2014-2015学年湖北省襄阳市八年级（上）期末数学试卷
一、选择（每题3分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．a（x﹣y）=ax﹣ayB．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
3．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）
A．8B．9C．10D．11
4．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣6x+9
5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）
A．3，4，5B．4，6，10C．1，1，3D．3，4，9
6．下列运算正确的有（）个
（1）a3?a2=a6；（2）（x3）3=x6；（3）x5+x5=x10；（4）（﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3；（5）3x3?（﹣2x2）=﹣6x5．
A．1B．2C．3D．4
8．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4D．∠C=90°，AB=6
10．已知A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空（每题3分）
13．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边的长为．
15．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为．
17．如图，从A处观测C处仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C外观测A、B两处时视角∠ACB=度．
19．在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠CAB=，∠CDB=．
21．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有种．
三、解答题
22．在△ABC中，BO、CO分别平分∠CBA、∠BCA，求证：∠COB=∠CAB+90°．
23．已知x2=3，求（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2的值．
24．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
25．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：
（2）在x轴上找一点P，使A1P+AP的和最小．
26．已知ab=2，a+b=﹣3，求a﹣b的值．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
29．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
31．如图，已知△ABC中AB=AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD，
①直接写出∠BDC与∠BAC之间的关系式；
②求证：△ABD为等腰三角形；
③当∠EBA的大小满足什么条件时，以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？
2014-2015学年湖北省襄阳市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择（每题3分）
1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．可直接得到答案．
解答：解：A、C、D都是轴对称图形，B不是，
故选：B．
点评：此题主要考查了轴对称图形定义，关键是找到对称轴．
2．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．a（x﹣y）=ax﹣ayB．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3D．x3﹣x=x（x+1）（x﹣1）
考点：因式分解的意义．
分析：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，结合选项进行判断即可．
解答：解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
B、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
C、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；
D、符合因式分解的定义，故本选项正确；
故选：D．
点评：本题考查了因式分解的意义，解答本题的关键是掌握因式分解后右边是整式积的形式．
3．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）
A．8B．9C．10D．11
考点：多边形的对角线．
分析：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．
解答：解：设多边形有n条边，
则n﹣2=8，
解得n=10．
故这个多边形的边数是10．
故选：C．
点评：考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．
4．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（）
A．x2+x+1B．x2+2x﹣1C．x2﹣1D．x2﹣6x+9
考点：因式分解-运用公式法．
分析：根据完全平方公式的特点：两项平方项的符号相同，另一项是两底数积的2倍，对各选项分析判断后利用排除法求解．
解答：解：A、x2+x+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故A错误；
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故B错误；
C、x2﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点，故C错误；
D、x2﹣6x+9=（x﹣3）2，故D正确．
故选：D．
点评：本题考查了用公式法进行因式分解，能用公式法进行因式分解的式子的特点需熟记．
5．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）
A．3，4，5B．4，6，10C．1，1，3D．3，4，9
考点：三角形三边关系．
分析：根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可．
解答：解：A、3+4＞5，能组成三角形，故此选项正确；
B、4+6=10，不能组成三角形，故此选项错误；
C、1+1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；
D、3+4＜9，不能组成三角形，故此选项错误；
故选：A．
点评：此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
