单元评价检测(四)
第二十四章
(45分钟100分)
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.已知☉O的半径为6,A为线段PO的中点,当OP=10时,点A与☉O的位置关系为()
A.在圆上 B.在圆外
C.在圆内 D.不确定
【解析】选C.∵点A为OP的中点,∴OA=OP÷2=5<6,∴点A在☉O内部.
2.圆最长弦为12cm,如果直线与圆相交,且直线与圆心的距离为d,那么()
A.d<6cm B.6cm
C.d≥6cm D.d>12cm
【解析】选A.由题意知圆的直径为12cm,那么圆的半径为6cm.则当直线与圆相交时,直线与圆心的距离d<6cm.
3.(2013·巴中中考)如图,已知☉O是△ABD的外接圆,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等于()
A.16° B.32°
C.58° D.64°
【解析】选B.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°.
∵∠ABD=58°,∴∠A=90°-∠ABD=32°,
∴∠BCD=∠A=32°.
4.(2013·河池中考)如图,AB为☉O的直径,C为☉O外一点,过C作☉O的切线,切点为B,连接AC交☉O于D,∠C=38°.点E在AB右侧的半圆周上运动(不与A,B重合),则∠AED的大小是()
A.19°B.38°C.52°D.76°
【解析】选B.如图,连接BE,则直径AB所对的圆周角∠AEB=90°,由切线BC可得直角△ABC中,∠BAC=90°-∠C=90°-38°=52°,因为∠BAC=∠BED=52°,所以∠AED=∠AEB-∠BED=90°-52°=38°.
5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为()
A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2
【解析】选A.由正方形和正八边形的性质知四个三角形为全等的等腰直角三角形,正好拼接成一个边长为a的正方形,又根据正方形的面积等于边长的平方,所以阴影部分的面积是2a2.
6.(2013·德州中考)如图,扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°,以AB为直径画半圆,则图中的阴影部分的面积为()
A.π B.π-
C. D.π+
【解析】选C.因为扇形AOB的半径为1,∠AOB=90°,所以AB=,△AOB的面积为,扇形AOB的面积为=,所以弓形的面积为-,又因为半圆的面积为,所以阴影部分的面积为:-=.
【变式训练】
(2013·东营中考)如图,正方形ABCD中,分别以B,D为圆心,以正方形的边长a为半径画弧,形成树叶形(阴影部分)图案,则树叶形图案的周长为()
A.πa B.2πa C.πa D.3a
【解析】选A.方法一:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D=90°.则扇形ABC的弧长为l==aπ,同理可求扇形ADC的弧长为aπ,所以树叶形图案的周长为aπ×2=πa;
方法二:由题意知树叶形图案的周长为以a为半径的圆周长的一半,所以树叶形图案的周长为:×2πa=πa.
7.如图,四边形ABCD内接于☉O,如果它的一个外角∠DCE=64°,那么
∠BOD=()
A.128° B.100°
C.64° D.32°
【解析】选A.∵∠DCE=64°,∴∠BCD=116°,
∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠A+∠DCB=180°,∴∠A=64°,∴∠BOD=2∠A=
128°.
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.如图,已知AB,CD是☉O的直径,=,∠AOE=32°,那么∠COE的度数为
度.
【解析】∵=,∴∠AOE=∠COA;又∠AOE=32°,∴∠COA=32°,∴∠COE=
∠AOE+∠COA=64°.
答案:64
9.(2013·衡阳中考)如图,要制作一个母线长为8cm,底面圆周长为12πcm的圆锥形小漏斗,若不计损耗,则所需纸板的面积是cm2.
【解析】所需纸板的面积=×12π×8=48π(cm2).
答案:48π
10.如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为.
【解析】∵AC,AP为☉O的切线,∴AC=AP,
∵BP,BD为☉O的切线,∴BP=BD,∴BD=PB=AB-AP=5-3=2.
答案:2
11.(2013·哈尔滨中考)如图,直线AB与☉O相切于点A,AC,CD是☉O的两条弦,且CD∥AB,若☉O的半径为,CD=4,则弦AC的长为.
【解析】连接AO并延长交CD于点E,连接OC,
∵AB是圆O的切线,∴OA⊥AB,∵CD∥AB,∴∠AEC=90°,∴CE=CD=2,在Rt△OCE中,由勾股定理得OE===,
∴AE=4,在Rt△ACE中,由勾股定理得AC===2.
