７４
）
中学数学教学参考
Ｊｗｗｗ．ｚｈｏｎｇｓｈｕｃａｎ．ｃｏｍ
２０１５
年第
８
期
（下甸）
、
＇二纖
高考试较中球
象阳麴
的
杈讨
＾
ｍ
，
；
Ｉｌｌ丨丨ＩＩ丨
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丨Ｉ
ＩＭ｜｜｜｜ＭＩ＿ＩＢ＿ＭＩＩＩ＿＿Ｉ＿ＷＩＩＩＨＢＨＩＩ
｜
Ｉ
ＩＷＩ？丨丨ＩｎＩＩ
？
王彬（云南省昆明市实验中学）
球是一个特殊的几何体，常与其他几何体构成组所以〇，Ｍ丄０２Ｍ，则四边形ＯａＭＯｚ是矩形。
合体，即切、接问题。球及其截面圆性质是近几年高联结０Ａ，在ＲｔＡＯＡＭ中，ＡＭ＝ｌ，０Ａ＝ｉ？＝２，
考试题中常常出现的题型，考试往往与球的体积和表
所以０Ｍ＝７１＾＝７＾，所以〇〇，
＝〇
ｍ
＝
Ｗ。故
面积及其他多面体的知识相联系综合命题。下面，笔
者对高考试题中关于球的一类问题的解法进行探讨，
解法
２：（特殊法）如图２，设其中
＾与读者交、流
。
一
个圆面为赤道面
？０，另一个与赤
１
高考题再现
道面？？垂直，圆面为？〇ｉ，则在
例１（２００８年高考数学全国ＩＩ卷理科第１２题）ＲｔＡＯａ＾’ＡＣ＾＝＋ＡＢ＝ｌ。因
图２
Ｂ知球的半径为２，相互垂直的
两个
平面分别截球面为〇Ａ
＝２
，所以０
０
＝
７＾１＝
＃
。故选Ｃ。
得两个圆。右麵的公共弦长为２，则麵的Ｋ、距
例
２（２０〇９年
財
数学全国Ｈ卷理科第
１５
题）
＞〇
设
０Ａ是球Ｏ的半径，Ｍ是０Ａ的中点，过Ｍ
且与
Ｂ－
＾
Ｃ？
芯
Ｄ
－
２
０Ａ成４５
°角的平
面截球
０的表面
得到圆
Ｃ，若圆Ｃ
分析：这是一个有关球及其截面的计算问题，要
７
解答此题，必賴賴几个隨：麵积等ｆ了ｋ，獅麵积軒。
（１）球的截面有哪些性质？怎么画出球中的
解法
１（
一般方法
）：作过点Ｍ的
一
截面？
截
面圆？＂如图３，联结ＯＣ
Ｋ
＾Ｍ，＼
球的截面性质是：①用一个平面去截球，截面是
则
ＯＯｉｉＣ＾Ｍ，则
幺
〇从０，
＝４５
。
，设
）
圆；？＿＿＿
公的连线
ｍ于截面；③在画图
糾
＾，则０Ｍ
＝Ｖ
＾
Ａ００ｉ
Ｂ
时，关键是弄清位置关系，选择最佳角度作出截面，使
＝
空间问题
奸
目肖触
。
ｔ＿
（２）在有
关球
及其截面圆的计算中，常用的结论
其中ｒ为００，的半径，而７ｔｒ２＝Ｔ７ｔ，所以「２＝
＋，则
有哪些？
２
７
２
１１
常用的结论有：①球心〇到截面的距离ｄ与球的
（２
＠
）
２
＝
了＋６？
２
，所以＾＝了＾＝了，尺＝２＾／＾￡
＝
半狀截面圆的半径ｒ的关系有ＰＷ＋Ａ②球
