第一章函数、极限与连续
内容概要
名称 主要内容（1.1、1.2）
函
数 邻
域 （即）
（）
函
数 两个要素：对应法则以及函数的定义域 由此，两函数相等两要素相同；（与自变量用何字母表示无关） 解析表示法的函数类型：显函数，隐函数，分段函数；
特
性 局部
有界
性 对集合，若存在正数，使对所有，恒有，称
函数在上有界，或是上的有界函数；反之无界，即任意正数
（无论多大），总存在（能找到），使得 局
部
单
调
性 区间，对区间上任意两点，当时，恒有：
，称函数在区间上是单调增加函数；
反之，若，则称函数在区间上是单调减小函数；
奇偶性 设函数的定义域关于原点对称；若，恒有，
则称是偶函数；若，恒有，则称是奇
函数； 周期性 若存在非零常数，使得对，有，且
，则称是周期函数； 初等
函数 几类基本初等函数：幂函数；指数函数；对数函数；三角函数；反三角函数； 反函数求法和性质；复合函数性质；初等函数
课后习题全解
习题1-1
★1．求下列函数的定义域：
知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x的取值的集合；
思路：常见的表达式有①□,（□）②□,（□）③
④（）等
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
★2．下列各题中，函数是否相同？为什么？
与；（2）与
知识点：函数相等的条件；
思路：函数的两个要素是（作用法则）及定义域D（作用范围），当两个函数作用法则相同（化简
后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；
解：（1）的定义域D=，的定义域，
虽然作用法则相同，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；
（2），以为自变量，显然定义域为实数；
，以为自变量，显然定义域也为实数；两者作用法则相同“□”
与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；
★3．设，求，并做出函数
的图形
知识点：分段函数；
思路：注意自变量的不同范围；
解：，，
；如图：
★4．试证下列各函数在指定区间内的单调性：
（1）（2），
知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的
某个子区间上函数的单调性的问题。
思路：利用单调性的定义即可。
解：（1）设，，当时，
，由单调性的定义知是单调增函数；
（2）设，，，
由，，，知，故（对数函数的性质），则有
，得结论是单调增函数；
★5．设为定义在内的奇函数，若在内单调增加，证明：在
内也单调增加
知识点：单调性和奇偶性的定义。
思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件；
证明：设，则，
由在内单调增加得，，又为定义在内的奇函
数，则（1）式变形为，即，则结论成立。
★6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：
两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。
本题可作为结论应用。
思路：按定义证明即可。
证明：设函数定义域分别是（是关于原点对称区间）；
（1）设，定义域为，显然也关于原点对称，
当均为偶函数时，，得
为偶函数；
当均为奇函数时，，得
为奇函数；
（2）令，定义域为，关于原点对称，
当均为奇函数时，，得
为偶函数；
当均为偶函数时，，得为
偶函数；
当为一奇一偶时，，得
为奇函数；
★7．下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函数又非偶函数？
（1）；（2）；（3）；
（4）。
知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质；
思路：按定义证明，尤其先判断函数定义域是否关于原点对称，并利用基本初等函数的性质；
解：（1），显然既不等于，也不
等于，故是非奇非偶函数；
下面三个函数的定义域为全体实数，关于原点对称
（2），故是偶函数；
（3），故是偶函数；
（4），故是奇函数；
★8．下列各函数中哪些是周期函数？并指出其周期：
（1）；（2）；（3）。
知识点：函数周期性。
思路：利用定义，及基本初等函数性质，或已知结论，可按已知结论（如弦函数，
则最小正周期，切函数也有类似结论）。
解：（1）由弦函数周期公式知最小正周期；
