Gothedistance
第1讲圆与圆锥曲线的基本问题
一、选择题
1.(2015·广东卷)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是
()
A.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0B.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0D.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
解析设所求切线方程为2x＋y＋c＝0，依题有|0＋0＋c|22＋12＝5，解得c＝±5，
所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0，故选D.
答案D
2.(2015·安徽卷)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y＝±2x的是()
A.x2－y
2
4＝1B.
x2
4－y
2＝1
C.y
2
4－x
2＝1D.y2－x
2
4＝1
解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双
曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y＝±12x，只有C符合，故选C.
答案C
3.已知双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点
在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()
A.x
2
36－
y2
108＝1B.
x2
9－
y2
27＝1
C.x
2
108－
y2
36＝1D.
x2
27－
y2
9＝1
解析由双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，可设双曲
Gothedistance
线的方程为x2－y
2
3＝λ(λ＞0).因为双曲线
x2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛
物线y2＝24x的准线上，所以F(－6，0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ
＝9，所以双曲线的方程为x
2
9－
y2
27＝1.故选B.
答案B
4.(2015·浙江卷)如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点
的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，
点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是()
A.|BF|－1|AF|－1B.|BF|
2－1
|AF|2－1
C.|BF|＋1|AF|＋1D.|BF|
2＋1
|AF|2＋1
解析由图象知S△BCFS
△ACF
＝|BC||AC|＝xBx
A
，由抛物线的性质知|BF|＝xB＋1，|AF|＝xA＋1，
∴xB＝|BF|－1，xA＝|AF|－1，∴S△BCFS
△ACF
＝|BF|－1|AF|－1.故选A.
答案A
5.(2015·山东卷)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2
＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()
A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34
解析圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(－3，2)，半径r
＝1.(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3).如图所示，
反射光线一定过点(2，－3)且斜率k存在，∴反射光线
所在直线方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.
∵反射光线与已知圆相切，∴|－3k－2－2k－3|k2＋（－1）2＝1，整理得12k2＋25k＋12＝0，
解得k＝－34或k＝－43.
答案D
Gothedistance
二、填空题
6.圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦的长
为23，则圆C的标准方程为________.
解析设圆C的圆心为(a，b)(b＞0)，由题意得a＝2b＞0，且a2＝(3)2＋b2，
解得a＝2，b＝1.所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案(x－2)2＋(y－1)2＝4
7.(2015·湖南卷)设F是双曲线C：x
2
a2－
y2
b2＝1的一个焦点，若C上存在点P，使
线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________.
解析不妨设F(c，0)，则由条件知P(－c，±2b)，代入x
2
a2－
y2
b2＝1得
c2
a2＝5，
∴e＝5.
答案5
8.(2015·青岛模拟)已知双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x
2
＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为
________.
解析∵双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1的渐近线方程为y＝±
b
ax，
圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，
∴圆心为C(3，0).又渐近线方程与圆C相切，
即直线bx－ay＝0与圆C相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①
又∵x
2
a2－
y2
b2＝1的右焦点F2(a
2＋b2，0)为圆心C(3，0)，∴a2＋b2＝9.②
由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x
2
5－
y2
4＝1.
答案x
2
5－
y2
4＝1
三、解答题
9.已知曲线C上的动点P(x，y)满足到定点A(－1，0)的距离与到定点B(1，0)的
距离之比为2.
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(1)求曲线C的方程；
(2)过点M(1，2)的直线l与曲线C交于两点M、N，若|MN|＝4，求直线l的方程.
解(1)由题意得|PA|＝2|PB|，
故（x＋1）2＋y2＝2（x－1）2＋y2
化简得：x2＋y2－6x＋1＝0(或(x－3)2＋y2＝8)即为所求.
(2)当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1.
将x＝1代入方程x2＋y2－6x＋1＝0得y＝±2，
所以|MN|＝4，满足题意.
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx－k＋2，
由圆心到直线的距离d＝2＝|3k－k＋2|1＋k2，
解得k＝0，此时直线l的方程为y＝2.
综上所述，满足题意的直线l的方程为x＝1或y＝2.
10.(2015·安徽卷)设椭圆E的方程为x
2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A
的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，
直线OM的斜率为510.
(1)求E的离心率e；
(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称
点的纵坐标为72，求E的方程.
解(1)由题设条件知，点M的坐标为??????23a，13b，又kOM＝510，从而b2a＝510，
进而得a＝5b，c＝a2－b2＝2b，故e＝ca＝255.
(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为x5b＋yb＝1，点N的坐
标为??????52b，－12b.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为??????x1，72，
则线段NS的中点T的坐标为??????54b＋x12，－14b＋74.
Gothedistance
又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，
从而有
??
?
??
5
4b＋
x1
2
5b＋
－14b＋74
b＝1，
7
2＋
1
2b
x1－52b
＝5.
解得b＝3.
所以a＝35，故椭圆E的方程为x
2
45＋
y2
9＝1.
11.(2015·重庆卷)如图，椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分
别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQ⊥PF1.
(1)若|PF1|＝2＋2，|PF2|＝2－2，求椭圆的标准方程；
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
解(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋2)＋(2－2)＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，
因此2c＝|F1F2|＝|PF1|2＋|PF2|2
＝（2＋2）2＋（2－2）2＝23，
即c＝3，从而b＝a2－c2＝1.
故所求椭圆的标准方程为x
2
4＋y
2＝1.
(2)连接F1Q，
法一如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x
20
a2＋
y20
b2＝1，x
20＋y20＝c2，
求得x0＝±aca2－2b2，y0＝±b
2
c.
由|PF1|＝|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2＝??????aa
2－2b2
c＋c
2
＋b
4
c2.
＝2(a2－b2)＋2aa2－2b2＝(a＋a2－2b2)2.
Gothedistance
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|
＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|，知|QF1|＝2|PF1|，
因此，(2＋2)|PF1|＝4a，
即(2＋2)(a＋a2－2b2)＝4a，
于是(2＋2)(1＋2e2－1)＝4，解得
e＝12??????1＋??????42＋2－1
2
＝6－3.
法二如图，由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a.从而由|PF1|
＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|.
又由PF1⊥PQ，|PF1|＝|PQ|，
知|QF1|＝2|PF1|，
因此，4a－2|PF1|＝2|PF1|，得|PF1|＝2(2－2)a，
从而|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－2)a＝2(2－1)a.
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2，
因此e＝ca＝|PF1|
2＋|PF2|2
2a
＝（2－2）2＋（2－1）2
＝9－62＝6－3.
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