试题研究''解题技巧……………………………敦学教学通讯(中等教育)……………………·投稿邮箱：sxjk@vip．163．com
朱建波
江苏沛县中学221600
舅一≮黛芸篡嚣椭籼籼黼…躺，点氕戳了触≯蹲腻糊
瞄关键词：椭圆；双曲线；离心率；思路剖析
离心率e是刻画圆锥曲线性质的重
要参数．求圆锥曲线离心率的值或范
围的问题在全国各省市高考试题中屡
见不鲜．在各地的调研试题中也每每
出现．解决此类问题。需要认真审核．
从题目信息，从所给的数式与图形中，
构造关于三个量口。b。c的等量关系或
不等关系．从而找到解题方向．但是学
生在处理这类问题的部分试题时．经
常束手无策．笔者认为：此类问题并非
无迹可寻．而是有法可依．现选取部分
高考试题。给出几种思路或方法。并加
以解析与点评．以期能为同行与学生
提供参考．
Q剪定义法——利用定义求解e
倒1(2011年福建卷理科第7题)
设圆锥曲线C的两个焦点分别为R，B，
若C_E存在点P满足I矾l：IFIRI：I踢l-
4：3：2．求圆锥曲线C的离心率．
解析：由题意-fi雯I隅I--4k，IE尼l=
3七，lPF2l=2k，矗娥若c为椭圆，由椭圆
的定义可得l隅l+fPF2I=2a=6k，．黜la=3k．
而IE足I-3k=2c，得c=委七，所以e=三=
了1．若c为双曲线，由双曲线的定义可得
I矾l—lPF2ll=2I仁2_j}，勋la=k．而I—R|-
3扣2c，得c=詈七，所以e-詈3詈·综上，
圆锥曲线C的离心率为土或三．
评注：圆锥曲线的教学是围绕着定
义展开的．定义准确地揭示了圆锥曲线
这一概念内涵．因此定义法应当是解决
离心率问题的基本策略．本题中．根据
点P的特殊位置．利用定义分别列出等
量关系．迅捷地达到了求解的目的．当
然．我们除了应重视圆锥曲线的具体定
义外。还应关注圆锥曲线的统一定义，
即根据已知条件选取对应的焦点与准
线．构造圆锥曲线的统一定义，从而解
决问题．以下例2就是利用圆锥曲线的
统一定义解题的范例．
倒2(2010年全国卷I理科第16
题)已知难椭圆C的一个焦点，曰是短
轴的一个端点．线段引P的延长线交椭圆
c于点D，且藤2而，则椭圆c的离心率为一
一：
厂‘汾。
弋彰7
解析：如图1，IBFl=、佰茸孑=口，作
DD·坍彻一岫藤疡滑器=
器=詈，MIDO-I=乏310mI_c''3
即菇庐詈．又由圆锥曲线的统一定义可
得I刃I=e}兰211一翌2a，x．由IBFI=
21FDI，得泸弘望，所她宰．
评注：定义是数学概念之本．是解
决数学问题的重要依据，回归定义，应
用定义法解题是不容忽视的重要方法
之一．
(固。坐标法——通过求定点坐
标解e值
倒3(2009年江苏卷第13题)在平
面直角坐标系菇0，，中，A。，A2，B。，B2为椭
圆薯+岳=1(D6>o)的四个顶点，肋其
右焦点，直线A。B2与直线B。瑚交于点r，
线段OT与椭圆的交点肘恰为线段0r的中点，则该椭圆的离心率为一
vJ
B2取r。i夕
A八0拦／z；＼
Bl
图2
解析：如图2，易得A，(一口，0)，B1(0，
一b)，B2(0，b)，F(c，0)，直线AlB2的方程
为bx—ay+ab=O，直线日lF的方程为6戈-c)，一
bc=O．
联立直线AIB2和直线B，F的方程可
求得点r的坐标为f丝，望堕堕1，点肘
的坐标为(三，罴)，橼肘的坐
万方数据
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标(告，等卜曲线方程告唔=
口2c262(叶c)21(。>6>o)有尘≠+掣：1，即
e2+lOe一3--0，可求得e=2、／可一5．．
评注：标准方程是圆锥曲线的量化
体现，．&M(xo，Yo)在圆锥曲线上除了满足
圆锥曲线的定义外．其坐标也满足曲线
的方程．例3借助直线的方程、中点坐标
公式、圆锥曲线的性质等基础知识．通过
计算，直接用口，b，c刻画定点肘的坐标后，
将其代入曲线方程．从而解出e值．因
此，通过求定点坐标，找出口与c的关系。
也是解决离心率问题的有效途径之一．
例4(2012年浙江卷理科第8题)
已知，I，，2分别是双曲线c：吾一吾=1
(口，b>0)的左、右焦点，B是虚轴的端点。