（2）对正数，，而切函数周期是的整数倍，故本题函数
不是周期函数；
（3），则最小正周期
★★9．证明：在上是无界函数；
知识点：无界函数定义。
思路：证明函数在某区间上是无界的，只需证对（无论有多大），，使其函数值即可。
证明：对于任意正数，要使，
考虑当，
∴要使，只要），取
∴（无论有多大），，使得，
∴在上是无界函数
（注1：取值只要并且确保即可，因此取也可；
注2：数学符号“”表示“任意”；“”表示“存在”；“”表示“使得”。）
★10．火车站行李收费规定如下：当行李不超过50kg时，按每千克3/20元收费，当超出50kg时，超重
部分按每千克1/4元收费，试建立行李收费（元）与行李重量之间的函数关系式。
知识点：函数关系的建立。
思路：认清变量，关键是找出等量关系。
解：
。
★11．收音机每台售价为90元，成本为60元，厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购超过100台的，
每多订一台，售价就降低一分，但最低价为每台75元
将每台的实际售价表示为订购量的函数；
将厂方所获得利润表示成订购量的函数；
某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？
知识点：函数关系的建立，以及经济函数；。
思路：分清变量及函数关系，经济函数关系总利润（总收入）(总成本)。
解：售价恰好降到75元时需订购的台数位，则
（1）：。
（2）：
（3）（元）。
习题1-2
★1．求下列函数的反函数：
（1）；（2）；
知识点：反函数求法；
思路：解出的过程即为求反函数的过程，直接函数的因变量变为反函数的自变量；
解：（1）（习惯上自变量用字母表示）
（2）
。
★2．设，求，；
知识点：分段函数的定义；
思路：代入即可；
解：
★3．设函数，，求，
知识点：复合函数定义；
思路：逐层代入即可：
解：，；
，，
★★4．设，求和。
知识点：函数的复合；
思路：同上题，逐层代入即可。
解：，（）；
，
定义域。
★5．已知，，求。
知识点：函数复合；
思路：换元法①令（此种方法要求易解），、分别用、代；换元法②将的表达式化成用表达的式子（需要技巧），再令代换；
解：用法②：，
令（自变量与用何字母表示无关）。
★6．设的定义域是，求：
（1）；（3）（）（4）
知识点：复合函数的定义域；
思路：的定义域是，表明若有，则；
解：（1）
（3），当时，即时，结果为
；当时，结果为；
（4）
★7．设，求：（1）
知识点：函数定义域及函数复合；
思路：略。
解：（1），故定义域为全体实数；
（2）
★8．，，求及其定义域；
知识点：函数的复合及定义域；
解：，
的自然定义域为，即
内容概要 名称 主要内容（1.3，1.4，1.5）
1.3数列极限 数列极限定义（）：任意给定正数（无论多小），总存在正整数，使得对于
时的一切，总有成立，则； 数列极限的性质： 极限的唯一性；收敛数列必有界；收敛数列的保号性； 子数列收敛性；
1.4
函数
的极
限
函
数
极
限
定
义
函数当大于某正数时有定义，如果对任意给定正数（无论
多小），总存在正数，使对满足的一切，总有
函数在的某一去心邻域有定义，如果对任意给定正数（无
论多么小），总存在正数，使对满足的一切，
总有
单侧
极限
且
单边
极限
且 函数极限的性质：唯一性，有界性，保号性，子序列的收敛性；
1.5无穷小与无穷大
（以）为例
无穷小 定义：极限为零的变量（函数）；
定理：
定理
函数表示：
无穷小性质： 1.的充要条件是，其中是当
时的无穷小；
2.有限个无穷小的和仍是无穷小； 3.有界函数与无穷小的乘积是无穷小；
无穷大 定义：任意给定正数(无论多大),当(即存在正数,当
时),总有； 正无穷大，负无穷大统称为无穷大； 无穷大一定是无界变量，但无界不一定是无穷大；
习题1-3
★1．观察一般项如下的数列的变化趋势，写出它们的极限：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）
知识点：数列定义。
思路：写出前几项，观察规律。
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
★★2．利用数列极限定义证明：
（1）（为正常数）；（2）；（3）。
知识点：极限定义。
思路：按定义即可。
证明：（1）：对任意给定的正数，要使＊，即，只要取
，则对任意给定的，当时，就有，即
（注，只要保证的取值能够让以后的所有项的值满足＊式即可，因此可取大于或等于
的整数）；
（2）：对任意给定的正数，要使＊，只要
