Gothedistance
星期四(函数与导数)2016年____月____日
函数与导数知识(命题意图：考查含参函数的单调区间的求解，考查应用导数解
决方程解的个数问题以及不等式恒成立问题等．)
已知函数f(x)＝ex＋mx－2，g(x)＝mx＋lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)当m＝－1时，试推断方程|g(x)|＝lnxx＋12是否有实数解；
(3)证明：在区间(0，＋∞)上，函数y＝f(x)的图象恒在函数y＝g(x)的图象的上方．
(1)解由题意可得：f′(x)＝ex＋m.
当m≥0时，f′(x)＞0，
所以当m≥0时，函数f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当m＜0时，令f′(x)＞0，
即ex＋m＞0，
可得x＞ln(－m)；
令f′(x)＜0，即ex＋m＜0，
可得x＜ln(－m)．
所以当m＜0时，函数f(x)的单调增区间为[ln(－m)，＋∞)，
单调减区间为(－∞，ln(－m)]．
(2)解当m＝－1时，g(x)＝－x＋lnx(x＞0)，
易得g′(x)＝1x－1.
令g′(x)＞0，可得0＜x＜1，
令g′(x)＜0，可得x＞1.
故g(x)在x＝1处取得极大值，亦即最大值．
即g(x)≤g(1)＝－1，∴|g(x)|≥1.
令h(x)＝lnxx＋12，
所以h′(x)＝1－lnxx2.
令h′(x)＞0，可得0＜x＜e，
令h′(x)＜0，可得x＞e，
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故h(x)在x＝e取得极大值，亦即最大值．
∴h(x)≤h(e)＝1e＋12＜1.
所以方程|g(x)|＝lnxx＋12无实数解．
(3)证明由题意可知本题即证：当x∈(0，＋∞)时，
f(x)＞g(x)恒成立．
令F(x)＝f(x)－g(x)＝ex－lnx－2(x＞0)，
则F′(x)＝ex－1x＝xe
x－1
x.
令H(x)＝xex－1，
则H′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)．
又x∈(0，＋∞)，
∴H′(x)＞0，
∴函数H(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴H(0)＝－1.
又H(1)＝e－1＞0，设x0为函数H(x)的零点，
则x0∈(0，1)，
即H(x0)＝x0ex0－1＝0，
即x0ex0＝1，∴x0＝1ex
0
＝e－x0，ex0＝1x
0
，
∴当x∈(0，x0)时，H(x)＜0，
即x∈(0，x0)时，函数F(x)单调递减，
当x∈(x0，＋∞)时，H(x)＞0，
即x∈(x0，＋∞)时，函数F(x)单调递增．
∴x0为函数F(x)的极小值点，亦即最小值点，
∴F(x)≥F(x0)＝ex0－lnx0－2＝
1
x0＋x0－2＞2
1
x0·x0－2＝0，
∴F(x)＞0，即x∈(0，＋∞)时，f(x)＞g(x)，
∴原题得证．
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