思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华第1讲函数与方程思想、数形结合思想高考定位函数与方程思想、数形结合思想都是
重要的数学思想，高考对函数与方程思想的考查，一般是通过函数与导数试题，三角函数试题、数列试题或解析几何试题进行考查，重点是通过构造
函数解决最大值或者最小值问题，通过方程思想求解一些待定系数等，对数形结合思想的考查，一般体现在填空题中.1.函数与方程思想的含义
(1)函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，是对函数概念的本质认识，建立函数关系或构造函数，运用函数的图
象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程
组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的思想方法.2.函数与方程的思想在解题中
的应用(1)函数与不等式的相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数的图象和性质可解决有
关问题，而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要.
(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论.3.数形结合是一个数学思想方法，
包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：(1)借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，
数为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；(2)借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目
的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.4.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算
的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思
形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合.热点一函数与方程思想的
应用[微题型1]运用函数与方程思想解决函数、方程、不等式问题探究提高(1)在解决不等式问题时，一种最重要的思想方法就是构造
适当的函数，利用函数的图象和性质解决问题；(2)函数f(x)＞0或f(x)＜0恒成立，一般可转化为f(x)min＞0或f(x)ma
x＜0；已知恒成立求参数范围可先分离参数，然后利用函数值域求解.[微题型2]运用函数与方程思想解决数列问题[微题型3]运用
函数与方程的思想解决解析几何中的问题探究提高解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思
路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决
.热点二数形结合思想的应用[微题型1]运用数形结合思想解决函数、方程问题【例2－1】已知函数f(x)＝x2－2(a＋2
)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8，设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，
g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最
大值为B，则A－B＝________.可见，A＝H1(x)min＝f(a＋2)＝－4a－4，B＝H2(x)max＝g(a－2)＝
12－4a.从而A－B＝－16.答案－16探究提高(1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方
程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两个
熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数.(2)数形结合思想在解决函数性质有关问题时常
有以下几种类型：①研究函数的单调性与奇偶性：画出函数的图象，从图象的变化趋势看函数的单调性，从图象的对称看函数的奇偶性.②研究函
数的对称性：画出函数的图象，可从图象的分布情况看图象的对称性.③比较函数值的大小：对于比较没有解析式的函数值大小，可结合函数的性质
，画出函数的草图，结合图象比较大小.[微题型2]运用数形结合思想解决不等式中的问题探究提高不等式的解可转化为两个函数图象的
一种相对位置关系，故利用数形结合将问题转化为对两个函数图象位置关系的研究，利用函数图象的几何特征，准确而又快速地求出参数的值或不等
式的解集.[微题型3]运用数形结合思想解决解析几何中的问题【例2－3】已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、P
B是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________.探究提高
在几何的一些最值问题中，可以根据图形的性质结合图形上点的条件进行转换，快速求得最值.1.当问题中涉及一些变化的量时，就需要建立
这些变化的量之间的关系，通过变量之间的关系探究问题的答案，这就需要使用函数思想.2.借助有关函数的性质，一是用来解决有关求值、解
(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题，二是在问题的研究中，可以通过建立函数关系式或构造中间函数来求解.3.许多数学问
题中，一般都含有常量、变量或参数，这些参变量中必有一个处于突出的主导地位，把这个参变量称为主元，构造出关于主元的方程，主元思想有利
于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量.4.在数学中函数的图象、方程的曲线、不等式所表示的平面区域、向量的几何意义、复数的
几何意义等都实现以形助数的途径，当试题中涉及这些问题的数量关系时，我们可以通过图形分析这些数量关系，达到解题的目的.5.有些图形问题，单纯从图形上无法看出问题的结论，这就要对图形进行数量上的分析，通过数的帮助达到解题的目的.6.利用数形结合解题，有时只需把图象大致形状画出即可，不需要精确图象.思想概述·应用点拨热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华 |
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