河北省张家口市张北三中2014～2015学年度八年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算（a2）3的结果是（）
A．a5B．a6C．a8D．3a2
2．下列图形是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
3．已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是（）
A．1B．4C．8D．14
4．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）
A．20°B．30°C．35°D．40°
5．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）
A．0根B．1根C．2根D．3根
6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点
7．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为（）
A．40°B．20°C．18°D．38°
8．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）
A．BC=AD，∠ABC=∠BADB．BC=AD，AC=BD
C．AC=BD，∠CAB=∠DBAD．BC=AD，∠CAB=∠DBA
9．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
10．用正三角形和正六边形密铺成平面，共有___________种拼法．（）
A．1B．2C．3D．无数
11．若a＞0且ax=2，ay=3，则ax+y的值为（）
A．6B．5C．﹣1D．
15．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（）
A．B．C．D．
16．某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b．在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形．如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）
A．a2+2ab+b2=（a+b）2B．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
C．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共16分．把答案写在题中横线上）
17．已知点P（1，a+2）关于x轴的对称点（1，﹣3），则a的值是．
18．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是．
19．因式分解：x3﹣4xy2=．
20．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是．（只需填一个即可）
三、解答题（本大题共6个小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
写出点A1、B1、C1的坐标．
23．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：
（1）△ABC≌△ADC；
BO=DO．
24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
求∠DFC的度数．
26．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
河北省张家口市张北三中2014～2015学年度八年级上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．计算（a2）3的结果是（）
A．a5B．a6C．a8D．3a2
考点：幂的乘方与积的乘方．
分析：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，计算后直接选取答案．
解答：解：（a2）3=a6．
故选：B．
点评：本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．下列图形是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
考点：轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
解答：解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意．
故选A．
点评：掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．已知三角形两边的长分别是5和9，则此三角形第三边的长可能是（）
A．1B．4C．8D．14
考点：三角形三边关系．
分析：先根据三角形的三边关系求出x的取值范围，再求出符合条件的x的值即可．
解答：解：此三角形第三边的长为x，则
9﹣5＜x＜9+5，即4＜x＜14，
只有选项C符合题意．
故选：C．
点评：本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
4．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′=30°，则∠ACA′的度数为（）
A．20°B．30°C．35°D．40°
考点：全等三角形的性质．
专题：计算题．
分析：本题根据全等三角形的性质并找清全等三角形的对应角即可．
解答：解：∵△ACB≌△A′CB′，
∴∠ACB=∠A′CB′，
即∠ACA′+∠A′CB=∠B′CB+∠A′CB，
∴∠ACA′=∠B′CB，
又∠B′CB=30°
∴∠ACA′=30°．
故选：B．
点评：本题考查了全等三角形的判定及全等三角形性质的应用，利用全等三角形的性质求解．
5．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）
A．0根B．1根C．2根D．3根
考点：三角形的稳定性．
专题：存在型．
分析：根据三角形的稳定性进行解答即可．