，∴取，则对任意给定的，当时，就有，∴
（3）
证明：由于，
因此对任意给定的正数，要使，只要，即
（计算时为方便不妨设，因为前面的有限项对极限无影响）
取，则对任意给定的，当时，就有，
∴
★3．设数列的一般项。问求出，使得当时，与其极
限之差的绝对值小于正数。当时，求出。
知识点：数列极限定义
思路：按极限定义即可
解：观察可得：，证明该结果如下：
由于，因此对任意给定的正数，要使，只要，即，取（取大于或等于的整数都可以），则对任意给定的，当时，就有，∴。
当时，可取。
★4．设，证明数列没有极限。
知识点：判定数列极限不存在的方法
思路：若某数列极限为，则其任意子列的极限都为，因此，若某两个子列极限不同，则说明原数列极限不存在。
证明：令，则得子列，当时，；
则；
取另一个子列，
得，
当时，，则；
综上，原极限不存在。
★5．设数列有界，又，证明：。
知识点：数列有界及数列极限定义
思路：有条件可知；，如何让两者结合，证明成立，是解决问题的关键。
证明：①数列有界，则存在正常数，使对任意，都有，则；
②，则对任意正数，存在，当时，有；
则对于任意正数，取,由②可知：存在自然数，当时，有，
从而有：，
∴
★6．对数列，若，，证明。
知识点：子列极限和原数列极限的对应关系；
思路：对，根据条件，寻找使成立的的范围。
证明：对于，由，则存在，当时，；
由，则存在，当时，；
取，当时，（无论还是）
都有，即。
习题1-4
★1．在某极限过程中，若有极限，无极限，试判断：是否必无极限。
知识点：函数极限性质
思路：举例说明即可
解：可能有极限，举例如下：
令，，，不存在，但；
★★2．用函数的极限定义证明：
（1）；（2）
（3）；（4）
知识点：函数极限定义
思路：对于，找出符合要求（比如（1）中要求）的范围，即找到描述自变量范围的或；为了找到或，有时需要对不等式作适当的放缩。
证明：（1）任意正数，要使即；
只要取，当时，有，即；
任意正数，∵，
∴当，即时，，
∴取，当时（因为已知），有，即
（3）由于（为找到中的，不妨将范围限制在
内，因为时的极限，只和附近的所对应的函数值有关）
不妨设，则，则，
对任意正数，要使，只要，
取，当时，与同时成立，
∴有∴
（4），不妨设，则，则
，
对任意正数，要使，只要，
取，当时，，
∴
★3．当时，，问等于多少，使得当时，？
知识点：函数极限定义
思路：由于考察的是时函数的极限，所以不妨在（即）范围内讨论，这样的方法在极限证明中经常用到。
解：（不妨设），则
，要使只要
∴取，则当时，
（注：还可选取比小的数，只要保证即可）
★4．求
知识点：数列极限；
解：（所用到的性质见第六节）；
★5．讨论函数当时的极限。
知识点：左右极限；
思路：求分段函数在分段点处的极限，首先要分别求出左右极限；
又且
解：∵，
∴；；
∴不存在
★6．证明：如果函数当时的极限存在，则函数在的某个去心邻域内有界。
知识点：函数极限和局部有界的定义
证明：设，则对于任意正数，存在正数，当时，有，
即，取，则；
∴当时，。
★7．判断是否存在，若将极限过程改为呢？
知识点：函数极限，以及指数函数性质（图像）
解：；（严格来说要再用极限定义证明，但可省略，下同）
；
，
故不存在
习题1-5
★1．判断题：
（1）非常小的数是无穷小；（2）零是无穷小；（3）无穷小是一个函数；（4）两个无穷小的商是无穷小；
（5）两个无穷大的和一定是无穷大；
知识点：无穷小，无穷大的定义和性质；
思路：略。
解：（1）错，因为无穷小是指极限为0的变量，而不是非常小的数。
（2）对，因为0的极限为0，所以0是无穷小，只有零作为常函数的的时候才是无穷小，其他常数都不可能是无穷小
（3）对
（4）错，两个无穷小的商未必是，例如
（5）错，如：时，及，都是无穷大，但是无穷小，而是无
穷大
★2．指出下列哪些是无穷小量，哪些是无穷大量
（1）；（2）；（3）
知识点：无穷小，无穷大的定义；
思路：求出极限即可（并利用无穷小倒数是无穷大的结论）
解：（1）是无穷小量；（2）是无穷小量；（3），则是无穷大量；
★3．根据极限定义证明：为时的无穷小；
知识点：函数极限定义；
思路：按定义证明；
证明：即要证：
由于，∴对任意正数，当时，就有，则取，
当时，，证毕。
★4．求下列极限并说明理由：
（1）；（2）；（3）；
知识点：无穷小和无穷大的关系；
思路：先将函数作一定的化简；
解：（1）（依据无穷大的倒数是无穷小）
（2）
（3），又无穷小的倒数是无穷大，故。
★★5．函数在内是否有界？当时，函数是否为无穷大？为什么？
知识点：函数有界的定义及无穷大的定义；无穷大一定是无界的，但无界未必无穷大；本题为无界变
