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星期六(综合限时练)2016年____月____日
解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟．)
1．(本小题满分12分)设等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＋a6＝24，S11＝143，
数列{bn}的前n项和为Tn，满足2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N)．
(1)求数列{an}的通项公式及数列??????????1anan
＋1
的前n项和；
(2)是否存在非零实数λ，使得数列{bn}为等比数列？并说明理由．
解(1)设数列{an}的公差为d，
由S11＝11a6＝143，
∴a6＝13，又a5＋a6＝24，
解得a5＝11，d＝2.
因此{an}的通项公式是
an＝a5＋(n－5)×2＝2n＋1(n∈N)，
所以1a
nan＋1
＝12??????12n＋1－12n＋3，
从而前n项的和为13×5＋15×7＋…＋1（2n＋1）（2n＋3）＝
1
2??
?
??
?1
3－
1
5＋
1
5－
1
7＋…＋
1
2n＋1－
1
2n＋3＝
n
6n＋9.
(2)因为a1＝3，2an－1＝λTn－(a1－1)(n∈N)，
所以4n＝λTn－2?Tn＝1λ4n＋2λ.
当n＝1时，b1＝6λ；
当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝3λ4n－1.
所以bn＋1＝4bn(n≥2)，
若{bn}是等比数列，则有b2＝4b1，
而b1＝6λ，b2＝12λ，
所以b2b
1
＝2，与b2＝4b1矛盾，故数列{bn}不是等比数列．
2．(本小题满分12分)钓鱼岛及其附近海域自古以来就是中国人民进行捕鱼、避
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风、休息的场所，被誉为深海中的翡翠．某学校就钓鱼岛有关常识随机抽取了
16名学生进行测试，用“10分制”以茎叶图方式记录了他们对钓鱼岛的了解程
度，分别以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．
(1)指出这组数据的众数和中位数；
(2)若所得分数不低于9.5分，则称该学生对钓鱼岛“非常了解”，若从这16人
中随机选取3人，求至多有1人“非常了解”的概率；
(3)以这16人的样本数据来估计该所学校学生的总体数据，若从该学校(人数可视
为很多)任选3人，记ξ表示抽到“非常了解”的人数，求ξ的分布列及数学期
望.
解(1)众数：8.6；中位数：8.7＋8.82＝8.75.
(2)设Ai表示所取3人中有i个人对钓鱼岛“非常了解”，至多有1人对钓鱼岛
“非常了解”记为事件A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝C
312
C316＋
C14C212
C316＝
121
140.
(3)ξ的可能取值为0，1，2，3.
P(ξ＝0)＝??????34
3
＝2764；P(ξ＝1)＝C1314??????34
2
＝2764；
P(ξ＝2)＝C23??????14
23
4＝
9
64；P(ξ＝3)＝??
?
??
?1
4
3
＝164.
所以ξ的分布列为：
ξ0123
P27642764964164
E(ξ)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75.
另解：ξ的可能取值为0，1，2，3，则ξ～B??????3，14，
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P(ξ＝k)＝Ck3??????14
k
??
?
??
?3
4
3－k
，所以E(ξ)＝3×14＝0.75.
3．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧
面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，
AA1＝2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点，
E是线段BC1上一点，且BE＝13BC1.
(1)求证：GE∥侧面AA1B1B；
(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的余弦值．
(1)证明连接B1E并延长，交BC于点F，连接AB1，AF，
∵△B1EC1∽△FEB，BE＝12EC1，∴BF＝12BC，∴点F为BC中点．
∵G为△ABC的重心，∴FGFA＝FEFB
1
＝13，
∴GE∥AB1，AB1?平面AA1B1B，GE?平面AA1B1B，
∴GE∥侧面AA1B1B.
(2)解侧面AA1B1B⊥底面ABC，∠A1AB＝60°，AA1＝AB
＝2，取AB中点O，则A1O⊥平面ABC，
以O为坐标原点，以射线OC、OB、OA1分别为x，y，z
轴的正方向建立空间直角坐标系．
则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(3，0，0)，
A1(0，0，3)，B1(0，2，3)，C1(3，1，3)，G??????33，0，0.
∴BE→＝13BC1→＝13(3，0，3)，
∴E??????33，1，33，∴GE→＝??????0，1，33，B1E→＝??????33，－1，－233.
设平面B1GE的法向量为n＝(a，b，c)，则由
??
??
?n·B1E→＝0，
n·GE→＝0，
∴n＝()－3，1，－3.
又平面ABC的法向量m＝(0，0，1)，
∴cos〈m，n〉＝33＋1＋3·1＝217，
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故平面B1GE与底面ABC所成的锐二面角的余弦值为217.
4．(本小题满分12分)已知椭圆E：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)过点Q??
?
??
?1，－2
2，且离
心率e＝22，直线l与E相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两
点，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)判断是否存在直线l，满足2OC→＝OM→＋OD→，2OD→＝ON→＋OC→？若存在，求出
直线l的方程；若不存在，说明理由．
解(1)由已知得
??
??
?1a2＋12b2＝1，
c
a＝
2
2，
c2＝a2－b2，
解得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆E的方程为x
2
2＋y
2＝1.
(2)假设存在直线l：y＝kx＋m(k≠0)交椭圆于M(x1，y1)，N(x2，
y2)两点，交x轴于C(c，0)，交y轴于D(0，d)．
由2OC→＝OM→＋OD→，2OD→＝ON→＋OC→，得MC→＝CD→，ND→＝DC→，
即C、D为线段MN的三等分点，由y＝kx＋m，取y＝0，
得c＝－mk，即C??????－mk，0，取x＝0，得d＝m，
即D(0，m)．联立
??