直线FIB与C的两条渐近线分别交于P．
Q两点，线段用的垂直平分线与石轴交
于点麒若IMF2J-lEF2I，则c的离心率
是．
，，。必
渡
7弋＼；
圈3
解析：如图3，易得fOBl=b，IOF,I=c．
所以||}胪鱼，l|}胪一旦．．
直线PQ的方程为，，：鱼(并+c)，两条
渐近线的方程为辟鱼氩由
a
得Qf旦，旦1；由
＼C-aC—ai
b，．、)，2～L并+c)，
C
b’，=一茹
n
P(署，兰C1I．可叫害b，针b所以＼C+口+o＼‘／
直线删的方程妒等一詈卜害)
令产喊庐乏又lJIfRl-IFlRl=2c，
所姚～』C2--矿，解之得e2=吾=寻，即
、／6e=一．
2
评注：这道题也是由直线的方程、中
点坐标公式、双由线的性质等基础知识，。
直接求出定点M的坐标．再结合题目条
件列出口与c的奇次式．从而求出离心率j
(翁有界法——利用有界性求
e的范围
圆锥曲线具有有界性．点P(x。，yo)
为椭圆要+丢=1(础>o)上任意一点，F
aY6‘
为其中一个焦点．则椭圆中主要包含两
类有界性问题：一类为一口≤粕≤8，-b≤
yo<一b；另一类为州≤IPFla+c．类似
地，在双曲线等一等=1中，有粕≤一口或旷
D。
XO≥口及JPFla---c等不等关系．这些关
系．可以作为解决圆锥曲线离心率的重
要方法．
倒5(2010年四川卷理科第9题)
已知椭圆要+￡=1(D6>o)的右焦点为12I旷
D—
F。其右准线与省轴交于A点。在椭圆上存
在点尸满足线段AJP的垂直平分线过点F．则椭圆的离心率的范围为一
，，。L
P，．
／，渊V．
弋7夕Al；
解析1：如图4，设P(‰，yo)，由圆锥曲线的统一定义得{型牟：盟：三，
I明l兰叫。口’
所以IPFl铷叫粕．由IPFI=IAFI得口一
e菇庐!叶，]b手xo=a(ac-a2+c2)一．由川≤戈《口即—口≤_a(ac-a2+c2)<口，解得上≤e<1．
c22
解析2：由题意IPFI：IAFI：!吖且
口—c<』PFI<。a-I-。可得a-c<兰-c≤。+c．
C
求得!≤e<1．
2
评注：例5从两种不同的角度建立
了不等关系．而解题时不仅要注意这些
基本不等关系的使用．也要注意特殊情
况下等号是否能取得．例4中点腻取不
到右顶点．这也成为学生失误的主要方
面。当然。通过构造三角形。应用余弦定
理．利用三角函数的有界性等其他一些
方法也可以解决．
@j。方程法——利用方程思想
求e
例6(2010年辽宁卷理科第20题)
设椭圆c：吾+吾=1(口>6>o)的右焦点为
F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两
点，直线z的倾斜角为60。，刑毫2赢，求椭
圆C的离心率．
y。
。／，。叫．弋
勿j
圈5
解析：如图5，设A，B的坐标分剐为
(茗。，Y1)，(石：，y2)，结合刑已2商，直线z的倾
斜角为60。，可知”0，直线Z的方程
f产、／丁(算_c)，
为)，2订(纠)，联立k￡：1
I∥b2
可得(3a％b2)^2、／了bYy一3b4=0，
鲤攫x／3b2(c+2口)解的l=一—铲舻
—X／3ibFZ(2a-c)．又捷2商，所以功：—瓦矿‘M忙刖∞’”Ⅲ功2
轨，解得e=三=善．
评注：对于这类“硬算型”问题．应
紧扣题目的已知条件，找准出发点。构
造方程或方程组，层层递进，步步为营．
例6就是紧紧围绕计算A。曰的横、纵坐标
展开的．此类题目思路非常清晰．计算
过程较为复杂，但设计十分精巧，能够
应用方程思想解决．是一道考查学生基
本能力的好题．
◇数形结合法——通过数形
结合求e
倒7(2012年四川卷文科第15题)
(下转第49页)
47
得
L．石
茹k。』口
=
=
y
y
万方数据
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所以二!二迎0，进而得到此时啦不+．．·+卦-．
22存在，于是得到结论二生孑三<阻<
22为21n2Ix2<—x3+—l_+
m≠0．综合①②竿弛
—-1+V—3-．利用题目条件传递不等关
2-。凡一1。，Ⅱ=(·一i1)+({一了1)+…+
