Gothedistance
第1讲函数图象与性质及函数与方程
一、选择题
1.(2015·广东卷)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()
A.y＝x＋exB.y＝x＋1x
C.y＝2x＋12xD.y＝1＋x2
解析令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠
－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而B，C，D依次是奇函数、
偶函数、偶函数，故选A.
答案A
2.函数f(x)＝log2x－1x的零点所在的区间为()
A.??????0，12B.??????12，1C.(1，2)D.(2，3)
解析函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数.
f??????12＝log212－11
2
＝－1－2＝－3＜0，f(1)＝log21－11＝0－1＜0，
f(2)＝log22－12＝1－12＝12＞0，f(3)＝log23－13＞1－13＝23＞0，即f(1)·f(2)＜0，
∴函数f(x)＝log2x－1x的零点在区间(1，2)内.
答案C
3.(2014·山东卷)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等
的实根，则实数k的取值范围是()
A.??????0，12B.??????12，1
C.(1，2)D.(2，＋∞)
解析由f(x)＝g(x)，∴|x－2|＋1＝kx，即|x－2|＝kx
－1，所以原题等价于函数y＝|x－2|与y＝kx－1的图
象有2个不同交点.如图：∴y＝kx－1在直线y＝x－1
与y＝12x－1之间，∴12＜k＜1，故选B.
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答案B
4.(2015·山东卷)设函数f(x)＝???3x－1，x＜1，2x，x≥1，则满足f(f(a))＝2f(a)的a取值范围是
()
A.??????23，1B.[0，1]
C.??????23，＋∞D.[1，＋∞)
解析当a＝2时，f(a)＝f(2)＝22＝4＞1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝2满足题意，排除
A，B选项；当a＝23时，f(a)＝f??????23＝3×23－1＝1，f(f(a))＝2f(a)，∴a＝23满足题
意，排除D选项，故答案为C.
答案C
5.(2015·全国Ⅱ卷)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O
是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝
x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝
f(x)的图象大致为()
解析当点P沿着边BC运动，即0≤x≤π4时，在Rt△POB中，|PB|＝
|OB|tan∠POB＝tanx，在Rt△PAB中，|PA|＝|AB|2＋|PB|2＝4＋tan2x，则f(x)
＝|PA|＋|PB|＝4＋tan2x＋tanx，它不是关于x的一次函数，图象不是线段，故
排除A和C；
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当点P与点C重合，即x＝π4时，由上得f??????π4＝4＋tan2π4＋tanπ4＝5＋1，又
当点P与边CD的中点重合，即x＝π2时，△PAO与△PBO是全等的腰长为1
的等腰直角三角形，故f??????π2＝|PA|＋|PB|＝2＋2＝22，知f??????π2＜f??????π4，故
又可排除D.综上，选B.
答案B
二、填空题
6.(2015·福建卷)若函数f(x)＝???－x＋6，x≤2，3＋log
ax，x＞2
(a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，
则实数a的取值范围是________.
解析由题意f(x)的图象如图，则???a＞1，3＋log
a2≥4，
∴1＜a≤2.
答案(1，2]
7.(2015·洛阳模拟)若函数f(x)＝???
2x－a，x≤0，
lnx，x＞0有两个不同的零点，则实数a的取
值范围是________.
解析当x＞0时，由f(x)＝lnx＝0，得x＝1.
因为函数f(x)有两个不同的零点，则当x≤0时，
函数f(x)＝2x－a有一个零点，令f(x)＝0得a＝2x，
因为0＜2x≤20＝1，所以0＜a≤1，
所以实数a的取值范围是0＜a≤1.
答案(0，1]
8.已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对x∈R都有f(x＋4)＝f(x)＋f(2)成立.当x1，
x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有f（x1）－f（x2）x
1－x2
＜0，给出下列命题：
①f(2)＝0；
②直线x＝－4是函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
③函数y＝f(x)在[－4，4]上有四个零点；
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④f(2014)＝0.
