2014年第6期河北理科教学研究问题讨论
高考圆锥曲线六类热点问题的简便解法
甘肃省兰州市第四十五中学宋波730070
圆锥曲线是高中数学的主干知识，是高
考的重点和热点，但解题时一般由于运算量
大，过程复杂，使学生望而生畏，是学生学习
的难点．笔者在教学实践中发现，以下有关圆
锥曲线的六组结论不仅结构优美，便于记忆，
而且在解决相应的六类热点问题时，解法简
捷，计算量小，优化了计算过程，降低了思维
难度，有利于培养学生的解题能力．
结论一
1．经过横向型圆锥曲线的焦点F作倾
斜角为口的直线，交圆锥曲线于A、B两点，
若离心率是e，焦点到相应准线的距离为P，则焦半径rl,2=T-r南，焦点弦长
，''^一¨引=rl+r23丌j‰·
2．经过纵向型圆锥曲线的焦点F作倾
斜角为口的直线，交圆锥曲线于A、曰两点，
若离心率是e，焦点到相应准线的距离为P，
则焦半径／''1,2=rri生丽T，焦点弦长IA引一·+r：=丌j‰·
例I(2008年全国卷Ⅱ理)已知F为
抛物线c：y2=4x的焦点，过F且斜率为1
的直线交C于A，B两点，设IFAl>IFBI，
则IFAl与IFBI的比值等于．
解：因为e=1，||}=tan0=1，即口=
=3+242．
例2(2010年全国卷Ⅱ)已知椭圆C：
《+％2：1(Ⅱ>b>o)的离心率为辱，过与+％=1(Ⅱ>>o)的离心率为等，过
oo二
右焦点F且斜率为|j}(后>0)的直线与c交
于A，B两点，若石：3一FB，求后的值．
解：因为I—AFI：3I—FBI所以寺=鲁，解得c枷=弩，
1一弩cosa1+譬cos臼3
则||}：tan0：压．
例3(2010年辽宁理)已知椭圆c：与
+告=1(口>b>o)的右焦点为F，过点F
的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线Z的
倾斜角为60。石：2面．(I)求椭圆C的
离心率；(Ⅱ)如果lABI：萼，求椭圆c的
方程．
解：(I)因为I—AFl_2I面l所以
r_ep—而=—_2epleCOs601ecos60，解得e=兰3．一。一‘’，lrr●q5一
。
(Ⅱ)由(I)知e=詈=了2，则孑C2=可4，
得c2=可4n2，所以62=82一c2=可5n2，又
旦堡45。’所以涮=11-cos45。=丽1+coM5。I圳=忐=南=等
—1+c—os45。1一可×百
·23·
万方数据
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=百5a=萼，得口=3，62=吾口2=5，故椭
圆C的方程为等十号=1．
例4(2007年全国)F。，F：是椭圆鲁+
岳=1的左右焦点，过F。，F：作两条互相垂
直的直线分别与椭圆相交于D，B和A，C，
求四边形ABCD面积的最小值．
解：因为口：历，b：压，c：1，e：等，
印=等=学，设直线D启的倾斜角为目，又
AC上BD，则直线AC的倾斜角为日±90。，所
以四边形A曰cD面积．s=i1DB|IACI=L2忐1
S2·F1e纛2辆90=一e2co目一cos2(口±o)一
兰堡一兰兰一
(3一c082口)(3一siIl2日)一6+sinzOcos2口一
解：由口2：3，b2=1，得c=2．由MFl·
MF：=0，得么F。MF：=90。．由面积相等得
{IMFlI．I肘F2sin90。=b2cot45。,所以
lMFlI．IMF2I=2．
设点M到戈轴的距离为d，又由面积相
等得IMFlI．IMF2I=IFlF2卜d，所以d
一三一』—‘4—。2‘
例6已知P是椭圆等+号=1_121拘一
点，F。、F：是该椭圆的两个焦点，若