２
拉｜
＝
＃，
所以
ｓ
＝
４＃＝４ｊｔＸ２
＝
８７ｔ。
解
法
２（特殊
法
）：如图４，设点
＾是
经过两点
的大圆在这
两
点间的劣弧长。
Ｍ恰好在圆Ｃ的直径
上
，０为球
（３）斜线与平
面所成的角，指这条直线和它在平
心，ＢＥ为圆Ｃ的直径，设球半径
—
面
上的射
影所
成的锐角。
Ｒ
Ｖ
／
解法１：如图１，联结〇〇，、／
＾７Ｔｘ
为仏则〇Ｍ＝ｙ。因为
ｚ
〇ｉｖｒｃ＝
Ｖ＿
ｙ
（－＇ｉ￥，！＼４５
°
，
Ｚ
〇ＣＢ＝９０。，又圆ｃ的面
积
图４
设？〇！与？〇２的公共弦的中Ｗ
駿备
０
＾
７
＾广丄＿
点为Ｍ，联结〇１
Ｍ、〇
２
Ｍ
、謝，所以等
于ｆ
，所以册＝
化
在ＲｔＡ脈；中，心紙＝
ＯｌＭ±ＡＢ，＾
＝
．
ｍｍ＾Ｍｍ〇Ｍ±
图＇
、
因为〇Ｂ＝ｉ？，则在ＲｔＡＯＣＢ中，ＣＢ
＝＾
ｉ？，因
ＡＢ，０２Ｍ１ＡＢ。
又？０４００”２Ｖ２２＾２
論
截麵
；巅｜
ｗｗｗ
．ｚｈｏ
ｎｇｓｈｕｃａｎ
．ｃｏ
ｍ
－
中学数学教学参考
翁
，１＾ＪｌＪＹ＾厂…
解：如图７，设圆０〗半径为ｎ，
／
Ｉ
为ＣＢ＝
｜￡Ｂ，所以所１＾＝＃，则Ｓ＝圆〇
２半径为ｒ２，球半径为尺，则由
４；ｒｉ？
２
＝
知。
题意得，四边形〇〇，
Ｐ〇２是
矩形，
反思
：解决这类问题的关键是：①弄清“用一个平所以尺
２
＝
Ｈ＋ｄ，因为ｎ＋￣＝４，
面去截一个球，截面是圆”；②弄清截面位置关系，选所
以尺２＝２
＾
＾
：
２）
２＋
８（０
＾
＞２
＾ａ／
择最佳角度作出截
面
，使空间问
题在平面
内解决。４）’则当
、
ｎ
＝
？
＝２日
广
１
＝
＃
＝
例３（２０１０年高考数学全国卷
广
２
＃，所以
Ｓ
ｍｉ？
＝４
７ＬＲ－＝３２ｔｔ。故
选
Ｂ。
ｎ理科＞如图５，已知球？的半径为广
〇
３练习
４，圆ＪＷ与圆Ｎ为
该球的两个小圆
，ｔ
ｊ
ｔ，
Ａ，门Ｘ：
（１）（回归教材：人教Ａ版《数学》第二册下Ｐ．７７
为圆Ｍ与圆ｉＶＵ’Ａ
Ｂ＝
例２）Ｐ、Ａ、Ｂ、Ｃ是球０面
上的
四个点，ＰＡ、ＰＢ、ＰＣ
４，若０Ｍ＝０ｉＶ＝３，则两圆圆心的
距
图５
两两
垂直，
且
ＰＡ＝ＰＢ
＝
ＰＣ＝１，求球０的体
积与表
离ＭＮ＝
。面积
。
分析：本题考查球、直线与圆的基础知识，要学会
（
２）已知球的表
面
积为
２〇ｊｔ，球面
上
有Ａ、Ｂ、Ｃ三
使用。点。如果ＡＢ＝ＡＣ＝２，ＢＣ＝２
则球
心到平面
解：因为ＯｉＶ＝３，球半径为４，所以小圆ＪＶ的半
ＡＢＣ的
距离为
。
径为
＃。
因为小圆ｉＶ中弦长ＡＢ＝４，作Ｎ￡丄ＡＢ，所
