专题一第4讲

Gothedistance



第4讲导数与函数图象的切线及函数零点问题

一、选择题

1.曲线y＝xx＋2在点(－1，－1)处的切线方程为()

A.y＝2x＋1B.y＝2x－1

C.y＝－2x－3D.y＝－2x－2

解析易知点(－1，－1)在曲线上，且y′＝x＋2－x（x＋2）2＝2（x＋2）2，

所以切线斜率k＝y′|x＝－1＝21＝2.

由点斜式得切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.

答案A

2.(2015·太原模拟)若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有

公切线，则a＋b的值为()

A.－1B.0C.1D.2

解析∵f′(x)＝－asinx，∴f′(0)＝0.又g′(x)＝2x＋b，∴g′(0)＝b，∴b＝0.

又g(0)＝1＝m，∴f(0)＝a＝m＝1，∴a＋b＝1.

答案C

3.(2015·邯郸模拟)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a

＋b的值为()

A.2B.－1C.1D.－2

解析∵y′＝3x2＋a.∴y′|x＝1＝3＋a＝k，又3＝k＋1，∴k＝2，∴a＝－1.

又3＝1＋a＋b，∴b＝3，∴2a＋b＝－2＋3＝1.

答案C

4.(2015·武汉模拟)曲线y＝xlnx在点(e，e)处的切线与直线x＋ay＝1垂直，则实

数a的值为()

A.2B.－2C.12D.－12

解析依题意得y′＝1＋lnx，y′|x＝e＝1＋lne＝2，

所以－1a×2＝－1，a＝2，故选A.

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答案A

5.已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝lnx＋x

－2的零点为b，则下列不等式中成立的是()

A.f(a)＜f(1)＜f(b)B.f(a)＜f(b)＜f(1)

C.f(1)＜f(a)＜f(b)D.f(b)＜f(1)＜f(a)

解析由题意，知f′(x)＝ex＋1＞0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，

而f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，

所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；由题意，知g′(x)＝1x＋1＞0，

所以g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，

又g(1)＝ln1＋1－2＝－1＜0，g(2)＝ln2＋2－2＝ln2＞0，

所以函数g(x)的零点b∈(1，2).综上，可得0＜a＜1＜b＜2.

因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)＜f(1)＜f(b).

答案A

二、填空题

6.已知f(x)＝x3＋f′??????23x2－x，则f(x)的图象在点??????23，f??????23处的切线斜率是

________.

解析f′(x)＝3x2＋2f′??????23x－1，令x＝23，可得f′??????23＝3×??????23

2

＋2f′??????23×23－1，

解得f′??????23＝－1，所以f(x)的图象在点??????23，f??????23处的切线斜率是－1.

答案－1

7.(2015·成都模拟)关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a

的取值范围是________.

解析由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，

又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x＜0时，f′(x)＞0；

当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大

值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4

－a，所以???－a＞0，－4－a＜0，解得－4＜a＜0.

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答案(－4，0)

8.(2015·安徽卷)设x3＋ax＋b＝0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三

次方程仅有一个实根的是________(写出所有正确条件的编号).

①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a

＝1，b＝2.

解析令f(x)＝x3＋ax＋b，f′(x)＝3x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，

必有一个实根，④⑤正确；当a<0时，由于选项当中a＝－3，∴只考虑a＝

－3这一种情况，f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，∴f(x)极大＝f(－1)＝－1＋3＋b

＝b＋2，f(x)极小＝f(1)＝1－3＋b＝b－2，要使f(x)＝0仅有一个实根，则而f(x)极

大<0或f(x)极小>0，∴b<－2或b>2，①③正确，所有正确条件为①③④⑤.

答案①③④⑤

三、解答题

9.已知曲线C：y＝eax.

(1)若曲线C在点(0，1)处的切线为y＝2x＋m，求实数a和m的值；

(2)对任意实数a，曲线C总在直线l：y＝ax＋b的上方，求实数b的取值范围.

解(1)y′＝aeax，因为曲线C在点(0，1)处的切线为y＝2x＋m，

所以1＝2×0＋m且y′|x＝0＝2，解得m＝1，a＝2.

(2)法一对于任意实数a，曲线C总在直线y＝ax＋b的上方，等价于x，a∈R，

都有eax＞ax＋b，

即x，a∈R，eax－ax－b＞0恒成立.令g(x)＝eax－ax－b，

①若a＝0，则g(x)＝1－b，所以实数b的取值范围是b＜1；

②若a≠0，g′(x)＝a(eax－1)，由g′(x)＝0得x＝0，

g′(x)，g(x)的变化情况如下：

x(－∞，0)0(0，＋∞)

g′(x)－0＋

g(x)极小值

所以g(x)的最小值为g(0)＝1－b，所以实数b的取值范围是b＜1.