／xpFlF2的内切圆半径为寺，求PFl·PF2的
值．
解：设内切圆圆心为0，，A、B、C分别
为PFl、PF：、F。F2上的切点，则IPAI=
I朋I：卫生盟罢斗』型d：l，
乏再_96。i：两，所以当sin2日=±1时，s取最小又lOiAI：吉，则tan么OlPA：耳箸
值，s曲=薹．
结论二
1．点P在椭圆≥+寺=1或紊+寺=
1上，F，、F2是椭圆两焦点，么FlPF2=臼，则
s△F。P，2=62t锄虿0．
2．点P在双曲线≥2一寺2=1或》2一寺2
●●
=1上，F。、F2是双曲线两焦点，么F。PF：=
洲osqP，2=b2cot导．
例5已知双曲线寺一Y2=1的焦点为
F。、F：，点M在双曲线上且面．M—F2：0，
求点M到菇轴的距离．
=虿1，所以tan／F1阿2=tan2么01PA=
号，所以，si碰F，PF：=,cos么F。PF：=
35．由面积相等得iII胛。I．IPF：I
sin么FlPF2=b2tan么0IPA，所以IPFl|．
I阿2I：百15，所以一PFI·一PF2：I两I
I—PF2c。s么F。朋：=萼·吾=罟．
结论三
一般地，一个圆锥曲线的一般方程为
Ax2+Bxy+cy2+Dx+研+F=0，点
肘(菇。，yo)在曲线内部，则以点M为中点的
弦所在的直线方程为A菇。茗+B堑旦}塑+
万方数据
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cr。y+D兰里弓二_兰+E!生弓二!=Axj+B菇。y。
+qj+D菇。+Ey。(对于双曲线的中点弦不
存在的情况除外)，特别地：
1．椭圆与+告=1内任意一点P(石。，
yo)(非原点)，则以P(石。，Y。)为中点的弦所
在的直线方程为等+铲=挚+罄．
2．双曲线与一告：I，若P(菇。，yo)满口D
足等一yl20>1或1XO—y，20
，，。)为中点的弦所在的直线方程为等一
22
yoy—．．．X．．—O—yo
b2一口2—62。
3．抛物线Y2=2px内任意一点P(戈。，
Y。)，则以P(af,。，，，。)为中点的弦所在的直线
方程为yo)，一px=y：一pxo．
说明：(1)对于焦点在其他坐标轴的圆
锥曲线的标准方程也有类似的结论．
(2)当Y。=0时，以P(算。，Y。)为中点的
弦所在的直线方程石=髫。，也适合上述
三式．
例7(2003年全国)已知双曲线中心在
原点，且一个焦点为F忻，o)，直线Y=x一
1与其相交于肘、Ⅳ两点，MN中点的横坐标
为一号，则此双曲线的方程是()
A．号一々=1B．-戈T一号=1
c．詈一号=1D．专一号=1
解：因为MN的中点为(一鲁，一昔)，所
，)气
以(一了2，一号)为中点的弦所在的直线方程
为孚一丁-5-y：享一享测后：荔：n0Ⅱ0]o
1，得262：5口2，又a2+b2=7，解得口2=2，
b2=5，所以双曲线的方程为等一专=1．
故选D．
例8(2010年课标全国理)已知双曲线
E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F
的直线Z与E相交于A、B两点，且AB的中点
为iv(一12，一15)，求E的方程．
解：以(一12，一15)为中点的弦所在的
直线方程为二毕一二乒：訾一警，所aD口D以后=等，又由已知易得五=端
=1，贝Ⅱ462=5口2，又口2+b2=9，解得口2：
4，b2=5，所以E的方程为等一等=1．
例9(2010年山东文)已知抛物线’，2
=2p茗(P>o)，过其焦点且斜率为1的直线
交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的
纵坐标为2，求该抛物线的准线方程．