-Ea4#0．系也是我们常用手段之二一·一
(2)当a2=0时，由nld三+蚴一a2=O，知(击一挣，÷-，
口届=0．X．al>0，所以a,---O．⑨翔用常见结论进行传递
(3)"-3o．2<0时，由ata：+a弛-a2--O，知倒4已知数列{b。}的通项公式所以当凡≥2时，都有谚>2(鲁+了d3+
A=暖1‰啦=(砚+4口1)口2．
因为矾+oa+a3--0，所以aI蜘乒吨，6。铆2，设d^：1
1l
、／6-、／62Vb．…+封
Y．-a3<0，所r2ai+a2>O，(nEN+)，
所]-z4as+a2=(aI+口2)+3口I>3aI>o．
R-a22(手+亨+点评：本题将先将出表示成2(鲁+
0，所以此时m不存在．
…+鱼1．(改编自高三考试题)鲁+…+：})一(磐1-圭··，≥)+1tb"J情综合(1)(2)(3)知半<啦<
一l+、／了解析：由6。=矿，知d^=¨21I：I况．然后将1
I
l
Il中的每一项土
’
2232／7,2k2
2土．所以吐I-如I．上，d，l+站I-2d，I-土(n≥(2≤后≤n)放大为而1，于是将去+
点评：本题由条件口I+啦峋=09cal>
a2>as传递得到吻<0和口l>0，然后对口2进行2)，所以磷毽，：2尘一三．上+…+土放大为1-!．再将1一上放大
讨论，其中当az>O-ga4#O，将式-T-al口i=32／92，l’n啦嘲变形为嘞=华，再利用口l>啦得
由(鹰《-)+(《tq乙)+…(鹰瑙)2
为1。最后利用两个常见结论土k2<噶2(害·害··鲁)一(壶+jli+…+丢i)，
到华>砚，从而得到m的部分取值范!和1一!
噶所以砖=2(害·字··以／7,)一(去+歹1(k-1)kn
围．当啦
(上接第47页J
已知椭圆≤+￡：1(口为定值，且D>矿
5
’4
、／了)的左焦点为F。直线茗=m与椭圆相
交于点A，B，AFAB的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是一
y．Lm
仁习A》．
≮岁／二B
圈6
解析：如图6．可设椭圆的右焦点为
F’，连接F’A，F’曰，则AFAB的周长Z=
lE4I+l，曰I+IA曰I≤IFAI+I，曰I+lF’Al+
lF’Bl=4a=12(当且仅当A，F’，麒线时“=”
1
成立)．此时a=3。则离心率e=三．
倒8(2008年江西卷理科第7题)
已知只，既是椭圆的两个焦点．满足砀寸．础的点M总在椭圆内部，则椭圆的离
心率的取值范围是——一
yJ
日1仍永。．
迅4．幺；
图7
解析：因为丽寸．丽才=0，结合图7，
点』If的轨迹是以E最为直径的圃且内含
于椭圆。由图易得b>c，l￡ltbZ-_a2．．c2>c2，解
得№
2
评注：例7通过构造AF''AB，利用两
边之和大于或等于第三边这个性质．从
而求出口的值．进而确定e．该题综合性
较强。有一定的难度．例8这道题从丽亓．
丽露匈入手，构造以Fl尼为直径的圆，建
立相应关系进而求解．以上两题．应用
数形结合。列出所需关系。化繁为简，变
难为易．达到了事半功倍的效果．
高考试题中圆锥曲线离心率问题．
是一类既常见又有一定综合性的题目．
该类题目涉及面广．题目条件又具多样
性，如何根据图形与条件，找出关系。寻
求规律。要求学生对知识的广阔性、系统
性有深刻的理解．要求学生具备扎实的
基本功和较好的数学素养．这需要数学
教师在教学中想方设法、千方百计启迪
学生的思维。开发学生的潜能。提升学生
的能力。从而全面提高学生的综合素质．
这才是新课程改革所期望的．也是我们
每个数学教育工作者的不懈追求．
万方数据
高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析
作者：朱建波
作者单位：江苏沛县中学221600
刊名：数学教学通讯
英文刊名：SHUXUEJIAOXUETONGXUN
年，卷(期)：2013(24)
引用本文格式：朱建波高考试题中圆锥曲线的离心率解法剖析[期刊论文]-数学教学通讯2013(24)
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