江西省赣州市2014-2015学年八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）（﹣2）﹣1的倒数是（）
A． ﹣2 B． C． ﹣ D． ﹣
2．（2分）如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
3．（2分）三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是（）
A． 2＜x＜5 B． 2.5＜x＜4.5 C． 1＜x＜6 D． 3＜x＜5
4．（2分）下列运算正确个数有（）
①2﹣3=﹣6；②；③a2?a3=a5；④3a+2a=5a2．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
5．（2分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）
A． 15或17 B． 16或15 C． 15 D． 16或15或17
6．（2分）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）
A． 15 B． 12 C． 12或15 D． 不能确定
7．（2分）如果4x2﹣ax+9是一个完全平方式，则a的值是（）
A． ±6 B． 6 C． 12 D． ±12
8．（2分）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=45°，则∠BDF度数是（）
A． 80° B． 90° C． 40° D． 不确定
二、填空题（共9小题，每小题2分，满分18分）
9．（2分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为m．
10．（2分）如果分式的值为零，那么x=．
11．（2分）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=．
12．（2分）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4=．
13．（2分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为．
14．（2分）如图，△ABC中∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，且EC=DE，则∠B的度数为．
15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为．
16．（2分）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…请你把发现的规律用含正整数n≥2的等式表示为．
17．（2分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=度．
三、解答题（共11小题，满分66分）
20．（6分）分解因式：
（1）﹣2m2+8mn﹣8n2
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
22．（4分）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
23．（5分）已知：x2+2x=3，求代数式（x﹣3）2﹣（2x+1）（2x﹣1）﹣7的值．
24．（8分）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
25．（6分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，DG∥AC交AB于点H，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BDG是等腰三角形；
（2）求证：BE=DF．
28．（9分）探究题：如图：
（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条
件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，
求证：∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．
江西省赣州市2014-2015学年八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）
1．（2分）（﹣2）﹣1的倒数是（）
A． ﹣2 B． C． ﹣ D． ﹣
考点： 负整数指数幂；倒数．
分析： 根据负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数）可得答案．
解答： 解：原式=（﹣）1=﹣，
故选：C．
点评： 此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数．
2．（2分）如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质．
专题： 动点型．
分析： 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①OA为等腰三角形底边；②OA为等腰三角形一条腰．
解答： 解：如上图：①OA为等腰三角形底边，符合符合条件的动点P有一个；
②OA为等腰三角形一条腰，符合符合条件的动点P有三个．
综上所述，符合条件的点P的个数共4个．
故选C．
点评： 本题考查了等腰三角形的判定及坐标与图形的性质；利用等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，再利用数学知识来求解．
3．（2分）三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是（）
A． 2＜x＜5 B． 2.5＜x＜4.5 C． 1＜x＜6 D． 3＜x＜5
考点： 三角形三边关系；解一元一次不等式组．
分析： 根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
解答： 解：由题意，有8﹣5＜1+2x＜8+5，
解得：1＜x＜6，
故选C．
点评： 考查了三角形的三边关系，还要熟练解不等式，难度不大，属于基础题．
