关于12xx?不等式的新题型
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[写在前面]
曾经,关于条件????12fxfx?比较12xx?与2倍极值点大小关系的题型红极一时,解
法从最初的构造对称函数,到应用不等式,将参数a用12,xx表示并回代找到12,xx的关系等等,
都很巧妙.直到2014辽宁理数压轴问世,众人不得不惊呼,原来构造对称函数才是通解.笔者
对于此新题型的解法探究也经历了类似的曲折,现以题会友,还原这一探究过程.希望能引起
大家对此类试题思考的共鸣.
[方法引入例]函数??lnfxxx?满足????1212,0.fxfxxx???证明:
1221.xxe???
分析:左边是典型的12xx?与2倍极值点大小关系的证明题,不做赘述.右边便是笔者所谓的
新题型.通过作图可以发现:极值点
01xe?
左侧函数变化率大于
0x右侧.可知当m增大时,有12xx?增大,即从2e直至趋近于1.
图形是直观的,可又如何严谨表达呢?江苏无锡老师王举给出过
一种思路:构造11
22yx???
.作出草图可
得13
2412
34
1
1
xx
xxxx
xx
???
??????
???
很精巧的构造
[例题一]函数??2lnfxxx?满足????1212,0.fxfxxx???证明:121.xx??
分析:同样的思路,构造??1
2Gxkxb???
其经过??????001,0,,xfx其中0x是??fx的极
值点.
??
??0
0
00
021
.1
22
kfxbk
x
kkxbfxb
?????
?????
??????
?????????
??
考虑证明:????????????0
0
,0,
,,1
fxGxxx
fxGxxx
?????
????
①
②
当
01,2xx???????
时,??fx单调减,??Gx单调增且????00fxGx?,故????fxGx?
那么①只需证明211lnln,0,
22xxkxbxxkx???????????????????
注意到
1
2
11ln2,
21
xxkee
ee?
?????????
?????
故1ln,0,
2xxkx?????????
得证
对于②的证明????22
0lnln,,11xxxxkxkkxxx???????
构造????????
??202ln2ln1ln,,1,11xxxxxxxhxxxhxxx?????????
再令????????
02212ln2ln1,,1,ln2,0xxxxxxxxxxxxx?????????????????
可知??x??单调增,有??????10xx????????单调减,有????10x????
????0hxhx????单调增,故????0hxhxk??即??成立
当笔者以为找到了通解的时候,在下一题却遇到了困难.
[例题二]函数??2lnfxxxxx???满足????1212,0.fxfxxx???证明:121.xx??
分析:依然构造??1
2Gxkxb???
且??????
00
10G
Gxfx
????
???
其中0x为??fx极值点.
考虑证明????????????0
0
,0,.
,,1
fxGxxx
fxGxxx
?????
????
①
②
在笔者尝试证明②的过程中,导出了矛盾.究其原因前
我们先作出草图.从图像中发现②本身就不成立.细想其实也难怪
如此.例题一能成功的原因是其中??fx的凹凸性都刚好为
????,fxGx大小提供了方便,即成功是偶然.于是进行反思,考虑到
??Gx是个具有以12x?为对称轴的函数,借由??Gx架接起了
12,xx与1大小关系的桥梁.由于此处??fx下凸(0x右侧),欲使
??fx图像在??Gx上方,考虑用同样下凸的二次函数212ykxb?????????来构造??Gx以平
衡两例的差异,使②有成立的可能.具体证明之后是可行的.这一部分就留给读者自行完成.
回首再看,心有存疑,以二次函数代替线性函数后,②易证,但①从成立的可能性又受到了
抑制.似乎离通解被寻求的一刻还很遥远.仔细思考之下发现其实不然.但鉴于感性认识用言
语表达可能失真,也为了避免影响大家思考,此处亦不作详述.
最后,笔者对上述解法进行了再包装.现以一例示范,证明显得十分简洁.
[例题三]函数??2ln,2,0rfxxxaxaxra?????满足????1212,0.fxfxxx??
证明:121.xx??
证:????11ln2rfxxxaxa??????
注意到????00,110ffa?????????由零点定理可知存在??00,1x?使得??00fx??
令??????
22ln0,0,1
rfxxxHxaxxxxx???????
????????2212ln1lnrxxrxxrxHxxx????????????
再令????????12ln1ln,0,1gxxrxxrxx???????
??2210rrgxxx???????可知??gx?单调增,有??????10gxggx?????单调减
??????100gxgHx??????故有??Hx单调增
即有??????????????
??????????????
210101011
220202022
0,0,1,
,10,1,
xxHxHxfxHxxx
xxHxHxfxHxxx
?????????
????????
????????????2202221011HxxxfxfxHxxx??????
????222211211212101xxxxxxxxxx????????????得证.
注:笔者以为,以上内容已涵盖了当前所能接触到的此类试题的所有考法、证法.若诸君细
细品读,会发现此言不虚.
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