Gothedistance
第3讲圆锥曲线中的定点、定值、最值与范围问题
一、选择题
1.(2015·广州模拟)已知椭圆x
2
25＋
y2
16＝1内有两点A(1，3)，B(3，0)，P为椭圆上
一点，则|PA|＋|PB|的最大值为()
A.3B.4C.5D.15
解析在椭圆中，由a＝5，b＝4，得c＝3，故焦点为(－3，0)和(3，0)，点B
是右焦点，记左焦点为C(－3，0)，由椭圆的定义得|PB|＋|PC|＝10，所以|PA|
＋|PB|＝10＋|PA|－|PC|，因为||PA|－|PC||≤|AC|＝5，所以当点P，A，C三点共
线时，|PA|＋|PB|取得最大值15.
答案D
2.在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，2)且斜率为k的直线l与椭圆x
2
2＋y
2＝1
有两个不同的交点，则k的取值范围为()
A.??????－∞，－22
B.??????22，＋∞
C.??????22，＋∞
D.??????－∞，－22∪??????22，＋∞
解析由已知可得直线l的方程为y＝kx＋2，
与椭圆的方程联立，整理得??????12＋k2x2＋22kx＋1＝0，
因为直线l与椭圆有两个不同的交点，所以Δ＝8k2－4??????12＋k2＝4k2－2＞0，解
得k＜－22或k＞22，即k的取值范围为??????－∞，－22∪??????22，＋∞.
答案D
3.(2015·榆林模拟)若双曲线x
2
a2－
y2
b2＝1(a＞0，b＞0)与直线y＝3x无交点，则离
心率e的取值范围是()
A.(1，2)B.(1，2]
Gothedistance
C.(1，5)D.(1，5]
解析因为双曲线的渐近线为y＝±bax，要使直线y＝3x与双曲线无交点，则
直线y＝3x应在两渐近线之间，所以有ba≤3，即b≤3a，所以b2≤3a2，c2
－a2≤3a2，即c2≤4a2，e2≤4，所以1＜e≤2.
答案B
4.在直线y＝－2上任取一点Q，过Q作抛物线x2＝4y的切线，切点分别为A，B，
则直线AB恒过的点是()
A.(0，1)B.(0，2)C.(2，0)D.(1，0)
解析设Q(t，－2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，抛物线方程变为y＝14x2，则y′＝12x，
则在点A处的切线方程为y－y1＝12x1(x－x1)，化简得y＝12x1x－y1；同理，在点
B处的切线方程为y＝12x2x－y2.又点Q(t，－2)的坐标满足这两个方程，代入得
－2＝12x1t－y1，－2＝12x2t－y2，则说明A(x1，y1)，B(x2，y2)都满足方程－2＝12xt
－y，即直线AB的方程为y－2＝12tx，因此直线AB恒过点(0，2).
答案B
5.(2014·湖北卷)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，
且∠F1PF2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()
A.433B.233C.3D.2
解析设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1＞r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线
实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，
由(2c)2＝r21＋r22－2r1r2cosπ3，得4c2＝r21＋r22－r1r2.由???
r1＋r2＝2a1，
r1－r2＝2a2
得???r1＝a1＋a2，r
2＝a1－a2，
∴1e
1
＋1e
2
＝a1＋a2c＝r1c.令m＝r
21
c2＝
4r21
r21＋r22－r1r2＝
4
1＋??????r2r1
2
－r2r
1
＝
Gothedistance
4
??
?
??
?r2
r1－
1
2
2
＋34
，当r2r
1
＝12时，mmax＝163，∴??????r1cmax＝433，即1e
1
＋1e
2
的最大值为433.
答案A
二、填空题
6.(2015·平顶山模拟)若双曲线x2－y
2
b2＝1(b＞0)的一条渐近线与圆x
2＋(y－2)2＝1
至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是________.
解析双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则有|0－2|1＋b2≥1，解得b2≤3，则e2＝1
＋b2≤4，得1＜e≤2.
答案(1，2]
7.(2015·成都模拟)已知椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的离心率为
6
3，过椭圆上一点M
作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B
关于原点对称，则k1·k2的值为________.
解析由e2＝1－b
2
a2＝
6
9，得
b2
a2＝
1
3，设M(x，y)，A(m，n)，B(－m，－n)，则k1·k2
＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y
2－n2
x2－m2，①
把y2＝b2??????1－x
2
a2，n
2＝b2
??
?
??
?1－m2
a2代入①式并化简，可得k1·k2＝－
1
3.
答案－13
8.抛物线y2＝8x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又点A(－2，0)，
则|PA||PF|的最大值为________.
解析由点P(x，y)在抛物线y2＝8x上，得y2＝8x(x≥0).
由抛物线的定义可得|PF|＝x＋2，
又|PA|＝（x＋2）2＋y2＝（x＋2）2＋8x，
所以|PA||PF|＝（x＋2）
2＋8x
x＋2＝
（x＋2）2＋8x
（x＋2）2
Gothedistance
＝1＋8xx2＋4x＋4.