答案:2
12.直角三角形的两边长分别为16和12,则此三角形的外接圆半径是.
【解析】当已知长度分别为16和12的两边为直角边时,可知斜边长为20,此时直角三角形的外接圆半径是10.当斜边长为16时,此时直角三角形的外接圆半径是8.所以三角形的外接圆半径是10或8.
答案:10或8
三、解答题(共47分)
13.(10分)如图,☉O的半径OC=10cm,直线l⊥CO,垂足为H,交☉O于A,B两点,AB=16cm,直线l平移多少厘米时能与☉O相切?
【解析】如图,连接OA,延长CO交☉O于D,
∵l⊥OC,∴OC平分AB.∴AH=8.
在Rt△AHO中,OH===6,
∴CH=4cm,DH=16cm.
答:直线l向左平移4cm,或向右平移16cm时与圆相切.
【一题多解】设直线l平移xcm时能与圆相切,
(10-x)2+82=102,x1=16,x2=4,
所以CH=4cm,DH=16cm.
答:直线l向左平移4cm,或向右平移16cm时与圆相切.
【易错提醒】直线l可能向左移动,也可能向右移动,不要只考虑一种情况.
14.(12分)如图,AB是☉O的直径,=,∠COD=60°.
(1)△AOC是等边三角形吗?请说明理由.
(2)求证:OC∥BD.
【解析】(1)△AOC是等边三角形.
∵=,∴∠AOC=∠COD=60°.
∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.
(2)∵=,∴OC⊥AD,
又∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AD,∴OC∥BD.
15.(12分)(2013·德州中考)如图,已知☉O的半径为1,DE是☉O的直径,过D作☉O的切线,C是AD的中点,AE交☉O于B点,四边形BCOE是平行四边形.
(1)求AD的长.
(2)BC是☉O的切线吗?若是,给出证明;若不是,说明理由.
【解题指南】(1)连接BD,由ED为☉O的直径,利用直径所对的圆周角为直角得到∠DBE为直角,由四边形BCOE为平行四边形,得到BC与OE平行,且BC=OE=1,在直角三角形ABD中,C为AD的中点,利用斜边上的中线等于斜边的一半求出AD的长即可.
(2)连接OB,由BC与OD平行,BC=OD,得到四边形BCDO为平行四边形,由AD为圆的切线,利用切线的性质得到OD垂直于AD,可得出四边形BCDO为矩形,利用矩形的性质得到OB垂直于BC,即可得出BC为圆O的切线.
【解析】(1)连接BD,则∠DBE=90°.
∵四边形BCOE是平行四边形,
∴BC∥OE,BC=OE=1.
在Rt△ABD中,C为AD的中点,
∴BC=AD=1.∴AD=2.
(2)连接OB,由(1)得BC∥OD,且BC=OD.
∴四边形BCDO是平行四边形.又∵AD是☉O的切线,
∴OD⊥AD.∴四边形BCDO是矩形.
∴OB⊥BC,∴BC是☉O的切线.
16.(13分)(2013·莆田中考)如图,?ABCD中,AB=2,以点A为圆心,AB为半径的圆交边BC于点E,连接DE,AC,AE.
(1)求证:△AED≌△DCA.
(2)若DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,求图中阴影部分(扇形)的面积.
【解析】(1)∵AB=AE,∴∠ABE=∠AEB;
在?ABCD中,AB=CD,AD∥BC,∠ABE=∠ADC,
∴DC=AE,∠DAE=∠AEB=∠ADC;
在△ADE与△DAC中,DC=AE,∠DAE=∠ADC,AD=DA,∴△AED≌△DCA.
(2)∵DE平分∠ADC且与☉A相切于点E,AE是☉A的半径,
∴∠AED=90°,∠ADE=∠EDC,
∵AD∥BC,∴∠ADE=∠DEC=∠CDE,
∴CD=CE.
由(1)中结论,可知∠AED=∠DCA=90°,DC=AE=CE,[
∴∠ACE=∠EAC.
∵∠CAE+∠BAE=90°,∠ACE+∠ABE=90°,
∴∠BAE=∠ABE,∴BE=AE=AB,
∴△ABE是等边三角形,∴∠BAE=60°.
∴阴影部分的面积为:=π.
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