Gothedistance
星期四(函数与导数)2016年____月____日
函数与导数知识(命题意图：考查含参数函数的单调区间的求解，考查两个变量
在同一区间上的两个函数值大小恒成立问题．)
已知函数f(x)＝12lnx－mx，g(x)＝x－ax(a＞0)．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若m＝12e2，对?x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围．
解(1)f(x)＝12lnx－mx，x＞0，
∴f′(x)＝12x－m.
当m≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当m＞0时，由f′(x)＝0得x＝12m，
由???f′（x）＞0，x＞0，得0＜x＜12m，
由???f′（x）＜0，x＞0，得x＞12m.
综上所述：当m≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当m＞0时，f(x)的单调递增区间为??????0，12m，单调递减区间为??????12m，＋∞.
(2)若m＝12e2，则f(x)＝12lnx－12e2x，对?x1，x2∈[2，2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立等
价于对?x∈[2，2e2]都有g(x)min≥f(x)max.
由(1)知在[2，2e2]上，f(x)的最大值为f(e2)＝12.
g′(x)＝1＋ax2＞0(a＞0)，
函数g(x)在[2，2e2]上是增函数，
g(x)min＝g(2)＝2－a2，
由2－a2≥12，
得a≤3，又a＞0，∴a∈(0，3]．
∴实数a的取值范围为(0，3]．
|
|