量不是无穷大的典型例子。
思路：证明不是无穷大，只需要找到时，函数的一个无穷子列，其极限不是无穷大即可。
解：∵对任意，总可以取，有
∴在上是无界的；
又因为当时，；此时，
∴不是时的无穷大
★★★6．设时，是有界量，是无穷大量，证明：是无穷大量。
知识点：函数局部有界和无穷大的定义。
思路：可利用不等式，及已知条件：是有界量，是无穷大量，证明结论。
证明：时，是有界量，知存在正常数及，当时，；
对任意常数（无论有多大），不妨设，∵时，是无穷大量，
∴对于，存在正常数，当时，；
综上，无论多大，总可以取，当时，
和同时成立；
则有成立，即是无穷大量。
★7．设时，（是一个正的常数），是无穷大量，证明：是无
穷大。
知识点：无穷大的定义；
证明：∵是无穷大量，则对任意，存在正常数，当时，，又，∴这时，由的任意性，知是无穷大。
内容概要 名称 主要内容（1.6,1.7,1.8,1.9），（或）； 柯西极限存在准则 1.8无穷小的比较 无穷小的比较（定义）：高阶；低阶；同阶及等价；阶无穷小。 几个等价无穷小公式：（内可填变量或函数，如：当时）
当时，；；～；；
；～；～； 定理：～充要条件是
1.9
函数
的连
续与
间断
定义 1．函数在的某邻域有定义，若在处取得微小增量时，函数的增
量也很小，且，则称在连续； 2．若有，则称则称在连续； 左连续：
在连续当且仅当在既左连续又右连续 右连续： 基本初等函数在定义域内是连续的；初等函数在定义区间内是连续的；
间断点分类
第一类：
左右极限
都存在 当，称为可去间断点，此时可重新补
充函数的定义：，使之在连续； 当，称为跳跃间断点； 第二类：
左右极限至少有一个不存在 当或，时，称为无穷间断点 当的极限过程中，函数值不断震荡，称为振荡间断点 习题1-6
★1．计算下列极限：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）；
（7）；（8）；（9）；
（10）；（11）；（12）；
（13）；（14）；（15）；
（16）；
知识点：极限求法
思路：参照本节例题给出的几种极限的求法
解：（1）∵，∴
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（7）；
（8）
（9）∵，∴，
说明是无穷小，而是有界量，
∴
（10）
（11）∵，∴；
（12）；
（13），，而是有界量，故；
（14）；
（15），本题利用本节有理分式的极限规律，只要找到
分子分母的最高次项比较即可，分子的最高次项由的次方与的次方乘积所得，即
，而分母的最高次项由的次方所得，即；无需确切计算分子分母；
（16）
，
当时，；
当时，；
故不存在
★2．计算下列极限：
（1）；（2）；
（3）；（4）。
知识点：数列极限求法；
思路：（1）（2）需要先化简被求极限的式子，（3）（4）则利用有理分式极限的求法；
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
★3．设，分别讨论及时的极限是否存在？
知识点：分段点处函数的极限；左右极限；
思路：分段点函数的极限要左右极限分别求；
解：当时，，；故不存在；
当时，，，故；
★4．已知及，，求：
（1）；（2）；（3）；（4）
（5）
知识点：函数极限四则运算性质；
思路：按性质求；
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5），而无穷小的倒数是无穷大，故；
★5．若，求的值；
知识点：函数极限；
思路：分析求极限的过程，求出的值；
解：
，故必有，即；
方法二：可由§1-8节无穷小比较来解：当时，；故此时必有，
故；
★6．若，求，及的值；
知识点：同上；
解：
，
则由知，必有
，解得：
习题1-7
★1．计算下列极限：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）；（7）；（8）；
知识点：两个重要极限；
思路：当函数用三角函数和幂函数表达时，可考虑变形成，其中；但本题解法不是唯一
的，可用下一节的等价无穷小代换来解更容易；
解：（1）；（2）；
（3）
（4）；
（5）；
（6），则；
（8）；
★2．计算下列极限：
（1）；（2）；（3）；（4）
（5）；（6）；（7）；（8）
知识点：重要极限：（或）
思路：将函数表达式化成（或），并利用指数函数运算性质
（）得出结果
解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）
；
（6）；
（7）；
★★3．设，求。
