|
|
| 专题一第3讲 |
|
|
|
|
Gothedistance
第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题
一、选择题
1.函数f(x)＝12x2－lnx的单调递减区间为()
A.(－1，1]B.(0，1]
C.[1，＋∞)D.(0，＋∞)
解析由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－1x≤0，解得0＜x≤1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0，1].
答案B
2.(2015·武汉模拟)已知函数f(x)＝12mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m
的取值范围是()
A.[－1，1]B.[－1，＋∞)
C.[1，＋∞)D.(－∞，1]
解析f′(x)＝mx＋1x－2≥0对一切x＞0恒成立，∴m≥－??????1x
2
＋2x.
令g(x)＝－??????1x
2
＋2x，则当1x＝1，即x＝1时，函数g(x)取最大值1.故m≥1.
答案C
3.(2015·临沂模拟)函数f(x)＝x3－3ax－a在(0，1)内有最小值，则a的取值范围是
()
A.[0，1)B.(－1，1)
C.??????0，12D.(0，1)
解析f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a).当a≤0时，f′(x)＞0，
∴f(x)在(0，1)内单调递增，无最小值.当a＞0时，f′(x)＝3(x－a)(x＋a).当
x∈(－∞，－a)和(a，＋∞)时，f(x)单调递增；当x∈(－a，a)时，f(x)单
调递减，所以当a＜1，即0＜a＜1时，f(x)在(0，1)内有最小值.
答案D
Gothedistance
4.(2015·陕西卷)对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出
下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是()
A.－1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点
C.3是f(x)的极值D.点(2，8)在曲线y＝f(x)上
解析A正确等价于a－b＋c＝0，①
B正确等价于b＝－2a，②
C正确等价于4ac－b
2
4a＝3，③
D正确等价于4a＋2b＋c＝8.④
下面分情况验证：
若A错，由②、③、④组成的方程组的解为
??
?a＝5，
b＝－10，
c＝8.
符合题意；
若B错，由①、③、④组成的方程组消元转化为关于a的方程后无实数解；
若C错，由①、②、④组成方程组，经验证a无整数解；
若D错，由①、②、③组成的方程组a的解为－34也不是整数.综上，故选A.
答案A
5.(2015·潍坊模拟)函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)＞1，
则不等式ex·f(x)＞ex＋1的解集为()
A.{x|x＞0}
B.{x|x＜0}
C.{x|x＜－1，或x＞1}
D.{x|x＜－1，或0＜x＜1}
解析构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，
因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex
＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＞ex－ex＝0，
所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数.
又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，
所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，解得x＞0.
Gothedistance
答案A
二、填空题
6.(2015·陕西卷)设曲线y＝ex在点(0，1)处的切线与曲线y＝1x(x＞0)上点P处的
切线垂直，则P的坐标为________.
解析∵(ex)′|x＝0＝e0＝1，设P(x0，y0)，有??????1x′|
0xx?
＝－1x2
0
＝－1，
又∵x0＞0，∴x0＝1，故P的坐标为(1，1).
答案(1，1)
7.若f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1在R上单调递增，则a的取值范围是________.
解析f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2).
由题意知f′(x)≥0在R上恒成立，
所以Δ＝36a2－4×3×3(a＋2)≤0，解得－1≤a≤2.
答案[－1，2]
8.(2015·衡水中学期末)若函数f(x)＝－12x2＋4x－3lnx在[t，t＋1]上不单调，则t
的取值范围是________.
解析对f(x)求导，得f′(x)＝－x＋4－3x＝－x
2＋4x－3
x＝－
（x－1）（x－3）
x.
由f′(x)＝0得函数f(x)的两个极值点为1，3，则只要这两个极值点有一个在区
间(t，t＋1)内，函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调，所以t＜1＜t＋1或t＜3
＜t＋1，解得0＜t＜1或2＜t＜3.
答案(0，1)∪(2，3)
三、解答题
9.已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y
＝4x＋4.
(1)求a，b的值；
(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值.
解(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.
由已知，得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.
从而a＝4，b＝4.