4．（2分）下列运算正确个数有（）
①2﹣3=﹣6；②；③a2?a3=a5；④3a+2a=5a2．
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
考点： 同底数幂的乘法；算术平方根；合并同类项；负整数指数幂．
分析： 根据负整数指数幂、开平方、幂的乘方法则及合并同类项的法则进行运算即可．
解答： 解：①2﹣3=，故本项错误；
②=2，故本项正确；
③a2?a3=a5，故本项正确；
④3a+2a=5a，故本项错误．
综上可得正确的有2个．
故选B．
点评： 本题考查了同底数幂的乘法、合并同类项的法则及负整数指数幂的运算，属于基础题．
5．（2分）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（）
A． 15或17 B． 16或15 C． 15 D． 16或15或17
考点： 多边形内角与外角．
分析： 因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
解答： 解：多边形的内角和可以表示成（n﹣2）?180°（n≥3且n是整数），一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，
根据题意得（n﹣2）?180°=2520°，
解得：n=16，
则多边形的边数是15，16，17．
故选D．
点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理，本题容易出现的错误是：认为截取一个角后角的个数减少1．
6．（2分）等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（）
A． 15 B． 12 C． 12或15 D． 不能确定
考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．
专题： 计算题；压轴题．
分析： 根据等腰三角形的性质和三角形的三边关系，可求出第三条边长，即可求得周长；
解答： 解：∵当腰长为3时，3+3=6，显然不成立；
∴腰长为6，
∴周长为6+6+3=15．
故选A．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系定理，三角形两边之和大于第三边，三角形两边之差小于第三边．
7．（2分）如果4x2﹣ax+9是一个完全平方式，则a的值是（）
A． ±6 B． 6 C． 12 D． ±12
考点： 完全平方式．
专题： 计算题．
分析： 这里首末两项是2x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和3的积的2倍，故a=±2×2×3=±12．
解答： 解：∵（2x±3）2=4x2±12x+9=4x2﹣ax+9，
∴a=±2×2×3=±12．
故选D．
点评： 本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
8．（2分）如图，D是AB边上的中点，将△ABC沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若∠B=45°，则∠BDF度数是（）
A． 80° B． 90° C． 40° D． 不确定
考点： 翻折变换（折叠问题）．
专题： 几何图形问题．
分析： 先根据图形翻折不变的性质可得AD=DF，根据等边对等角的性质可得∠B=∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
解答： 解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD=DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD=BD，
∴BD=DF，
∴∠B=∠BFD，
∵∠B=45°，
∴∠BDF=180°﹣∠B﹣∠BFD=180°﹣45°﹣45°=90°．
故选：B．
点评： 本题考查的是图形翻折变换的图形能够重合的性质，以及等边对等角的性质，熟知折叠的性质是解答此题的关键．
二、填空题（共9小题，每小题2分，满分18分）
9．（2分）禽流感病毒的形状一般为球形，直径大约为0.000000102m，该直径用科学记数法表示为1.02×10﹣7m．
考点： 科学记数法—表示较小的数．
分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答： 解：0.000000102=1.02×10﹣7．
故答案为：1.02×10﹣7．
点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
10．（2分）如果分式的值为零，那么x=﹣1．
考点： 分式的值为零的条件．
专题： 计算题．
分析： 分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
解答： 解：如果分式的值为零，则|x|﹣1=0．
解得x=1或﹣1．
x﹣1≠0，解得x≠1，
∴x=﹣1．
故答案为﹣1．
点评： 分式值为0，那么需考虑分子为0，分母不为0．
11．（2分）若点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，则m+n=0．
考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析： 根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列出方程求解即可．
解答： 解：∵点A（m+2，3）与点B（﹣4，n+5）关于y轴对称，
∴m+2=4，3=n+5，
解得：m=2，n=﹣2，
∴m+n=0，
故答案为：0．
点评： 本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
12．（2分）如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4=280°．
考点： 多边形内角与外角．
分析： 先根据邻补角的定义得出与∠EAB相邻的外角∠5的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解．
