工具，所以拓宽了我们的研究的思路，不拘泥于从形到数，我们可以在数和形
之间灵活转换．
（4）获得什么？
生：数形结合、转化与化归、分类讨论等数学思想．
师：你能借鉴今天的研究过程和方法去研究其他的函数吗？
[设计意图]从问题开始，再到问题结束，回顾复习过程，总结复习内容，建
构知识网络，挖掘、提炼、渗透相应的数学思想并使其逐步显化，使学生对研究函
数性质的过程和方法有一个系统全面的认识，实现知识不断深化，思想、方法不断
升华，把学生的思考和认知引向深入，在完善认知结构的同时，学会学习，实现长
效发展，这是本节课教学的落脚点．
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