知识点：分段函数的极限
思路：可以先将化成或，以利用已知的函数表达式；或者，由已知，求出的表达式，再求。
解：方法一：换元：，由已知
，则；
方法二：令，则，代入已知得
，则；
★4．已知，求。
知识点：同题2
思路：同题2
解：；
★★5．利用极限存在准则定理证明：
（1）；（2）
知识点：夹逼准则
思路：关键是将被求极限的式子放缩；可将分子或分母改变，最好改变后式子可以化简且极限易求
解：（1）
，而，
由夹逼准则，知
（2），在求时的极限时，不妨设，
Ⅰ：当，有，且，由夹逼准则，知；
Ⅱ：当，有，且，由夹逼准则，知；
综上，；
★★6．利用极限存在准则证明数列，，的极限存在，并求出该极
限。
知识点：单调有界数列必有极限。
思路：先证单调有界，再求极限。
解：数列通项满足，，，不妨设
，则，即；由归纳法知，此数
列单调增加，且；由单调有界数列必有极限知，此数列极限存在，设为；
将左右两边取极限：，解得，或，显然，由极限的保号性，知极限，故；
★★7．设满足：，，证明收敛，求。
知识点：同上；
思路：同上；
解：，当时，∵，∴，
设，则，得：；
由数学归纳法知，此数列有界且；
此时，，则有，即，
知数列单调减小，且有下界，故必有极限。
设，则有，解得或；
因数列单调减，且，故；
习题1-8
★1．当时，与相比，哪一个是高阶无穷小？
知识点：无穷小的比较
思路：关键是求两个无穷小商的极限，然后根据无穷小比较的定义作出判断
解：；故是的高阶无穷小；
★★2．当时，与是否为同阶无穷小？
知识点：无穷小的比较
思路：可先利用等价无穷小代换化简，然后再作判断。
解：当时，∴～
，
由于（有界量乘无穷小量为无穷小）
∴，
显然与同阶但不等价，由等价关系及同阶关系的传递性可得：
与同阶，但不等价；
★★3．当时，与相比是几阶无穷小？
知识点：无穷小比较
思路：对作适当的变形，使之可以套用常用的等价无穷小。
解：，
当时，，故～，∴
显然是的三阶无穷小；
★4．当时，若与等价，求和的值。
知识点：无穷小比较；
思路：注意利用书中所给的等价无穷小公式，及等价关系的传递性；
解：当时，～～，显然；
★5．利用等价无穷小性质求下列极限：
（1）；（2）；（3）；
（4）；（5）（6）
知识点：等价无穷小代换求极限；
思路：要活用等价无穷小公式，如当，有，故～，以及有关定理。
解：（1）；（2）；
（3）当时，，故～，
；
（4）；
（5）方法一：
方法二：
（其中，表示的高阶无穷小，则表示的高阶无穷小，自然由，的定义有，；又由定理：与是等价无穷小的充分必要条件是：
所以，）
（6）
习题1-9
★★1．研究下列函数的连续性，并画出函数的图形。
（1）；（2）
知识点：函数连续定义；分段点处的连续性
思路：初等函数在定义域上连续，而在函数的分段点处要分别验证左右连续性。
解：（1）显然函数在定义区间上连续，且在处右连续，在处左连续；
在分段点处，∵，，
则，∴函数在处连续；故函数在上连续；
（2）显然函数在上连续；
在分段点处，∵，，
则，∴函数在处连续；
在分段点处：；，极限不存在，故不连续；
综上，函数在上连续。（见下图）
★2．下列函数在处是否连续？为什么？
（1）；（2）
知识点：函数连续定义；
思路：左右连续分别验证；
解：（1），则函数在处连续；
（2），则函数在处连续；
★3．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它连
续。
（1）；（2）
（3）；（4）；
知识点：间断点类型及判定；
思路：间断点类型取决于左右极限是否存在，故要分别求间断点的左右极限；
解：（1），∴是第二类的无穷间断点；
（2）时，，左右极限相等，
∴是第一类中的可去间断点，补充定义可使函数在该点处连续；
时，，∴是第二类无穷间断点；
（3），∴为第一类可去间断点，补充可使函数在该点处连续。
（4）时，的值在0到1之间来回变动，故是第二类震荡间断点
★★★4．证明：若在点连续且，则存在的某一邻域，当时，
。
知识点：连续的定义以及极限的保号性
证明：由于，不妨设，
∵在点连续，即，
∴对，存在正数，当时，，
即，故；
而已知，故当时，。
同理可证，当时，存在的某一邻域，当时，。
★5．设，应当如何选择数，使得成为内的连续函数。
知识点：函数在区间上的连续性
思路：关键是分段点处的连续问题
解：由初等函数的连续性，显然在上是连续的；故只要在分段点
处连续即可；故只需在处有，
代入，解得；
★6．设，已知在处连续，试确定及的值。
知识点：左右连续；
思路：在处连续，有，并据此列式求解；
解：在处连续当且仅当在处既左连续又右连续；
由；
★7．研究在处的左右连续性。