（３）球０的截面ＢＣＤ把球面面积分为１：３
两
以勝
＃
，同理可得妮
４
在ＲｔＡ隱中，因
面圆的直径，〇是
關上
的一点，ＣＡ
是球的直径。
为ＮＥ＝＃，０Ｎ＝３，所以ＺＥ０Ｎ＝ｆ，所以ＺＭＯＮ①证明：平面ＡＢＤ丄平面ＡＤＣ；
＾
②如果球半径为／ｎ，Ｄ将弧ＢＣ分为两部分，
＝
晋’所以ｉＷＮ
＝３
。
且
：
２，求ＡＣ与ＢＤ所成的角；
＿③如
果ＢＤ：ＤＣ＝
＃
：２
，求二面角＆ＡＣ－Ｄ的
２
变式拓展大小
。
变式１：已知球的半径为２
＃
，两个平面分别截＊
（４）ｃ＾
ａ
＾
＊
１，Ｐ、Ａ
、
Ｂ、Ｃ是球Ｏ面
上的四个点
，ＰＡ丄
平面
ＡＢＣ，
面得两个圆？０］与？〇２。若０〇ｉ
＝０〇
２
＝Ｖ＾
，Ｚ＾〇
ｉ〇〇２
ＡＢ
＝ＡＣ
９／ＢＡＣ
＝
９０
°
＝
６０
°
，则？Ｏｉ与？（＾的公共弦长为
。
①证明：ＢＡ丄平面ＰＡＣ；
解：如图６，联结００，、００２，则
广
②若ＡＰ＝Ｖ＾，求二面角ＯＡＣ－Ｂ的大小。
〇〇】丄？〇，，〇〇２丄？〇２。设？〇】ｆ
＼＼（５）（２〇ｉ〇高考数学全国理科选修＋选修ｎ）已
与？〇２的公共弦中点为Ｍ，联结
１
知在半
径
为２的球
面
上有
Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点，若ＡＢ
＝
Ｃ＾Ｍ
＾
Ａ＾ＯＭ
ｉＷＱ
ｉＶＬＬＡＢ
ｊ
Ｊ
ＣＤ＝２，则四
面体
ＡＢＣＤ的体
积的最大值为
（）。
三垂线定
理
得ＯＭ丄ＡＢ，０２
ＭＡ
＿
２
＾／３
ｂ＿
４Ｖ３
〇＞
８＾３
丄
ＡＢ
。
３３
．
３
在ＲｔＡＯＣ＾Ｍ中，０，Ｍ
＝ｔａ
ｎ３０
°
．
＃
＝１
。
参考答案：（
ｌ）Ｖ＝ｆ７ｔ，Ｓ
＝
３７ｔ。
因为Ｚ
〇】〇０２＝６０
°
，所以所以
（２）１。
〇Ｗｌ＝２０
］
Ｍ
＝
２〇ｒｒ
在ＲｔＡＯＭＢ中，因为ＯＢ＝ｉ？＝２ｖ＾，〇Ｍ＝２，所
（３）①略；②ａｒｃｃｏｓ
丁
；③６０。
以ＭＢ＝ａ／（２Ｖ３）
２
－２
２
＝２Ｖ２
，ｆＪＡＢ＝２ＭＢ＝４＃。
⑷①略；②ａｒｃｔａｎ
＃。
变式２：已知二面角为直二面角，圆〇：与圆〇２
分别在平面内，且与棱相切于
同一点Ｐ，若两圆的半
１
与
…
，
１
设点到
２
的距离为Ａ，刈有
關体
繼
径之和为４，则以圆Ｏ，与圆０２为截面的球表面积的＝ｙＸ２ＸｙＸ２Ｘ／ｉ＝
ｙＡ。当直径通过与ＣＤ
最小值为（）。４
＾
Ａ
．
１６ｔｔ
Ｂ
．
３２ｔｔ
Ｃ．
４８ｔｔ
Ｄ．６４
ｋ
的中点Ｈ
＝
２ｖ
＂
２
２
－
１
２
＝２故
Ｖｍａｘ
＝
丁
。
|
|