解答： 解：如图，∵∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，
∴∠5=80°．
∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°
故答案为280°．
点评： 本题主要考查了多边形内角与外角的关系及多边形的外角和定理，比较简单．
13．（2分）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为2．
考点： 角平分线的性质；垂线段最短．
专题： 动点型．
分析： 过P作PE⊥OM于E，根据垂线段最短，得出当Q与E重合时，PQ最小，根据角平分线性质求出PE=PA，即可求出答案．
解答： 解：过P作PE⊥OM于E，当Q与E重合时，PQ最小，
∵PE⊥OM，PA⊥ON，OP平分∠MON，
∴PE=PA=2，
即PQ的最小值是2，
故答案为：2．
点评： 本题考查了垂线段最短和角平分线的性质的应用，能根据题意得出PQ最小时Q的位置是解此题的关键，此题主要培养学生的理解能力．
14．（2分）如图，△ABC中∠C=90°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，且EC=DE，则∠B的度数为30°．
考点： 线段垂直平分线的性质．
分析： 首先连接AE，由AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，可得AE=BE，又由EC=DE，易证得AE平分∠CAB，继而求得答案．
解答： 解：连接AE，
∵AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，
∴AE=BE，
∴∠EAB=∠B，
∵△ABC中，∠C=90°，且EC=DE，
∴AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠EAB，
∴∠CAB=2∠B，
∵∠CAB+∠B=90°，
∴∠B=30°．
故答案为：30°．
点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质以及角平分线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
15．（2分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB为10°．
考点： 轴对称的性质；三角形的外角性质．
分析： 根据轴对称的性质可知∠CA′D=∠A=50°，然后根据外角定理可得出∠A′DB．
解答： 解：由题意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，
由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，
∴可得：∠A′DB=10°．
故答案为：10°．
点评： 本题考查轴对称的性质，属于基础题，注意外角定理的运用是解决本题的关键．
16．（2分）已知：2+=22×，3+=32×，4+=42×，…请你把发现的规律用含正整数n≥2的等式表示为n+=n2×．
考点： 规律型：数字的变化类．
专题： 规律型．
分析： 观察等式左边是一个整数与分数的和，分数的分子与整数相同，分母是整数的平方减1，等式的右边是这个整数的平方乘以这个分数，根据此规律写出即可．
解答： 解：∵2+=22×，3+=32×，4+=42×，…，
∴含正整数n的等式为n+=n2×．
故答案为：n+=n2×．
点评： 本题是对数字变化规律的考查，观察出分数的分子、分母与整数的关系是解题的关键，也是本题的难点．
17．（2分）将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放．如果∠3=32°，那么∠1+∠2=70度．
考点： 三角形内角和定理；多边形内角与外角．
专题： 几何图形问题．
分析： 分别根据正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数及平角的定义进行解答即可．
解答： 解：∵∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°，
∴∠4=180°﹣60°﹣32°=88°，
∴∠5+∠6=180°﹣88°=92°，
∴∠5=180°﹣∠2﹣108°①，
∠6=180°﹣90°﹣∠1=90°﹣∠1②，
∴①+②得，180°﹣∠2﹣108°+90°﹣∠1=92°，
即∠1+∠2=70°．
故答案为：70°．
点评： 本题考查的是三角形内角和定理，熟知正三角形、正四边形、正五边形各内角的度数是解答此题的关键．
三、解答题（共11小题，满分66分）
18．（4分）计算：（﹣）﹣2﹣（﹣）2012×（1.5）2013+20140﹣22++（3﹣π）0﹣|﹣3|．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析： 分别利用积的乘方以及绝对值和零指数幂的性质分别化简求出即可．
解答： 解：（﹣）﹣2﹣（﹣）2012×（1.5）2013+20140﹣22++（3﹣π）0﹣|﹣3|
=﹣（﹣×1.5）2012×1.5+1﹣4+2+1﹣3
=4﹣1.5+1﹣4+2+1﹣3
=﹣2.5．
点评： 此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质化简各数是解题关键．
19．（6分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．
考点： 分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．
专题： 计算题．
分析： 将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，然后找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果，分别求出x满足的不等式组两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，在解集中找出整数解，即为x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．
解答： 解：（﹣）÷
=[﹣]?
=?
=?