知识点：左右连续；
思路：由于当时，；当时，，故在求涉及到当时的极限时一定要左右极限分别求。
解：，，而，显然在处是右连续但不左连续。
★★8．设函数在处连续，且，已知，试证函数在处
也连续。
知识点：连续定义；
证明：，故；
由函数在处连续，则对任意正数，存在正数，当时
，即；而，所以
，即在处也连续。
证法二：，故；
又，∵在处连续，∴
∴由夹逼定理：
★★★9．设，当，取何值时，在上连续。
知识点：极限求法和连续定义；
思路：先将化成初等函数，才方便考察其连续性；化简过程即是计算极限的过程，在计算极限过
程中，当时，的极限与的范围有关：当，；当时，；
故要分类讨论，以数为分段点
解：当，；
当，；
当，；
当，；
则，显然在上连续，
故在上连续，只需要求在，处连续，
而，，知①；
，，知②；
由①②解得：；
内容概要 名称 主要内容
1.10
连续
函数
运算
与性
质 连续函数的四则运算性质； 反函数与复合函数的连续性；初等函数在定义区间内是连续的；
闭区间连续函
数性
质
最值定理：闭区间连续函数一定有最大最小值； 有界性定理：闭区间连续函数一定在该区间上有界； 零点定理：闭区间上的连续函数，若与异号
（），则在开区间内至少有函数的一个零点，即至
少存在一点，使得。 介值定理：闭区间上的连续函数，若，，则
对任意，至少存在一点，使得 一致连续性定理（了解）；
习题1-10
★1．求函数的连续区间，并求，，。
知识点：初等函数连续性及连续函数的性质
思路：初等函数在定义域上连续，函数在连续点处的极限值等于该点的函数值
解：本函数的定义域为：，解得或；
则本函数的连续区间为；
，
；
；
★2．求下列极限：
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）
知识点：连续函数的定义及性质；
解：（1）；（2）；
（3）；（4）；
（5）；（6）；
★3．证明方程至少有一个根介于1和2之间。
知识点：零点定理；
思路：若令，则方程在某区间上是否有根的问题，化为函数在该区间是否有零点的问题。
证明：设，显然在区间上连续，，
由零点定理：存在，，即是的根，介于1和2之间。
★★4．证明方程至少有一个正根，并且它不超过。
知识点：同题3；
思路：同题3；
证明：设，显然在区间上连续；
；
Ⅰ：若，则，此时即是的根；
Ⅱ：若，则，，由零点定理，存在，
使得，即是方程的根；综上，结论成立。
★5．证明曲线在与之间至少与轴有一个交点。
知识点：零点定理；
证明：设，显然在上连续；；
由零点定理：存在，使得，即点在曲线上，则结论成立。
★6．设，求证在区间内至少有一点，使得。
知识点：同题3；
思路：同题3；
证明：设，显然在上连续，，，
则，由零点定理，存在，使得，即。
★★7．设函数对上任意两点，，恒有（为常数），且
，试证在内至少有一点，使得。
知识点：极限的夹逼准则，连续的定义及零点定理；
思路：先利用定义证明函数连续，再利用零点定理证明结论。
证明：设任意点，先用定义证在点连续：设，由任意两点，
，恒有得：
，即，而当
时，，故由夹逼准则，知，
即在上连续，由的任意性知，在上连续；
又，则由零点定理，在内至少有一点，使得。
★8．若在上连续，，则在上必有，使
。
知识点：闭区间上连续函数的最值定理与介值定理；
思路：先证明是最小值与最大值之间的某个值；再用介值定理；
证明：在上连续且，则必在上连续，且在
必有最值，设为，最小值；
设，，
则，即
，由介值定理，必存在，使
得。
★★9．设在上连续，且，证明：在上至少存在一点，使
。
知识点：零点定理。
思路：从结论的形式中分析找到对应的函数：，以及对应的闭区间，然后逐
个验证函数在此区间上满足零点定理的条件。
证明：令，当时，，由函数在
上连续，故在上连续，在上连续，故在上连
续，且，，
Ⅰ：当时，取，则，，此时结论成立；
Ⅱ：当时，，则由零点定理得，存在
使得，即；此时结论成立；
综上，结论成立。
总习题一
★1．求函数的定义域：
知识点：函数定义域。
解：由其表达式有
★2．设函数的定义域是，求的定义域。
知识点：复合函数的定义域。
解：由已知的定义域是，故对有：，即，解得
，所以的定义域为
★3．设，要使当时，，应如何选择邻域的半径。
知识点：函数及邻域定义。
思路：由函数值范围，解出的最大范围；取值使不超过这个最大范
围。
解：要使，即，即，只须，此时只
须取即可（选取不是唯一的，只要选比小的正数保证即可）
★4．证明是奇函数。
知识点：函数奇偶性；
思路：按定义只需证即可；
解：函数定义域为，
，故，是奇函数；
★★5．设函数，的图形关于，均对称，试证：