6．下列运算正确的有（）个
（1）a3?a2=a6；（2）（x3）3=x6；（3）x5+x5=x10；（4）（﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3；（5）3x3?（﹣2x2）=﹣6x5．
A．1B．2C．3D．4
考点：整式的混合运算．
专题：计算题．
分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．
解答：解：（1）a3?a2=a5，错误；（2）（x3）3=x9，错误；（3）x5+x5=2x5，错误；（4）（﹣ab）5÷（﹣ab）2=﹣a3b3，正确；（5）3x3?（﹣2x2）=﹣6x5，正确，
故选B
点评：此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．根据下列已知条件，能唯一画出△ABC的是（）
A．AB=3，BC=4，AC=8B．AB=4，BC=3，∠A=30°
C．∠A=60°，∠B=45°，AB=4D．∠C=90°，AB=6
考点：全等三角形的判定．
专题：作图题；压轴题．
分析：要满足唯一画出△ABC，就要求选项给出的条件符合三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的图形不一样，也就是三角形不唯一，而各选项中只有C选项符合ASA，是满足题目要求的，于是答案可得．
解答：解：A、因为AB+BC＜AC，所以这三边不能构成三角形；
B、因为∠A不是已知两边的夹角，无法确定其他角的度数与边的长度；
C、已知两角可得到第三个角的度数，已知一边，则可以根据ASA来画一个三角形；
D、只有一个角和一个边无法根据此作出一个三角形．
故选C．
点评：此题主要考查了全等三角形的判定及三角形的作图方法等知识点；能画出唯一三角形的条件一定要满足三角形全等的判定方法，不符合判定方法的画出的三角形不确定，当然不唯一．
9．下列等式的变形一定成立的是（）
A．B．C．D．
考点：分式的基本性质．
分析：要解答本题，要知道分式的基本性质是分式的分子和分母同时乘以或除以同一个数或整式（除数不为0），分式的值不变．然后对各个被选答案进行计算就可以得出结论．
解答：解：A、本等式的变形是在分式的分子分母同时加上了一个数，没有按照分式的基本性质变形，所以此变形不成立．故本选项错误；
B、本等式的变形是原分式的分子、分母同时除以x+y≠0，是根据分式的基本性质变形的，所以此变形成立，故本选项正确；
C、本等式在变形时，分子分母乘以的数不相同，没有按照分式的基本性质变形，所以此变形不成立．故本选项错误；
D、当x﹣y≠0时，该等式的变形成立；故本选项错误；
故选B．
点评：本题考查了分式的基本性质，要解答本题，必须熟悉分式的基本性质．
10．已知A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），则下面四个结论：①A，B关于x轴对称；②A，B关于y轴对称；③A，B关于原点对称；④A，B之间的距离为4，其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
考点：关于原点对称的点的坐标；关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：关于横轴的对称点，横坐标相同，纵坐标变成相反数；关于纵轴的对称点，纵坐标相同，横坐标变成相反数；A，B两点的坐标分别是（﹣2，3）和（2，3），纵坐标相同，因而AB平行于x轴，A，B之间的距离为4．
解答：解：正确的是：②A，B关于y轴对称；④若A，B之间的距离为4．
故选B．
点评：本题考查的是如何利用点的坐标判断两点关于x轴，y轴是否对称．
11．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）
A．=B．=C．=D．=
考点：由实际问题抽象出分式方程．
分析：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解答：解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
=，
故选：A．
点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
二、填空（每题3分）
12．某种感冒病毒的直径是0.00000012米，用科学记数法表示为1.2×10﹣7米．
考点：科学记数法—表示较小的数．
专题：应用题．
分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
解答：解：0.00000012米=1.2×10﹣7米．
故答案为：1.2×10﹣7．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．
13．等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边的长为6，4或5，5．
考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．
分析：分腰长为6和底边为6，求出其另外两边，再利用三角形的三边关系进行验证即可．
解答：解：当腰为6时，则另两边长为6、4，此时三边满足三角形三边关系；
当底边为6时，则另两边长为5、5，此时三边满足三角形三边关系；
故答案为：6，4或5，5．
点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，解题的关键是能够分类讨论，难度不大．
14．计算：20130﹣2﹣1=．
考点：负整数指数幂；零指数幂．
分析：根据任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数进行计算即可得解．
解答：解：20130﹣2﹣1，
=1﹣，
=．
故答案为：．
点评：本题考查了任何数的零次幂等于1，负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数，是基础题，熟记两个性质是解题的关键．
15．如图，等腰△ABC的周长为21，底边BC=5，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，则△BEC的周长为13．
考点：线段垂直平分线的性质．
分析：由于△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，由此求出AC=AB=8，又DE是AB的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得到AE=BE，由此得到△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB，然后利用已知条件即可求出结果．
解答：解：∵△ABC是等腰三角形，底边BC=5，周长为21，
∴AC=AB=8，
又∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BEC的周长=BE+CE+CB=AE+CE+BC=AC+CB=13，
∴△BEC的周长为13．
点评：此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
16．分解因式：（a+2）（a﹣2）+3a=（a﹣1）（a+4）．
考点：因式分解-十字相乘法等．
分析：首先利用平方差公式计算，进而利用因式分解法分解因式即可．