当x＝0时，|PA||PF|＝1；
当x≠0时，|PA||PF|＝1＋8
x＋4x＋4
，
因为x＋4x≥2x·4x＝4，当且仅当x＝4x，即x＝2时取等号，
故x＋4x＋4≥8，0＜8
x＋4x＋4
≤1，
所以1＋8
x＋4x＋4
∈(1，2].
综上，|PA||PF|∈[1，2].所以|PA||PF|的最大值为2.
答案2
三、解答题
9.(2015·南阳模拟)已知椭圆C：x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2.
过点M(2，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求OA→·OB→的取值范围；
(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定点.
(1)解易知b＝1，e＝ca＝22得a2＝2c2＝2a2－2b2，
故a2＝2.故方程为x
2
2＋y
2＝1.
(2)解设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋
8k2－2＝0.由Δ＞0得0≤k2＜12.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝8k
2
1＋2k2，x1x2＝
8k2－2
1＋2k2.
Gothedistance
∴OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)
＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2
＝10k
2－2
1＋2k2＝5－
7
1＋2k2
∵0≤k2＜12，∴72＜71＋2k2≤7，
故所求范围是??????－2，32.
(3)证明由对称性可知N(x2，－y2)，定点在x轴上.
直线AN：y－y1＝y1＋y2x
1－x2
(x－x1)，令y＝0得：
x＝x1－y1（x1－x2）y
1＋y2
＝x1y2＋x2y1y
1＋y2
＝2x1x2－2（x1＋x2）x
1＋x2－4
＝
16k2－4
1＋2k2－
16k2
1＋2k2
8k2
1＋2k2－4
＝1，
∴直线AN过定点(1，0).
10.已知椭圆M的对称轴为坐标轴，焦点是(0，2)，(0，－2)，又点A(1，2)
在椭圆M上.
(1)求椭圆M的方程；
(2)已知直线l的斜率为2，若直线l与椭圆M交于B、C两点，求△ABC面积
的最大值.
解(1)由已知椭圆的焦点为(0，－2)，故设椭圆方程为y
2
a2＋
x2
a2－2＝1，
将点A(1，2)代入方程得2a2＋1a2－2＝1，
整理得a4－5a2＋4＝0，
解得a2＝4或a2＝1(舍)，
故所求椭圆方程为y
2
4＋
x2
2＝1.
Gothedistance
(2)设直线BC的方程为y＝2x＋m，
设B(x1，y1)，C(x2，y2)，
代入椭圆方程并化简得4x2＋22mx＋m2－4＝0，
由Δ＝8m2－16(m2－4)＝8(8－m2)＞0，可得m2＜8，①
由x1＋x2＝－22m，x1x2＝m
2－4
4，
故|BC|＝3|x1－x2|＝3·16－2m
2
2
又点A到BC的距离为d＝|m|3.
故S△ABC＝12|BC|·d＝m
2（16－2m2）
4
≤142·2m
2＋（16－2m2）
2＝2.
当且仅当2m2＝16－2m2，
即m＝±2时取等号(满足①式)，
所以△ABC面积的最大值为2.
11.(2015·天津卷)已知椭圆x
2
a2＋
y2
b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－c，0)，离心率为
3
3，点M在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆x
2＋y2＝b
2
4截得的线段的长
为c，|FM|＝433.
(1)求直线FM的斜率；
(2)求椭圆的方程；
(3)设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于2，求直线OP(O为原点)的斜
率的取值范围.
解(1)由已知，有c
2
a2＝
1
3，
又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.
设直线FM的斜率为k(k＞0)，F(－c，0)，
Gothedistance
则直线FM的方程为y＝k(x＋c).
由已知，有??????kck2＋1
2
＋??????c2
2
＝??????b2
2
，
解得k＝33.
(2)由(1)得椭圆方程为x
2
3c2＋
y2
2c2＝1，直线FM的方程为y＝
3
3(x＋c)，两个方程
联立，消去y，整理得3x2＋2cx－5c2＝0，
解得x＝－53c，或x＝c.
因为点M在第一象限，可得M的坐标为??????c，233c.
由|FM|＝（c＋c）2＋??????233c－0
2
＝433.
解得c＝1，所以椭圆的方程为x
2
3＋
y2
2＝1.
(3)设点P的坐标为(x，y)，直线FP的斜率为t，
得t＝yx＋1，即y＝t(x＋1)(x≠－1)，与椭圆方程联立.
??
??
?y＝t（x＋1），
x2
3＋
y2
2＝1，
消去y，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，
又由已知，得t＝6－2x
2
3（x＋1）2＞2，
解得－32＜x＜－1，或－1＜x＜0.
设直线OP的斜率为m，得m＝yx，
即y＝mx(x≠0)，与椭圆方程联立，整理得m2＝2x2－23.
①当x∈??????－32，－1时，有y＝t(x＋1)＜0，
因此m＞0，于是m＝2x2－23，得m∈??????23，233.
②当x∈(－1，0)时，有y＝t(x＋1)＞0.
Gothedistance
因此m＜0，于是m＝－2x2－23，
得m∈??????－∞，－233.
综上，直线OP的斜率的取值范围是??????－∞，－233∪??????23，233.
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