高考数学巧遇拉格朗日中值定理_杨文萍

数学教学通讯（教师版）投稿邮箱：[e-mail]数学教学通讯（教师版）投稿邮箱试题研究>知识延伸

高考数学巧遇拉格朗日中值定理

杨文萍陈铿

华南师范大学数学科学学院510631华南师范大学教育科学学院510631

摘要：高中数学新课程新增加了近、现代数学思想，这为中学传统的数学内容注入了活力，也为解决一些

初等数学问题的方法提供了更多的选择.尤其在近几年的高考中，出现了以拉格朗日定理为背景

的试题.本文并非想要用拉格朗日中值定理结论来解决高考题，因为前人已经做的够多了，在此本

文是试图探索运用拉格朗日中值定理的思想来解决高考题，体现的是高观点下的初等数学.

关键词：拉格朗日中值定理；高考题；不等式

襛

拉格朗日中值定理及其证明

拉格朗日中值定理，若函数f满足如

下条件:

（Ⅰ）f在闭区间［a，b］上连续;

（Ⅱ）f在开区间（a，b）内可导;

则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得

f′（ξ）=

f（b）－f（a）

b－a

.

证明：设k=

f（b）－f（a）

b－a

圯f（b）－f（a）－

k（b－a）=0.

构造辅助函数g（x）=f（x）－f（a）－k（x－

a），则g′（x）=f′（x）－k.

由于g（x）在［a，b］连续，在（a，b）可

导，g（a）=g（b）=0.

根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b）使

g′（ξ）=f′（ξ）－k=0，

即f′（ξ）=k=

f（b）－f（a）

b－a

，定理得证.

襛

例解拉格朗日中值定理思

想在高考题的运用

例1（2004年四川卷第22题）

已知函数f（x）=ln（1+x）－x，g（x）=

xlnx.

（I）求函数f（x）的最大值;

（II）设0
2g

a+b

2

∈∈

<（b－a）ln2.

解：（Ⅰ）略；

（Ⅱ）证%先考虑要证的不等式0<

g（a）+g（b）－2g

a+b

2

∈∈

.

由题意可知g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+

1，构造函数G（x）=g（a）+g（x）－2g

a+x

2

∈∈

（1）.

在（1）式中由于x是自变量，则相对

来说a是一个固定的数，

对函数G（x）两边求导，则有G′（x）=

g′（x）－2g

a+x

2

∈∈∈∈

′.

由于g（x）=xlnx，g′（x）=lnx+1，

则G′（x）=lnx+1－2

1

2

ln

a+x

2

+

1

2

∈∈

=

lnx－ln

a+x

2

.

当0
（0，a）内为减函数.

当x>a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，

+∞）上为增函数.

从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.

因此G（a）=0，由于b>a，所以G（b）>

0，即0
a+b

2

∈∈

.

设F（x）=G（x）－（x－a）ln2，则F′（x）=

lnx－ln

a+x

2

－ln2=lnx－ln（a+x）.

当x>0时，F′（x）<0，因此F（x）在（0，+

∞）上为减函数.

因为F（a）=0，b>a，所以F（b）<0，即

g（a）+g（b）－2g

a+b

2

∈∈

<（b－a）ln2.

综上，0
a+b

2

∈∈

<（b－

a）ln2.

分析：这是应用拉格朗日中值定理

思想的一个例子（以下的例题将省略此

部分的分析），根据上述证明我们可以

看到，g（x）可导，且据观察就可以看出原

题可以换成

%g（a）+g（b）－2g

a+b

2

∈∈

=g（b）－

g

a+b

2

∈∈

－g

a+b

2

∈∈

-g（a

∈∈

）

再进一步变形g（a）+g（b）－2g

a+b

2

∈∈

=

b－a

2

×

g（b）－g

a+b

2

∈∈

－g

a+b

2

∈∈

-g（a

∈∈

）

b－a

2

此式中具有拉格朗日中值定理的

形式，且在此式中有两个参数a和b，于是

选定一个主元b，并构造出主元b的函数

“G（b）=g（a）+g（b）－2g

a+b

2

∈∈

”，把函数

化成我们所熟悉的以x为自变量的函数

“G（x）=g（a）+g（x）－2g（

a+x

2

）”，再对构造函数

进行求导“G′（x）=g′（x）－2g

a+x

2

∈∈∈∈

′”，

这个求导过程便是进一步靠近拉格朗

教

师

版

￡

62

数学教学通讯（教师版）投稿邮箱：[e-mail]数学教学通讯（教师版）投稿邮箱

a

n+1

－（n+1）

a

n

－n

=

n+1

n－1

，

a

n

－n

a

n-1

－（n－1）

=

n

n－2

，……，

a

3

－3

a

2

－2

=

3

1

，

可得

a

n

－n

a

2

－2

=

n（n－1）

2

，

a

n

－n

4

=

n（n－1）

2

（n≥2）圯a

n

=2n

2

－n（n≥2）.经检

a

1

=1也适合，故a

n

=2n

2

－n.

点评：解法4，5显示了两种不同的

构造方法，目的均为转化为

a

n

a

n-1

=g（n）

（n≥2）型，而对式子的不同整理，导致

构建的难度相差很大.

襛

角度四、差分法

解析五：%（n－1）a

n+1

=（n+1）a

n

－（n+1）

（n≥2）①，

na

n+2

=（n+2）a

n+1

－（n+2）②，

②－①得%（2n+1）a

n+1

－na

n+2

－（n+1）a

n

=

1③，

于是（2n+3）a

n+2

－（n+1）a

n+3

－（n+2）·

a

n+1

=1④.