解答：解：（a+2）（a﹣2）+3a
=a2+3a﹣4
=（a﹣1）（a+4）．
故答案为：（a﹣1）（a+4）．
点评：本题主要考查了整式的因式分解，在解题时要注意因式分解的方法和公式的应用是本题的关键．
17．如图，从A处观测C处仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°，从C外观测A、B两处时视角∠ACB=15度．
考点：三角形的外角性质．
分析：因为∠CBD是△ABC的外角，所以∠CBD=∠CAD+∠ACB，则∠ACB=∠CBD﹣∠ACB．
解答：解：方法1：∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD﹣∠ACB=45°﹣30°=15°．
方法2：由邻补角的定义可得
∠CBA=180°﹣∠CBD=180°﹣45°=135°．
∵∠CAD=30°，∠CBA=135°，
∴∠ACB=180°﹣∠CAD﹣∠CBA
=180°﹣30°﹣135°
=180°﹣165°
=15°．
点评：本题考查的是三角形外角与内角的关系，即三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
18．已知关于x的方程的解是正数，则m的取值范围是m＞﹣6且m≠﹣4．
考点：分式方程的解．
分析：首先求出关于x的方程的解，然后根据解是正数，再解不等式求出m的取值范围．
解答：解：解关于x的方程得x=m+6，
∵方程的解是正数，
∴m+6＞0且m+6≠2，
解这个不等式得m＞﹣6且m≠﹣4．
故答案为：m＞﹣6且m≠﹣4．
点评：本题考查了分式方程的解，是一个方程与不等式的综合题目，解关于x的方程是关键，解关于x的不等式是本题的一个难点．
19．在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠CAB=36°，∠CDB=72°．
考点：等腰三角形的性质．
分析：由BD=BC=AD可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=2x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
解答：解：∵BD=BC=AD，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，
又∵AB=AC可知，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
即∠CAB=36°，
∴∠CDB=72°．
故本题答案为：36°，72°．
点评：本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
20．一件工作，甲独做a小时完成，乙独做b小时完成，若甲，乙两人合作完成，需要小时．
考点：列代数式（分式）．
专题：工程问题．
分析：把工作总量看作单位1，根据：工作时间=工作总量÷工作效率，甲的工作效率是，乙的工作效率是，从而求得二人合作完成需要的时间．
解答：解：设作总量看作单位1，根据：工作时间=工作总量÷工作效率，甲的工作效率是，乙的工作效率是，
则两人合作需要的时间为=．
点评：工程问题要有“工作效率”，“工作时间”，“工作总量”三个要素，数量关系为：工作效率×工作时间=工作总量．注意公式的灵活变形．
21．在4×4的方格中有五个同样大小的正方形如图摆放，移动其中一个正方形到空白方格中，与其余四个正方形组成的新图形是一个轴对称图形，这样的移法共有13种．
考点：利用轴对称设计图案．
专题：压轴题．
分析：根据轴对称图形的性质，分别移动一个正方形，即可得出符合要求的答案．
解答：解：如图所示：
故一共有13做法，
故答案为：13．
点评：此题主要考查了利用轴对称设计图案，熟练利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．
三、解答题
22．在△ABC中，BO、CO分别平分∠CBA、∠BCA，求证：∠COB=∠CAB+90°．
考点：三角形内角和定理．
专题：证明题．
分析：根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的内角和定理求出∠BOC的值．
解答：证明：∵BO、CO分别平分∠CBA、∠BCA，
∴∠ABO=∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=，
∴在△BOC中，
∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣=∠CAB+90°．
点评：此题考查的是三角形的内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
23．已知x2=3，求（2x+3）（2x﹣3）﹣4x（x﹣1）+（x﹣2）2的值．
考点：整式的混合运算—化简求值．
专题：计算题．
分析：原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将已知等式代入计算即可求出值．
解答：解：原式=4x2﹣9﹣4x2+4x+x2﹣4x+4=x2﹣5，
当x2=3时，原式=3﹣5=﹣2．
点评：此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
24．如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．
求证：BE=CF．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：易证△BED≌△CFD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题．
解答：解：∵BE⊥AE，CF⊥AE，
∴∠BED=∠CFD=90°，
在△BED和△CFD中，
，
∴△BED≌△CFD（AAS），
∴BE=CF．
点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中找出全等三角形并证明是解题的关键．
25．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标：（﹣2，4）
（2）在x轴上找一点P，使A1P+AP的和最小．
考点：作图-轴对称变换；轴对称-最短路线问题．
分析：（1）利用关于y轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）利用轴对称求最短路径的方法得出答案．
解答：解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，
点A1的坐标为：（﹣2，4）；
故答案为：（﹣2，4）；
（2）如图所示：P点即为所求．
点评：此题主要考查了轴对称变换以及利用轴对称求最短路径问题，得出对应点位置是解题关键．
26．已知ab=2，a+b=﹣3，求a﹣b的值．
考点：完全平方公式．
分析：利用完全平方公式列出关系式，把a+b与ab的值代入，开方即可求出a﹣b的值．
解答：解：∵a+b=﹣3，ab=2，
∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=9﹣8=1，
则a﹣b=±1．
点评：此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．
考点：全等三角形的判定与性质．