解答：解：加上AC后，原不稳定的四边形ABCD中具有了稳定的△ACD及△ABC，
故这种做法根据的是三角形的稳定性．
故选：B．
点评：本题考查的是三角形的稳定性在实际生活中的应用，比较简单．
6．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条中线的交点B．三条高的交点
C．三条边的垂直平分线的交点D．三条角平分线的交点
考点：角平分线的性质．
专题：几何图形问题．
分析：因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
解答：解：
∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，
∴到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点．
故选：D．
点评：该题考查的是角平分线的性质，因为角的平分线上的点到角的两边的距离相等，所以到三角形的三边的距离相等的点是三条角平分线的交点，易错选项为C．
7．如图，AE，AD分别是△ABC的高和角平分线，且∠B=36°，∠C=76°，则∠DAE的度数为（）
A．40°B．20°C．18°D．38°
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．
分析：△ABC中已知∠B=36°，∠C=76°，就可知道∠BAC的度数，则∠BAE就可求出；∠DAE是直角三角形△ADE的一个内角，则∠DAE=90°﹣∠ADE．
解答：解：∵△ABC中已知∠B=36°，∠C=76，
∴∠BAC=68°．
∴∠BAD=∠DAC=34，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°，
∴∠DAE=20°．
故填B．
点评：根据已知条件善于找出题目中的能求出角的条件是解题的关键，在平时解题中要善于对题目进行分析．
8．如图，下列各组条件中，不能得到△ABC≌△BAD的是（）
A．BC=AD，∠ABC=∠BADB．BC=AD，AC=BD
C．AC=BD，∠CAB=∠DBAD．BC=AD，∠CAB=∠DBA
考点：全等三角形的判定．
分析：根据图形可得公共边AB=AB，再加上选项所给条件，利用判定定理SSS、SAS、ASA、AAS分别进行分析即可．
解答：解：根据图形可得公共边：AB=AB，
A、BC=AD，∠ABC=∠BAD可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
B、BC=AD，AC=BD可利用SSS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
C、AC=BD，∠CAB=∠DBA可利用SAS证明△ABC≌△BAD，故此选项不合题意；
D、BC=AD，∠CAB=∠DBA不能证明△ABC≌△BAD，故此选项符合题意；
故选：D．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
9．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
考点：角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
专题：几何图形问题．
分析：先利用AAS判定△ACD≌△AED得出AC=AE，CD=DE；再对构成△DEB的几条边进行变换，可得到其周长等于AB的长．
解答：解：∵AD平分∠CAB交BC于点D
∴∠CAD=∠EAD
∵DE⊥AB
∴∠AED=∠C=90
∵AD=AD
∴△ACD≌△AED．（AAS）
∴AC=AE，CD=DE
∵∠C=90°，AC=BC
∴∠B=45°
∴DE=BE
∵AC=BC，AB=6cm，
∴2BC2=AB2，即BC===3，
∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC=6﹣3，
∴BC+BE=3+6﹣3=6cm，
∵△DEB的周长=DE+DB+BE=BC+BE=6（cm）．
另法：证明三角形全等后，
∴AC=AE，CD=DE．
∵AC=BC，
∴BC=AE．
∴△DEB的周长=DB+DE+EB=DB+CD+EB=CB+BE=AE+BE=6cm．
故选B．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、AAS、SAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
10．用正三角形和正六边形密铺成平面，共有___________种拼法．（）
A．1B．2C．3D．无数
考点：平面镶嵌（密铺）．
分析：根据正六边形的每个内角为120°，正三角形的每个内角为60°，根据平面密铺的条件列出方程，讨论可得出答案．
解答：解：∵正六边形的每个内角为120°，正三角形的每个内角为60°，
∴120x+60y=360°，
当x=2时，y=2；
当x=1时，y=4．
所以在一个顶点处可以有2个正六边形和2个正三角形或1个正六边形和4个正三角形．
故选B．
点评：本题考查平面密铺的知识，比较简单，解答本题的关键是根据二元一次方程知识结合平面密铺的条件进行解答．
11．若a＞0且ax=2，ay=3，则ax+y的值为（）
A．6B．5C．﹣1D．
考点：同底数幂的乘法．
专题：计算题．
分析：原式利用同底数幂的乘法法则变形，把已知等式代入计算即可求出值．
解答：解：∵a＞0且ax=2，ay=3，
∴ax+y=ax?ay=6，
故选A
点评：此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．若分式的值为零，则x的取值为（）
A．x≠3B．x≠﹣3C．x=3D．x=﹣3
考点：分式的值为零的条件．
分析：根据分式值为零的条件可得x2﹣9=0，x﹣3≠0，解可得答案．
解答：解：由题意得：x2﹣9=0，x﹣3≠0，
解得：x=﹣3，
故选：D．
点评：此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
13．1纳米等于0.000000001米，则35纳米用科学记数法表示为（）
A．35×10﹣9米B．3.5×10﹣9米C．3.5×10﹣10米D．3.5×10﹣8米
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解答：解：35×0.000000001=3.5×10﹣8；
