第四周 星期四

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星期四(函数与导数)2016年____月____日

函数与导数知识(命题意图：考查利用导数证明不等式，考查考生对转化与化归

思想的应用．)

已知函数f(x)＝lnx－ex＋a.

(1)若x＝1是f(x)的极值点，讨论f(x)的单调性；

(2)当a≥－2时，证明：f(x)＜0.

(1)解f′(x)＝1x－ex＋a(x＞0)，∵x＝1是f(x)的极值点，∴f′(1)＝1－e1＋a＝0，

∴a＝－1，此时f′(x)＝1x－ex－1，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1)内单调递

增，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(1，＋∞)内单调递减．

(2)证明当a≥－2时，ex＋a≥ex－2，f(x)＝lnx－ex＋a≤lnx－ex－2，只需证g(x)＝ln

x－ex－2＜0即可，g′(x)＝1x－ex－2，

由g′(x)＝0，得1x＝ex－2，由图象法知方程有唯一解x0∈(1，2)，且ex0－2＝1x

0

，ln

x0＝－x0＋2，当x∈(0，x0)时，g′(x)＞0，g(x)在(0，x0)内单调递增，

当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)＜0，g(x)在(x0，＋∞)内单调递减，

∴g(x)max＝lnx0－ex0－2＝－x0＋2－1x

0

，由x0∈(1，2)知x0＋1x

0

＞2x0·1x

0

＝2，

g(x)max＝－x0＋2－1x

0

＜0.综上，当a≥－2时，f(x)＜0.