是周期函数，并求其周期。
知识点：周期函数定义，及对称图形的性质
思路：如若函数图形关于对称，则
解：，由函数图形关于对称知，
，而，由函数图
形关于对称，则，
；则是周期函数，且其周期；
★★6．设在上有意义，，，求证：
（1）若单调减少，则；
（2）若单调增加，则。
知识点：单调性
思路：因为题中涉及三者对应函数值的关系，故可按单调性比较它们的大小
解：（1），，∴；又单调减少，
∴，，∴，
，两式相加化简得：；
（2）同理可证。
★★7．求下列函数的反函数：
（1），；（2）。
知识点：求分段函数的反函数
思路：从函数中解出即可，需注意范围的对应
解：（1），
由韦达定理，上式有实解当且仅当，且。
当时，，与范围不符，故舍掉；
当，（可分别验证），故舍掉；
综上，，按习惯将自变量用来记，所求函数的反函数为
。
（2），则所求函数的反函数为
★8．求函数的表达式：，。
知识点：复合函数定义
思路：用三角公式将等式右端表达为的函数，即可求得
解：
令，得；
故；
★★9．设满足方程：，，求。
知识点：函数定义
思路：已知等式对任意成立，自然对也成立
解：令，则①，由函数自变量与用何字母表示无关，①可化为，则解方程组
得：
★10．设函数，，且，求及其定义域；。
知识点：函数的复合；
解：，则，解得：，由，
知，；显然的定义域为；
★11．设，求，，并做出图形：
知识点：分段函数的复合；
思路：在对应的范围内代入即可；
解：，
，
★★12．设，，求，，，
。
解：当时，，则，
；
当时，，则
；
故，，；；
★★13．，求。
知识点：数列极限；
思路：多项和时，先化简。
解：∵
∴
★★14．求极限。
知识点：左右极限的求法；
思路：求有绝对值的函数极限要先去绝对值，另外因在处的左右极限值不同，所以需通过左右极限讨论上述极限
解：时，；，
∴
时，；，
∴，
∴
★15．用定义证明函数当时极限为0。
知识点：函数极限定义
证明：，要使，只须取，则当时，总有，
故
★16．证明：若及时，函数的极限都存在且都等于，则。
知识点：函数极限定义
证明：对，因，∴，当时，总有，
又因，∴对上述，，当时，总有，
现取，当时，总有，故；
★17．利用极限定义证明：函数当时极限存在的充分必要条件是左极限，右极限各自存在
并且相等。
知识点：数列极限定义
证明：必要性：设，于是，，
当时（即和），有，
所以
充分性：当，则，，
当时，有；，当时，
有；取，则当及，
即时，亦有，
∴
★18．根据定义证明：为时的无穷小。
知识点：函数极限定义；
证明：，要使，只须取，
于是对于，存在，当，总有，∴
★19．已知，当时，、取何值时为无穷小量？、
取何值时为无穷大量？
知识点：无穷小与无穷大的定义
思路：分析、取值对极限的影响
解：（1）
则必有，故当时，为无穷小量；
（2）若，必有，为
任意常数，故当，为任意常数时，为无穷大量；
★20．计算下列极限：
（1）（为正整数）；（2）；（3）；
（4）；（5）；（6）
知识点：极限求法；
解：（1）；
（2）
（3）
（4）因为，而是有界量，故
（5）；
（6）
★21．设，讨论及时，的极限是否存在，并且
求及。
知识点：左右极限与原极限关系
思路：分段点极限要左右极限分别求
证明：，，故不存在；
，，故；
，；
★22．计算下列极限：
（1）；（2）；（3）
知识点：极限求法；
思路：求极限时，当某一因式是有根号差的形式时，注意分式有理化；用等价代换求极限。
解：（1）；
（2）
（3）
（分子有理化）
★★23．计算下列极限：
（1）；（2）
知识点：重要极限。
思路：利用已知极限求解。
解：（1）=
（2）原式
，
因为
，
所以原式
★★★24．设，，求。
知识点：单调有界数列必有极限。
思路：先证明数列单调（可用归纳法），且有界，然后知必有极限，可设极限为，再求出。
解：，则，假设，则
，即，
由数学归纳法，任意，有，可知本数列是单调增加的；
又由，知本数列有界，所以极限必存在，设
等式两边取极限得：，解得
，而，故，即；
★25．证明：当时，有：（1）～；（2）～。
知识点：等价无穷小的定义；
思路：按等价定义，即要证明两者商的极限是1；
证明：（1），故～；
（2），
故～。
★26．利用等价无穷小性质求下列极限：
（1）（2）；
（3）；（4）；（5）；
知识点：等价无穷小代换。
思路：关键是等价无穷小公式的记忆和灵活运用，如当，。
解：（1）；
（2）因为时，～，～，故
（3）原式
（其中）
（4）
（5）原式
★★27．试判断：当时，是的多少阶无穷小。
知识点：无穷小阶数的定义以及已知的等价无穷小公式。
思路：将有理化后，利用公式。
解：，～，
