专题一第4讲

2.我们借助于导数探究函数的零点，不同的问题，比如方程的解、直线与函数图象的交点、两函数图象交点问题都可以转化为函数零点问题.3.研究函数
图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路，因此使用的知识
还是函数的单调性和极值的知识.4.求函数零点或两函数的交点问题，综合了函数、方程、不等式等多方面知识，可以全面地考察学生对函数性
质、函数图象等知识的综合应用能力，同时考察学生的变形、转化能力.因此在高考压轴题中占有比较重要的地位.真题感悟·考点整合热点聚
焦·题型突破归纳总结·思维升华第4讲导数与函数图象的切 线及函数零点问题高考定位在高考试题的导数压轴题
中，把求切线和研究函数的性质交汇起来是一个命题热点；两个函数图象的交点问题可以转化为一个新的函数的零点问题，函数图象与函数零点是函
数中的两个重要问题，在高考试题导数压轴题中涉及两个函数图象的交点问题是高考命题的另一热点.真题感悟考点整合3.研
究两条曲线的交点个数的基本方法(1)数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案.(2)函数与方程法
，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数.答案4探究提高(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处
的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几
何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、
垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同
零点”.g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)，当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：探究提高解决曲线的切
线问题的关键是求切点的横坐标，解题时先不要管其他条件，先使用曲线上点的横坐标表达切线方程，再考虑该切线与其他条件的关系，如本题第(
2)问中的切线过点(1，t).探究提高研究方程的根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，并借助函数
的大致图象判断方程根的情况，这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.探究提高对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的
数学思想来求解.这类问题求解的通法是：(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；(2)求导数，得单调区间和极值点
；(3)画出函数草图；(4)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.1.求曲线的切线方程的方法是利用切线方
程的公式y－y0＝f′(x0)(x－x0)，它的难点在于分清“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异.突破这个难点的关键是理解这
两种切线的不同之处在哪里，在过点P(x0，y0)的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P(x0，y0)处的切
线，必以点P为切点，则此时切线的方程是y－y0＝f′(x0)(x－x0).真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华