Gothedistance
(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)??????ex－12.
令f′(x)＝0得，x＝－ln2或x＝－2.
从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln2，＋∞)时，f′(x)＞0；
当x∈(－2，－ln2)时，f′(x)＜0.
故f(x)在(－∞，－2]，[－ln2，＋∞)上单调递增，在[－2，－ln2]上单调递减.
当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2).
10.(2015·长沙模拟)已知函数f(x)＝x3－ax2－3x.
(1)若f(x)在[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)已知函数g(x)＝ln(1＋x)－x＋k2x2(k≥0)，讨论函数g(x)的单调性.
解(1)对f(x)求导，得f′(x)＝3x2－2ax－3.
由f′(x)≥0在[1，＋∞)上恒成立，得a≤32??????x－1x.
记t(x)＝32??????x－1x，当x≥1时，t(x)是增函数，
所以t(x)min＝32(1－1)＝0.所以a≤0.
(2)g′(x)＝x（kx＋k－1）1＋x，x∈(－1，＋∞).
当k＝0时，g′(x)＝－x1＋x，所以在区间(－1，0)上，g′(x)＞0；
在区间(0，＋∞)上，g′(x)＜0.
故g(x)的单调递增区间是(－1，0]，单调递减区间是[0，＋∞).
当0＜k＜1时，由g′(x)＝x（kx＋k－1）1＋x＝0，得x1＝0，x2＝1－kk＞0，
所以在区间(－1，0)和??????1－kk，＋∞上，g′(x)＞0；
在区间??????0，1－kk上，g′(x)＜0.故g(x)的单调递增区间是(－1，0]和??????1－kk，＋∞，
单调递减区间是??????0，1－kk.当k＝1时，g′(x)＝x
2
1＋x＞0，
故g(x)的单调递增区间是(－1，＋∞).
Gothedistance
当k＞1时，g′(x)＝x（kx＋k－1）1＋x＝0，得x1＝1－kk∈(－1，0)，x2＝0，
所以在区间??????－1，1－kk和(0，＋∞)上，g′(x)＞0，在区间??????1－kk，0上，g′(x)＜
0.故g(x)的单调递增区间是??????－1，1－kk和[0，＋∞)，单调递减区间是??????1－kk，0.
11.(2014·山东卷)设函数f(x)＝e
x
x2－k??
?
??
?2
x＋lnx(k为常数，e＝2.71828…是自然对数
的底数).
(1)当k≤0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点，求k的取值范围.
解(1)函数y＝f(x)的定义域为(0，＋∞).
f′(x)＝x
2ex－2xex
x4－k??
?
??
?－2
x2＋
1
x
＝xe
x－2ex
x3－
k（x－2）
x2＝
（x－2）（ex－kx）
x3.
由k≤0可得ex－kx＞0，
所以当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，函数y＝f(x)单调递减，
x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，函数y＝f(x)单调递增.
所以f(x)的单调递减区间为(0，2]，单调递增区间为[2，＋∞).
(2)由(1)知，k≤0时，函数f(x)在(0，2)内单调递减，
故f(x)在(0，2)内不存在极值点；
当k＞0时，设函数g(x)＝ex－kx，x∈[0，＋∞).
因为g′(x)＝ex－k＝ex－elnk，
当0＜k≤1时，当x∈(0，2)时，g′(x)＝ex－k＞0，y＝g(x)单调递增.
故f(x)在(0，2)内不存在两个极值点；
当k＞1时，得x∈(0，lnk)时，g′(x)＜0，函数y＝g(x)单调递减.
x∈(lnk，＋∞)时，g′(x)＞0，函数y＝g(x)单调递增.
所以函数y＝g(x)的最小值为g(lnk)＝k(1－lnk).
Gothedistance
函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点当且仅当
?
?
?g（0）＞0，g（lnk）＜0，
g（2）＞0，
0＜lnk＜2，
解得e＜k＜e
2
2，
综上所述，函数f(x)在(0，2)内存在两个极值点时，k的取值范围为??????e，e
2
2.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