④－③得（3n+3）a

n+1

－（3n+3）a

n+2

+

（n+1）a

n+3

－（n+1）a

n

=0

圯a

n+3

－3a

n+2

+3a

n+1

－a

n

=0（n≥2）

圯a

n+3

－2a

n+2

+a

n

=a

n+2

－2a

n+1

+a

n

=…=a

4

－

2a

3

+a

2

=4

a

n+2

－2a

n+1

+a

n

=4圯a

n+2

－a

n+1

=a

n+1

－a

n

+4，

a

n+1

－a

n

=（a

2

－a

1

）+4（n－1）=4n+1，下同

解析1（略），得a

n

=2n

2

－n.

点评：应该说此法在几种解法中相

对较好，但仍然需要很强的观察能力.

一般地，对与变系数的递推关系式数列

通项的求解无一般性的解法，需要解题

者多角度、多方位的思考.也正为此，此

类问题在高考，尤其在数学竞赛中屡屡

出现.

一道平凡习题竟有不同的思考角

度，引导学生把握知识结构脉络，融会

贯通，可以学生的增强信心，减轻其负

担.本题是高三研究性复习的一个范

例，不敢说每一道习题都能从不同章节

中产生不同的解法，但至少可以从函

数、三角、向量、解析法、几何模型等几

个方面进行充分考虑.本题的探究工

作建立在普遍联系的世界观基础上，展

示了数学世界的多样性和统一性.这

些方法，无论简单或复杂、奇异或平淡、

流畅或做作、不失一般性或拘于一隅，

因小见大或小题大做，殊途同归或同源

异路，给人的世界观教益远远高于问题

本身.

（上接第57页）

试题研究>知识延伸

日中值定理表达式的形式的方法.再通

过函数G（x）的求导得出函数G（x）本身

的性质:

“当0
（0，a）内为减函数.

当x>a时，G′（x）>0，因此G（x）在（a，

+∞）上为增函数.

从而，当x=a时，G（x）有极小值G（a）.”

最终通过函数G（x）得出原不等式

“0
a+b

2

22

”.此题解题的

思想本质上是运用拉格朗日中值定理

的思想.

评价：从题目问题中看，未能看到

f（x）和g（x）的联系，两个小题没有本质

上的联系，第（Ⅰ）题只是用到f（x）而没

有用g（x），而第（Ⅱ）题不需要第（Ⅰ）题

的结果也可以单独解出.参考答案中要

联系第（Ⅰ）题中的ln（1+x）－x<0（x>－1，

且x≠0）才能求解第（Ⅱ）题，学生会较难

想到要运用第一小题的结论，而且解第

（Ⅰ）题需要花较多的时间，这使得有限

的时间变得更少，这样，对于学生来说

是一个挑战.若运用拉格朗日中值定理

不仅可以不用考虑第（Ⅰ）题的结论，而

且可以运用拉格朗日中值定理较快接

近证明的结果，不需要太多技巧，经过

适当的步骤，就可以轻松的得到结论.

%可以运用拉格朗日中值定理来解

决问题的高考题有：（在这里不一一具

体解答）

1.（2006年四川卷理第22题）

已知函数f（x）=x

2

+

2

x

+alnx（x>0），

f（x）的导函数是f′（x），对任意两个不相

等的正数x

1

，x

2

，证明:

（Ⅰ）当a≤0时，

f（x

1

）+f（x

2

）

2

>f

x

1

+x

2

2

22.

2.（2007年高考全国卷Ⅰ第20题）

设函数f（x）=e

x

－e

-x

．%

（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，

求a的取值范围．

3.（2007年安徽卷18题）

设a≥0，f（x）=x－1－ln

2

x+2alnx（x>0）.

（Ⅱ）求证:当x>1时，恒有x>ln

2

x－

2alnx+1.

4.（2009年辽宁卷理21题）

已知函数f（x）=

1

2

x

2

－ax+（a－1）lnx，

a>1.

（Ⅱ）证明%若a<5，则对任意x

1

，x

2

∈

（0，+∞），x

1

≠x

2

，有

f（x

1

）-f（x

2

）

x

1

-x

2

>－1.

5.（2010全国卷Ⅰ第20题）

已知函数f（x）=（x+1）lnx－x+1.

（Ⅱ）证明:（x－1）f（x）≥0.

襛

总结

从以上的分析中，我们可以看到拉

格朗日中值定理的种种好处.首先，可

以化简繁琐的计算；其次，可以省略很

多复杂的区间单调性讨论和参数的取

值讨论的问题，避免思维的局限性；最

后，运用拉格朗日中值定理的思想可以

使思路更为清晰、自然，体现了高观点

解题的优越性.更为重要的是让读者知

道解题的来龙去脉，之所以然，领会到

学习数学并不是记忆简单的公式和定

理，生搬硬套公式和定理.学习定理既

要掌握定理本身的内容，更要真正掌握

定理的本质，内化定理的思想方法及其

对以后解题思路的灵活性，达到融会贯

通，举一反三的效果.拉格朗日中值定

理是大学数学的一个重要定理，把这

些定理与中学数学的知识联系起来，这

样不仅可以使我们加深对现代数学的

理解，而且能使我们更好的把握中学数

学的本质和关键，从而可以居高临下的

处理问题（拉格朗日中值定理在中学数

学中的运用）.

63