故～，故是的2阶无穷小。
★★★28．设是多项式，且，，求。
知识点：有理分式极限的确定以及无穷小的比较。
思路：由设出的形式，由判断取值。
解：因为，则与是同是二次多项式，且二次项系数为2，
故可设（其中为待定系数）；又因为，所以
～，从而，故；
★★29．已知，试求，的值。
知识点：无穷小的比较以及极限的求法。
思路：利用无穷小的比较判断出，再根据，求出。
解：因为，所以必须有（否则），即有
，将代入原式，得
，
故
★★★30．设，试求，的值。
知识点：等价无穷小
思路：先变形，再用等价无穷小
解：，
当为时，，
这时：，
∴当时，，；。
（该题也可用第三章的泰勒公式做）
★31．下列函数在处是否连续？为什么？
（1）；（2）
知识点：连续的定义
思路：在处连续在处左右都连续
解：（1）∵，，∴，∴在处连续；
（2）∵，，左右极限不相等，
∴不存在，故在处不连续。
★★32．判断下列函数的指定点所属的间断点类型，如果是可去间断点，则请补充或改变函数的定义使它连续。
（1）（2）；
知识点：间断点类型
思路：求出左右极限，依据左右极限判断间断点类型
解：(1)∵,,，
∴是第二类的无穷间断点；而是第
一类的可去间断点，令时，可使函数在这些点处连续
（2）∵，∴是第二类中的无穷间断点；
∵，，∴是第一类中的跳跃间断点。
★33．试确定的值，使函数在上连续。
知识点：初等函数在定义区间内一定是连续的；在某一点连续等价于既左连续有右连续
思路：函数在分段点处连续，则必在该点左连续又右连续，据此列等式求值。
解：显然在上是连续的
在分段点处，，，
由函数在连续，知，知，此时在上连续。
★★★34．讨论函数的连续性，若有间断点，判断其类型。
知识点：函数的连续与间断；
思路：先计算极限，将函数表示成初等函数形式（视需要可以分段表示），再讨论连续性。而在计算极限的过程中，由于的范围不同，当时的极限也不同，即：当时，；当时，；当时，故要分类讨论。
解：当时，；当时，；
当时，；
当时，，即：
，显然，函数在上连续，
又，，
故是的第一类跳跃间断点；
又，，
故是的第一类跳跃间断点。
★35．求函数的连续区间：
知识点：函数的连续与间断；
思路：初等函数有定义的开区间即是连续区间。
解：函数的定义域为：，
故它的连续区间是
★★★36．设函数与在点处连续，证明函数
在点处也连续。
知识点：连续函数的四则运算性质
思路：关键是将表示成代数式，再利用连续函数四则运算性质即可证明结论
证明：，
，
又与在点处连续，则由以上表示及连续函数的四则运算性质有：
在点处也连续。
注：证明的关键是将用表示的函数表达成初等函数，本题是常用的方法，即
，。
★★★37．设在上连续，且，证明：在上必存在点使：
。
知识点：闭区间连续函数的最值与介值定理；
思路：先证明介于最值之间，再用介值定理；
证明：在上连续，则必有最大值和最小值，分别记为和；
由，得,
则,
由介值定理，必存在，使得；
即。
★★★38．证明：若在内连续，且，则在内有界。
知识点：闭区间连续函数的性质
思路：按定义将条件转化为代数表示
解：，则对，存在，当时，总有，即
，∴当时，①；
又当时，即，因为,则在
上连续，由闭区间上连续函数的有界性定理知，存在正常数，②；
记，由①②知，；
即在内有界。
课外习题
★1．设，求。
知识点：分段函数
思路：在相应范围内逐层代入。
解：由已知，故，显然
★★2．求。
解：
★★3．求（，为自然数）。
解：
★★★4．。
解：
★5．设，，均为非负数列，且，，，则必有（）
对任意成立；对任意成立；不存在；不
存在；
解：利用极限结果，只能判断数列中充分大的项的性质，数列的前面有限项与极限无关，所以由
，判断，对前面有限的不一定成立，故错误；同理错误，的错误还包括：中的也可能是；因是不定式，其极限是可能存在的，故错误；正确，极限非零的有界量与无穷大的乘积仍是无穷大。
★★★6．求。
当，，则；
又
∵，同理
∴
则原极限
（若用§3.2洛必达法则求该极限较简单）
★7．求极限。
解：
★★8．确定下列无穷小的阶数：
（1），（2），；
（3），；
思路：主要将式子变形到已知等价无穷小公式；
解：（1）
，
而当，，故～～是的同阶无穷小，是的等价无穷小。
（2）
，而
，故～～同阶。
（3），
，故～是的阶无穷小；
★★9．设在处连续，求。
解：由题意有，
而，，得；
★★10．，求其间断点。
解：当时，，当时，，
即，显然函数在皆连续，而，则函
数在处间断，且是第二类的无穷间断点
图1-11（2）
1
2
图1-9-1-1
1
图1-1-3
0
1
-1
图1-9-2-2
1
0
0
图1-11（1）
0
1
|
|
