Gothedistance
重庆南开中学高2016级高三（上）12月月考
数学试题（理科）
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120
分钟。
第I卷（选择题共60分）
一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1、已知集合??21110,24,
2xMxxNxxZ??????????????
，则MN?（）
A、??1B、??1,0?C、??1,0,1?D、?
2、抛物线24yx?的焦点到准线的距离为（）
A、14B、12C、2D、4
3、已知命题:p对任意xR?，有cos1x?，则（）
A、:p?存在xR?，使cos1x?B、:p?对任意xR?，有cos1x?
C、:p?存在xR?，使cos1x?D、:p?对任意xR?，有cos1x?
4、若??2,1P为圆??22125xy???的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）
A、10xy???B、230xy???
C、30xy???D、250xy???
5、等比数列??na的前n项和为nS，且1234,2,aaa成等差数列，若11a?，则4S?（）
A、7B、8C、15D、16
6、已知函数??????sin20fxx???????，若将函数??yfx?的图像向左平移6?个单位
后所得图像对应的函数为偶函数，则实数??（）
A、56?B、23?C、3?D、6?
7、已知??,Pxy为区域2240
0yxxa???????
内的任意一点，当该区域的面积为2时，2zxy??的
最大值是（）
A、5B、0C、2D、22
8、已知抛物线C的顶点是椭圆22143xy??的中心，焦点与该椭圆的右焦点2F重合，若抛物
线C与该椭圆在第一象限的交点为P，椭圆的左焦点为1F，则1PF?（）
Gothedistance
A、2
3
B、7
3
C、5
3
D、2
9、已知函数??lntan0,
2fxx??????????????????
的导函数为??''fx，若使得????00''30fxfx??
成立的01x?，则实数?的取值范围为（）
A、,
62????????
B、0,
3???????
C、,
64????????
D、,
32????????
10、正三角形ABC内一点M满足,45CMmCAnCBMCA????，则m
n
的值为（）
A、31?B、31?C、312?D、312?
11、已知双曲线??22:1,0xyCabab???的左、右焦点分别为1F，2F，过2F的直线与双曲
线C的右支相交于,PQ两点，若1PQPF?，且1PFPQ?，则双曲线的离心率e?（）
A、21?B、221?C、522?D、522?
12、已知数列??na满足：
1263,3,9138nnnnnnaaaaa????????
，则2015a?（）
A、20153322?B、201538C、20153382?D、201532
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题卡相对应位置上。
13、已知向量????1,1,2,1axxb?????，若//ab，则实数x?。
14、若实数,xy满足0,0xy??，且440xy??，则lglgxy?的最大值为。
15、已知??sin2cosfxxx??，若函数????gxfxm??在??0,x??上有两个不同零点?、
?，则??cos????。
16、设点????1122,,,AxyBxy是椭圆2214xy??上两点，若过点,AB且斜率分别为12,
44xxyy
的
两直线交于点P，且直线OA与直线OB的斜率之积为14?，??6,0E，则PE的最小值
为。
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（本小题满分12分）
Gothedistance
设等差数列??na的前n项和为nS，3416aa??，763S?。
（1）求数列??na的通项公式；
（2）设数列1
1nn
aaa
?
??????的前n项和为nT，求证：12nT?。
18、（本小题满分12分）
在ABC?中，已知角A、B、C的对边分别为,,abc，且1tantan1
2coscosACAC??
。
（1）求B的大小；
（2）若212BABCb??，试判断ABC?的形状。
19、（本小题满分12分）
已知抛物线??2:20Cypxp??的焦点为??1,0F，抛物线2:2Expy?的焦点为M。
（1）若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点，求直线l的方程；
（2）若直线MF与抛物线C交于A、B两点，求OAB?的面积。
20、（本小题满分12分）
已知椭圆??22:10xyCabab????的离心率为12，左、右焦点分别是1F，2F，点P为椭圆
C上任意一点，且12PFF?面积最大值为3。
（1）求椭圆C的方程；
（2）过2F作垂直于x轴的直线l交椭圆于A、B两点（点A在第一象限），M、N是椭圆
上位于直线l两侧的动点，若MABNAB???，求证：直线MN的斜率为定值。
21、（本小题满分12分）
已知函数????,lnxfxegxxm???。
（1）当1m??时，求函数??????fxFxxgxx???在??0,??上的极值；
（2）若2m?，求证：当??0,x???时，????310fxgx??。
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（参考数据：ln20.693,ln31.099,ln51.609,ln71.946????）
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请
写清题号。
22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知ABC?中，,ABACD?为ABC?外接圆劣弧AC上的点（不与点A、
C重合），延长BDE至，延长ACBC交的延长线于F。
（1）求证：CDFEDF???；
（2）求证：ABACDFADFCFB?????。
23、（本小题满分10分）选修4-4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线
12cos:3sinxCy??????????
（?为参数），
2
8cos:23sinxCy???????
??
（?为参数）。
（1）将12,CC的方程化为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
（2）若1C上的点P对应的参数为2???，Q为2C上的动点，求PQ中点M到直线l：
cos33???????????的距离的最大值。
24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数??32fxx??。
（1）解不等式??41fxx???；
（2）已知??21,0mnmn???，若????1230xafxamn?????恒成立，求实数a的取值
范围。
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