=，
又，
由①解得：x＞﹣4，
由②解得：x＜﹣2，
∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2，
其整数解为﹣3，
当x=﹣3时，原式==2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分．
20．（6分）分解因式：
（1）﹣2m2+8mn﹣8n2
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
考点： 提公因式法与公式法的综合运用．
分析： （1）直接提取公因式﹣2，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）首先提取公因式（x﹣1），进而利用平方差公式分解因式即可．
解答： 解：（1）﹣2m2+8mn﹣8n2
=﹣2（m2﹣4mn+4n2）
=﹣2（m﹣2n）2；
（2）a2（x﹣1）+b2（1﹣x）
=（x﹣1）（a2﹣b2）
=（x﹣1）（a﹣b）（a+b）．
点评： 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
21．（5分）解方程：．
考点： 解分式方程．
专题： 计算题；转化思想．
分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
解答： 解：去分母得：4x+2x+6=5，
移项合并得：6x=﹣1，
解得：x=﹣，
经检验x=﹣是分式方程的解．
点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．（4分）如图，A、B两村在一条小河的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．
（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？
（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？
请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．
考点： 作图—应用与设计作图．
分析： 根据中垂线和轴对称及三角形的三边关系求解．
解答： 解：（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等知，
作出AB的中垂线与河岸交于点P，则点P满足到AB的距离相等．
（2）作出点A关于河岸的对称点C，连接CB，交于河岸于点P，连接AP，则点P能满足AP+PB最小，
理由：AP=PC，三角形的任意两边之和大于第三边，当点P在CB的连线上时，CP+BP是最小的．
点评： 本题利用了中垂线的性质，轴对称的性质，三角形三边的关系求解．
23．（5分）已知：x2+2x=3，求代数式（x﹣3）2﹣（2x+1）（2x﹣1）﹣7的值．
考点： 整式的混合运算—化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值．
解答： 解：∵x2+2x=3
∴原式=x2﹣6x+9﹣4x2+1﹣7=﹣3x2﹣6x+3=﹣3（x2+2x）+3=﹣9+3=﹣6．
点评： 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．（8分）已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）首先要作辅助线，ME⊥AD则利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知ME=MC，再利用中点的条件可知ME=MB，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上的逆定理证明AM平分∠DAB．
（2）根据平行线性质得出∠CDA+∠BAD=180°，求出∠1+∠3=90°，根据三角形内角和定理求出即可．
（3）证Rt△DCM≌Rt△DEM，推出CD=DE，同理得出AE=AB，即可得出答案．
解答： （1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．
点评： 本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，此题是一道比较典型的题目，难度适中，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
25．（6分）如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，则BE与DF有何位置关系？试说明理由．
考点： 平行线的判定；角平分线的定义．
专题： 探究型．
分析： 根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°，得∠ABC+∠ADC=180°；根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等，从而证明两条直线平行．
解答： 解：BE∥DF．理由如下：
∵∠A=∠C=90°（已知），
∴∠ABC+∠ADC=180°（四边形的内角和等于360°）．
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠1=∠2=∠ABC，∠3=∠4=∠ADC（角平分线的定义）．
∴∠1+∠3=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°（等式的性质）．
又∠1+∠AEB=90°（三角形的内角和等于180°），
∴∠3=∠AEB（同角的余角相等）．
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
点评： 此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定，难度中等．
26．（6分）某一工程进行招标时，接到了甲、乙两个工程队的投标书，施工1天需付甲工程队工程款1.5万元，付乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：
方案（1）：甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成；
方案（2）：乙工程队单独完成这项工程，要比规定日期多5天；