分析：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC；利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰直角三角形的性质，即可证得：△EAB≌△EDC即可证明．
解答：数量关系为：BE=EC，位置关系是：BE⊥EC．
证明：∵△AED是直角三角形，∠AED=90°，且有一个锐角是45°，
∴∠EAD=∠EDA=45°，
∴AE=DE，
∵∠BAC=90°，
∴∠EAB=∠EAD+∠BAC=45°+90°=135°，
∠EDC=∠ADC﹣∠EDA=180°﹣45°=135°，
∴∠EAB=∠EDC，
∵D是AC的中点，
∴AD=CD=AC，
∵AC=2AB，
∴AB=AD=DC，
∵在△EAB和△EDC中
，
∴△EAB≌△EDC（SAS），
∴EB=EC，且∠AEB=∠DEC，
∴∠BEC=∠DEC+∠BED=∠AEB+∠BED=90°，
∴BE⊥EC．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与应用，证明线段相等的问题一般的解决方法是转化为证明三角形全等．
28．先化简，然后从1、﹣1、2、﹣2中选取一个你认为合适的数作为m的值代入求值．
考点：分式的化简求值．
分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把合适的m的值代入进行计算即可．
解答：解：原式=?+
=+，
当m=﹣2时，原式=+=4﹣=．
点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答解答此题的关键．
29．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，
①求证：△BCE≌△ACD；
②判断△CFH的形状并说明理由．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．
分析：①利用等边三角形的性质得出条件，可证明：△BCE≌△ACD；
②利用△BCE≌△ACD得出∠CBF=∠CAH，再运用平角定义得出∠BCF=∠ACH进而得出△BCF≌△ACH因此CF=CH，由CF=CH和∠ACH=60°根据“有一个角是60°的三角形是等边三角形可得△CFH是等边三角形．
解答：①证明：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴∠BCA=∠DCE=60°，BC=AC，CE=CD
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
，
∴△BCE≌△ACD（SAS）；
②△CFH是等边三角形．
理由如下：
∵△BCE≌△ACD，
∴∠CBF=∠CAH．
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACH=60°．
∴∠BCF=∠ACH，
在△BCF和△ACH中，
，
∴△BCF≌△ACH（ASA），
∴CF=CH；
∵CF=CH，∠ACH=60°，
∴△CFH是等边三角形．
点评：本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的性质；普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS．同时还要结合等边三角形的性质，创造条件证明三角形全等是正确解答本题的关键．
30．乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．
考点：分式方程的应用．
专题：压轴题．
分析：先设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．
解答：解：设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据题意得：
?40%?150﹣（x﹣150）??20%=750，
解得：x=200，
经检验x=200是原方程的解，
解法二：
总销售额﹣成本=获得的利润
?（1+40%）?150+（x﹣150）??（1﹣20%）﹣3000=750，
x=200，
经检验x=200是原方程的解，
答：小李所进乌梅的数量为200kg．
点评：此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．
31．如图，已知△ABC中AB=AC，BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，连接AD，
①直接写出∠BDC与∠BAC之间的关系式；
②求证：△ABD为等腰三角形；
③当∠EBA的大小满足什么条件时，以A、B、F为顶点的三角形为等腰三角形？
考点：等腰三角形的判定与性质．
分析：①由外角关系∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，即可得出∠BDC=∠BAC；
②作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，先证DM=DN，得出AD平分∠CAG，再证明AD∥BC，证出∠ABD=∠ADB，即可证出AB=AD，△ABD为等腰三角形；
③由△ABF是等腰三角形，∠BAF只能为底角，得出AF=BF，∠BAF=∠ABF=∠ABC，再根据∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，求出∠ABC=72°．
解答：解：①∠BDC=∠BAC．
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，
∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，
∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，
∴∠BDC=∠BAC．
②作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H，如图所示：
∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，
∴DM=DH，DN=DH，
∴DM=DN，
∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，
∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠GAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形；
（3）∠EBA=72°；
根据题意，∵△ABF是等腰三角形，∠BAF只能为底角，
∴AF=BF，
∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，
∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=180°，
∴∠ABC=72°．
点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质、外角的性质以及平行线的判定与性质；弄清各个角之间的关系进行推理论证与计算是解题的关键．
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