??
?y＝kx＋m，
x2
2＋y
2＝1，
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，①
∴x1＋x2＝－4km1＋2k2，
∵C、D为线段MN的三等分点，
则－4km1＋2k2＝－mk，
解得k2＝12，k＝±22.
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当k＝22时，方程①化为2x2＋22mx＋2m2－2＝0.
解得x1＝－2m－4－2m
2
2，x2＝
－2m＋4－2m2
2.
由－2m－4－2m
2
2＝－2
m
2
2
，解得m＝±55.
同理求得当k＝22时，m＝±55.
∴满足条件的直线l存在，方程为
y＝22x±55或y＝－22x±55.
5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝[ax2＋(a－1)2x－a2＋3a－1]ex(a∈R)．
(1)若函数f(x)在(2，3)上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)若a＝0，设g(x)＝f（x）ex＋lnx－x，斜率为k的直线与曲线y＝g(x)交于A(x1，
y1)，B(x2，y2)(其中x1＜x2)两点，证明：(x1＋x2)k＞2.
(1)解f′(x)＝[]ax2＋（a2＋1）x＋aex，
当a≥0时，∵x∈(2，3)，
∴f(x)在(2，3)上单调递增；
当a＜0，∵f(x)在(2，3)上单调递增，f′(x)＝a(x＋a)(x＋1a)·ex≥0，
(ⅰ)当－1＜a＜0时，得－a≤x≤－1a，
依题意知(2，3)???????－a，－1a，得－13≤a＜0；
(ⅱ)当a＝－1时，f′(x)＝－(x－1)2·ex≤0，不合题意，舍去；
(ⅲ)当a＜－1时，得－1a≤x≤－a依题意知(2，3)???????－1a，－a，得a≤－3.
综上得：a∈(－∞，－3]∪??????－13，＋∞.
(2)证明当a＝0时，g(x)＝f（x）ex＋lnx－x＝lnx－1，
k＝lnx2－lnx1x
2－x1
，要证(x1＋x2)k＞2，即证(x1＋x2)·lnx2－lnx1x
2－x1
＞2，
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∵x2－x1＞0，即证lnx2x
1
＞
2??????x2x1－1
x2
x1＋1
??
?
??
?x2
x1＞1.
令h(x)＝lnx－2（x－1）x＋1(x＞1)，则h′(x)＝1x－4（x＋1）2＝（x－1）
2
x（x＋1）2＞0，∴h(x)
在(1，＋∞)单调递增，h(x)＞h(1)＝0.∴lnx2x
1
＞
2??????x2x1－1
x2
x1＋1
.即(x1＋x2)k＞2成立．
6．请同学从下面所给的三题中选定一题作答
A．(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲．
如图，已知点C在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A
点，∠ACB的平分线CD交AE于点F，交AB于点D.
(1)求∠ADF的度数；
(2)若AB＝AC，求AC∶BC.
解(1)∵AC为圆O的切线，∴∠B＝∠EAC，
又∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD＝∠DCB，
∴∠B＋∠DCB＝∠EAC＋∠ACD，
即∠ADF＝∠AFD.
又∵BE为圆O的直径，
∴∠DAE＝90°，
∴∠ADF＝12(180°－∠DAE)＝45°.
(2)∵∠B＝∠EAC，∠ACB＝∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴ACBC＝AEBA.
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝30°，
∴Rt△ABE中，AEAB＝tanB＝tan30°＝33，
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∴ACBC＝AEAB＝33.
B．(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程为???
x＝2cosα，
y＝5sinα(α为参数)，
以直角坐标系原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐
标方程为ρcos??????θ－π4＝22.
(1)求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；
(2)设点P为曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最大值及其对应的点P的
直角坐标．
解(1)曲线C的直角坐标方程为x
2
4＋
y2
5＝1，
ρcos??????θ－π4＝22化简为：ρcosθ＋ρsinθ＝4，
∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝4.
(2)设点P的坐标为(2cosα，5sinα)，
得P到直线l的距离d＝|2cosα＋5sinα－4|2.
令sinφ＝23，cosφ＝53，则d＝|3sin（α＋φ）－4|2.
当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝722.
此时α＋φ＝2kπ＋3π2，k∈Z，
∴cosα＝cos??????2kπ＋3π2－φ＝－sinφ＝－23，
sinα＝sin??????2kπ＋3π2－φ＝－cosφ＝－53，
即点P的坐标为??????－43，－53.
C．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设关于x的不等式|2x－a|＋|x＋3|≥2x＋4的解集为A.
(1)若a＝1，求A；
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(2)若A＝R，求a的取值范围．
解(1)当x≥12时，2x－1＋x＋3≥2x＋4，
∴x≥2；
当－3＜x＜12时，
1－2x＋x＋3≥2x＋4，
∴－3＜x≤0；
当x≤－3时，1－2x－x－3≥2x＋4，
∴x≤－3.
综上，原不等式的解集A＝{x|x≤0，或x≥2}．
(2)当x≤－2时，|2x－a|＋|x＋3|≥0≥2x＋4成立．
当x＞－2时，|2x－a|＋|x＋3|＝|2x－a|＋x＋3≥2x＋4，即|2x－a|≥x＋1，
得x≥a＋1或x≤a－13，
所以a＋1≤－2或a＋1≤a－13，得a≤－2，
综上，a的取值范围为(－∞，－2]．
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