方案（3）：若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙工程队单独做，也正好如期完成；
在不耽误工期的情况下，你觉得哪种方案最省钱？请说明理由．
考点： 分式方程的应用．
分析： 根据方案（1）的叙述可知：甲工程队单独完成时的时间=工期；由方案（2）可得：乙工程队单独完成这项工程时，所用的天数﹣5天=工期；可以设出工期是x天，即可表示出甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数，即可表示出各自的工作效率，根据方案（3）即可列方程求得工期，进而计算方案（1）（3）各自需要的工程款，即可作出比较．
解答： 解：设工期是x天，即可表示出甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数是x天，（x+5）天．
根据题意得：4（+）+=1，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的解．
则甲、乙单独完成这项工程时所需要的天数是20天，25天．
则方案（1）的工程款是：20×1.5=30万元；
方案（3）的工程款是：1.5×4+1.1×20=28（万元）．
综上所述，可知在保证正常完工的前提下，应选择第三种方案：甲、乙两队合作4天，剩下的工程由乙队独做．
答：方案（3）比较省钱．
点评： 本题主要考查了分式方程的应用，正确理解工作时间、工作效率、工作量之间的关系是解题的关键．
27．（7分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D在线段BC上，∠BDE=∠C，BE⊥DE，垂足为E，DE与AB交于点F，DG∥AC交AB于点H，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BDG是等腰三角形；
（2）求证：BE=DF．
考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
专题： 证明题．
分析： （1）由DG∥AC，可得∠C=∠BDG，由∠BDE=∠C，可得∠BDE=∠BDG，然后由BE⊥DE，可得∠BED=∠GED=90°，然后由三角形内角和定理可得：∠G=∠GBD，然后由等角对等边可得BD=GD，即可证：△BDG是等腰三角形；
（2）由DG∥AC，∠A=90°，AB=AC，可得∠BHD=∠A=90°，∠ABC=∠C=∠BDG=45°，进而得到BH=HD，然后再由ASA可证△BGH≌△DFH，从而得到FD=BG，然后由（1）知：BD=DG，DE⊥BG，所以可得：BE=EG=BG，进而可证BE=DF．
解答： 证明：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵DG∥AC，
∴∠BDG=∠C=45°，∠BHD=∠A=90°，
∵∠BDE=∠C，
∴∠BDE=∠BDG，
即∠GDE=∠BDE，
∵BE⊥DE，
∴∠BED=∠GED=90°，
∴∠G=∠GBD，
∴BD=GD，
∴△BDG是等腰三角形；
（2）由（1）知：BD=GD，DE⊥BG，
∴BE=EG=BG，
∵∠BDG=45°，∠ABC=45°，
∴∠BDG=∠ABC，
∴BH=DH，
∵∠BHD=90°，
∴∠BHG=90°，
∴∠G+∠GBH=90°，
∵∠GED=90°，
∴∠G+∠GDE=90°，
在△BGH和△DFH中，
∵，
∴△BGH≌△DFH，
∴BG=DF，
∵BE=BG，
∴BE=DF．
点评： 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；准确找出命题中隐含的等量关系，是证明全等三角形的关键．
28．（9分）探究题：如图：
（1）△ABC为等边三角形，动点D在边CA上，动点P边BC上，若这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，连接AP，BD交于点Q，两点运动过程中AP=BD成立吗？请证明你的结论；
（2）如果把原题中“动点D在边CA上，动点P边BC上，”改为“动点D，P在射线CA和射线BC上运动”，其他条
件不变，如图（2）所示，两点运动过程中∠BQP的大小保持不变．请你利用图（2）的情形，
求证：∠BQP=60°；
（3）如果把原题中“动点P在边BC上”改为“动点P在AB的延长线上运动，连接PD交BC于E”，其他条件不变，如图（3），则动点D，P在运动过程中，DE始终等于PE吗？写出证明过程．
考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析： （1）由△ABC为等边三角形，可得∠C=∠ABP=60°，AB=BC，又由这两点分别从C、B点同时出发，以相同的速度由C向A和由B向C运动，可得BP=CD，即可利用SAS，判定△ABP≌△BCD，继而证得结论；
（2）同理可证得△ABP≌△BCD（SAS），则可得∠APB=∠BDC，然后由∠APB﹣∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，求得∠BDC﹣∠DAQ=∠BQP=60°；
（3）首先过点D作DG∥AB交BC于点G，则可证得△DCG为等边三角形，继而证得△DGE≌△PBE（AAS），则可证得结论．
解答： 解：（1）成立．
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠C=∠ABP=60°，AB=BC，
根据题意得：CD=BP，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴AP=BD；
（2）根据题意，CP=AD，
∴CP+BC=AD+AC，
即BP=CD，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠APB=∠BDC，
∵∠APB﹣∠PAC=∠ACB=60°，∠DAQ=∠PAC，
∴∠BDC﹣∠DAQ=∠BQP=60°；
（2）DE=PE．
理由：过点D作DG∥AB交BC于点G，
∴∠CDG=∠C=∠CGD=60°，∠GDE=∠BPE，
∴△DCG为等边三角形，
∴DG=CD=BP，
在△DGE和△PBE中，
，
∴△DGE≌△PBE（AAS），
∴DE=PE．
点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
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