解：以(髫。，2)为中点的弦所在的直线方
程为2y—px=4一pxo，又k=告=1，得
P=2，所以抛物线的准线方程为戈：一等
=一1．
结论四
—般地，一个圆锥曲线的一般方程为
A算2十Bxy+叮2+Dx+量，，+F=o，过曲
线上点M(戈。，y。)作曲线的切线，则切线方
程为Az。石+B塑等塑+Cy。)，+
D!譬兰+E坦#+F：o，特别地：
1．椭圆x+告=1上任意一点P(菇o，"D
-25·
万方数据
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Y。)，则以P(戈。，Y。)为切点的切线方程为
掣+辔：1．
2．双曲线与一告=1上任意一点
口D
尸(茗。，Y。)，则以P(菇。，yo)为切点的切线方
程为等一警：1．
oD
3．抛物线Y2=2px上任意一点P(戈o，
Y。)，则以P(戈。，Y。)为切点的切线方程为
yoY2px+pXo·
说明：1．对于焦点在其他坐标轴的圆锥
曲线的标准方程也有类似的结论．
2．当Yo=0时，以P(髫。，y。)为切点的
切线方程石=戈。，也适合上述三式．
例10求过抛物线y2=4x上一点
M(1，2)的切线方程．
解：根据结论四可得切线方程为2y=
2戈+2×1，即戈一Y+1=0．
例11已知过椭圆毛+告：1上一点
P(1，鲁)的切线方程为艽十2y一4=o，求该
椭圆方程．
解：因为过点P(1，要)的切线方程为{
3i
V
+分=1，化简得262戈+3a2)，一2a262=
o，又切线为髫+2y一4=o，则有竿=萼
：垫芋，解得2：4，6：：3．所以椭圆方
程为等+号=1．
结论五
1．点P(算o，Yo)关于直线z：A菇+研+
C=0的对称点为q(x。一
·26·
兰垒!生兰!±!叠±g!圣里!垒兰!±!筮±竺!、——刁了官一’yo一——牙了存一几
2．曲线C：F(算，y)=0关于直线1：Ax
+8y+C=0对称的曲线C7的方程为F(x
2A(Ax十By+C)2B(Ax十B!+C)、一——矿了r’Y一——万了r
7
=0．
例12(2007年上海)圆戈2+Y2—2x一
1=0关于直线2x一)，+3=0对称的圆的
方程为——．
解：将圆的方程化为标准方程得(菇一
1)2+y2=2，得圆心C(1，0)，半径r=在．
易知所求圆的圆心C7与C(1，0)关于直线
2x—Y+3=0对称，而半径不变．由结论得
c，(1一丝筝等导必，o一
丝上马4净导旦趔)：(一3，2)，半22+(一1)27一、。’‘7’。
径r：压，故所求圆的方程为(算+3)2+(Y
一2)2=2，即戈2+Y2+6x一4y+11=0．
例13(2006年复旦大学自主招生)已
知曲线c：鲁+Y2=1，曲线c关于直线)，=
2x对称的曲线为曲线C7，曲线C7与曲线∥
关于直线y=一虿1戈+5对称，求曲线c7，∥
的方程．
解：由结论得c，：丢(菇一丛堑f立)2+(y一二丛掣)z：1，整理得C，：73戈2+
72xy+52y2=100．同理，C’关于直线茗+
2y一10=0的对称曲线6"：73(x一堑掣)z十72(省一堑掣)(y
一业掣)+52(y一业掣)2
：100，即∥：菇2+4，，2—16x一64y+268=0．
万方数据
高考圆锥曲线六类热点问题的简便解法
作者：宋波
作者单位：甘肃省兰州市第四十五中学730070
刊名：河北理科教学研究
英文刊名：HEBEILIKEJIAOXUEYANJIU
年，卷(期)：2014(6)
引用本文格式：宋波高考圆锥曲线六类热点问题的简便解法[期刊论文]-河北理科教学研究2014(6)
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