综上，实数b的取值范围是b＜1.

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法二对于任意实数a，曲线C总在直线y＝ax＋b的上方，等价于x，a∈R，

都有eax＞ax＋b，即x，a∈R，b＜eax－ax恒成立.

令t＝ax，则等价于t∈R，b＜et－t恒成立.

令g(t)＝et－t，则g′(t)＝et－1.由g′(t)＝0得t＝0，

g′(t)，g(t)的变化情况如下：

t(－∞，0)0(0，＋∞)

g′(t)－0＋

g(t)极小值

所以g(t)＝et－t的最小值为g(0)＝1，

所以实数b的取值范围是b＜1.

10.(2015·济南模拟)已知函数f(x)＝2lnx－x2＋ax(a∈R).

(1)当a＝2时，求f(x)的图象在x＝1处的切线方程；

(2)若函数g(x)＝f(x)－ax＋m在??????1e，e上有两个零点，求实数m的取值范围.

解(1)当a＝2时，f(x)＝2lnx－x2＋2x，

f′(x)＝2x－2x＋2，切点坐标为(1，1)，

切线的斜率k＝f′(1)＝2，则切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.

(2)g(x)＝2lnx－x2＋m，则g′(x)＝2x－2x＝－2（x＋1）（x－1）x.

因为x∈??????1e，e，所以当g′(x)＝0时，x＝1.

当1e＜x＜1时，g′(x)＞0；当1＜x＜e时，g′(x)＜0.

故g(x)在x＝1处取得极大值g(1)＝m－1.又g??????1e＝m－2－1e2，g(e)＝m＋2－e2，

g(e)－g??????1e＝4－e2＋1e2＜0，则g(e)＜g??????1e，所以g(x)在??????1e，e上的最小值是g(e).

g(x)在??????1e，e上有两个零点的条件是

??

??

?g（1）＝m－1＞0，

g??????1e＝m－2－1e2≤0，解得1＜m≤2＋

1

e2，

所以实数m的取值范围是??????1，2＋1e2.

11.(2015·江苏卷)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a，b∈R).

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(1)试讨论f(x)的单调性；

(2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，

a的取值范围恰好是(－∞，－3)∪??????1，32∪??????32，＋∞，求c的值.

解(1)f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－2a3.

当a＝0时，因为f′(x)＝3x2≥0，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；

当a＞0时，x∈??????－∞，－2a3∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，x∈??????－2a3，0时，

f′(x)＜0，所以函数f(x)在??????－∞，－2a3，(0，＋∞)上单调递增，

在??????－2a3，0上单调递减；

当a＜0时，x∈(－∞，0)∪??????－2a3，＋∞时，f′(x)＞0，x∈??????0，－2a3时，

f′(x)＜0，所以函数f(x)在(－∞，0)，??????－2a3，＋∞上单调递增，

在??????0，－2a3上单调递减.

(2)由(1)知，函数f(x)的两个极值为f(0)＝b，f??????－2a3＝427a3＋b，

则函数f(x)有三个零点等价于f(0)·f??????－2a3＝b??????427a3＋b＜0，

从而

??

??

?a＞0，

－427a3＜b＜0或???

??a＜0，

0＜b＜－427a3.

又b＝c－a，所以当a＞0时，427a3－a＋c＞0或当a＜0时，427a3－a＋c＜0.

设g(a)＝427a3－a＋c，因为函数f(x)有三个零点时，a的取值范围恰好是

(－∞，－3)∪??????1，32∪??????32，＋∞，

则在(－∞，－3)上g(a)＜0，且在??????1，32∪??????32，＋∞上g(a)＞0均恒成立.

从而g(－3)＝c－1≤0，且g??????32＝c－1≥0，因此c＝1.

此时，f(x)＝x3＋ax2＋1－a＝(x＋1)[x2＋(a－1)x＋1－a]，

因函数有三个零点，则x2＋(a－1)x＋1－a＝0有两个异于－1的不等实根，

所以Δ＝(a－1)2－4(1－a)＝a2＋2a－3＞0，

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且(－1)2－(a－1)＋1－a≠0，解得a∈(－∞，－3)∪??????1，32∪??????32，＋∞.

综上c＝1.