其中所有正确命题的序号为________.
解析令x＝－2，得f(－2＋4)＝f(－2)＋f(2)，解得f(－2)＝0，因为函数f(x)为
偶函数，所以f(2)＝0，①正确；因为f(－4＋x)＝f(－4＋x＋4)＝f(x)，f(－4－x)
＝f(－4－x＋4)＝f(－x)＝f(x)，所以f(－4＋x)＝f(－4－x)，即x＝－4是函数f(x)
的一条对称轴，②正确；当x1，x2∈[0，2]，且x1≠x2时，都有f（x1）－f（x2）x
1－x2
＜0，说明函数f(x)在[0，2]上是单调递减函数，又f(2)＝0，因此函数f(x)在[0，
2]上只有一个零点，由偶函数知函数f(x)在[－2，0]上也只有一个零点，由f(x
＋4)＝f(x)，知函数的周期为4，所以函数f(x)在(2，4]与[－4，－2)上也单调，
因此，函数在[－4，4]上只有2个零点，③错；对于④，因为函数的周期为4，
即有f(2)＝f(6)＝f(10)＝…＝f(2014)＝0，④正确.
答案①②④
三、解答题
9.定义在[－1，1]上的奇函数f(x)，已知当x∈[－1，0]时，f(x)＝14x－a2x(a∈R).
(1)写出f(x)在[0，1]上的解析式；
(2)求f(x)在[0，1]上的最大值.
解(1)∵f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，
∴f(0)＝0，∴a＝1，∴当x∈[－1，0]时，f(x)＝14x－12x.
设x∈[0，1]，则－x∈[－1，0]，∴f(－x)＝14－x－12－x＝4x－2x，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝2x－4x.
∴f(x)在[0，1]上的解析式为f(x)＝2x－4x.
(2)f(x)＝2x－4x，x∈[0，1]，令t＝2x，t∈[1，2]，g(t)＝t－t2＝－??????t－12
2
＋14，
∴g(t)在[1，2]上是减函数，∴g(t)max＝g(1)＝0，即x＝0，f(x)max＝0.
10.(2015·太原模拟)已知函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在区间[2，3]上有最大值
5，最小值2.
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(1)求a，b的值；
(2)若b＜1，g(x)＝f(x)－2mx在[2，4]上单调，求m的取值范围.
解(1)f(x)＝a(x－1)2＋2＋b－a.
①当a＞0时，f(x)在[2，3]上为增函数，
故???f（3）＝5，f（2）＝2???9a－6a＋2＋b＝5，4a－4a＋2＋b＝2???a＝1，b＝0.
②当a＜0时，f(x)在[2，3]上为减函数，
故???f（3）＝2，f（2）＝5???9a－6a＋2＋b＝2，4a－4a＋2＋b＝5???a＝－1，b＝3.
故???
a＝1，
b＝0或??
?a＝－1，
b＝3.
(2)∵b＜1，∴a＝1，b＝0，即f(x)＝x2－2x＋2，
g(x)＝x2－2x＋2－2mx＝x2－(2＋2m)x＋2.
若g(x)在[2，4]上单调，则2＋2
m
2≤2或
2m＋2
2≥4，
∴2m≤2或2m≥6，即m≤1或m≥log26.
故m的取值范围是(－∞，1]∪[log26，＋∞).
11.已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋e
2
x(x＞0).
(1)若g(x)＝m有实根，求m的取值范围；
(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
解(1)∵x＞0，∴g(x)＝x＋e
2
x≥2e
2＝2e，
等号成立的条件是x＝e.
故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，
则g(x)＝m就有实根.故m∈[2e，＋∞).
(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)＝f(x)中函数
g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e
2
x(x＞0)
的大致图象.∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.
其对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.
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故当m－1＋e2＞2e，即m＞－e2＋2e＋1时，
g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根.
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞).
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