故选：D．
点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
14．甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，已知乙车每小时比甲车多行驶15千米，设甲车的速度为x千米/小时，依据题意列方程正确的是（）
A．B．C．D．
考点：由实际问题抽象出分式方程．
分析：题中等量关系：甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同，据此列出关系式．
解答：解：设甲车的速度为x千米/时，则乙车的速度为（x+15）千米/时，
根据题意，得
=．
故选C．
点评：本题考查了由实际问题抽象出分式方程，理解题意，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：时间=路程÷速度．
15．把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，如图所示，则所得的图形是（）
A．B．C．D．
考点：剪纸问题．
专题：操作型．
分析：把一个正方形的纸片向上对折，向右对折，向右下方对折，从上部剪去一个等腰直角三角形，展开，看得到的图形为选项中的哪个即可．
解答：解：从折叠的图形中剪去8个等腰直角三角形，易得将从正方形纸片中剪去4个小正方形，故选C．
点评：考查学生的动手操作能力，也可从剪去的图形入手思考．
16．某班同学学习整式乘除这一章后，要带领本组的成员共同研究课题学习，现在全组同学有4个能够完全重合的长方形，长、宽分别为a、b．在研究的过程中，一位同学用这4个长方形摆成了一个大的正方形．如图所示，由左图至右图，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（）
A．a2+2ab+b2=（a+b）2B．4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2
C．a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2D．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2
考点：完全平方公式的几何背景．
分析：根据图形的组成以及正方形和长方形的面积公式，知：大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积．
解答：解：∵大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个矩形的面积，
∴（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab，即4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2．
故选B．
点评：考查了完全平方公式的几何背景，能够正确找到大正方形和小正方形的边长是难点．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共16分．把答案写在题中横线上）
17．已知点P（1，a+2）关于x轴的对称点（1，﹣3），则a的值是1．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
分析：根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得a+2=3，再解即可．
解答：解：∵点P（1，a+2）关于x轴的对称点（1，﹣3），
∴a+2=3，
解得a=1，
故答案为：1．
点评：此题主要考查了关于x轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
18．已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是8．
考点：多边形内角与外角．
分析：根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解．
解答：解：∵正n边形的一个内角为135°，
∴正n边形的一个外角为180°﹣135°=45°，
n=360°÷45°=8．
故答案为：8．
点评：本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．
19．因式分解：x3﹣4xy2=x（x+2y）（x﹣2y）．
考点：提公因式法与公式法的综合运用．
专题：计算题．
分析：先提公因式x，再利用平方差公式继续分解因式．
解答：解：x3﹣4xy2，
=x（x2﹣4y2），
=x（x+2y）（x﹣2y）．
点评：本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后继续进行二次因式分解是关键，注意分解因式要彻底．
20．如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．（只需填一个即可）
考点：全等三角形的判定．
专题：开放型．
分析：要判定△ABC≌△FDE，已知AC=FE，AD=BF，则AB=CF，具备了两组边对应相等，故添加∠A=∠F，利用SAS可证全等．（也可添加其它条件）．
解答：解：增加一个条件：∠A=∠F，
显然能看出，在△ABC和△FDE中，利用SAS可证三角形全等（答案不唯一）．
故答案为：∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一）．
点评：本题考查了全等三角形的判定；判定方法有ASA、AAS、SAS、SSS等，在选择时要结合其它已知在图形上的位置进行选取．
三、解答题（本大题共6个小题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
21．（1）解方程：﹣1=．
先化简，再求值：（1+）÷，其中x=3．
考点：分式的化简求值；解分式方程．
分析：（1）先找最简分母，再去分母，解方程即可，不要忘记检验；
先算括号里面的，再约分，代入x=3求值即可．
解答：（1）解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2），
得x（x+2）﹣（x+2）（x﹣2）=8．
化简，得2x+4=8．
解得：x=2．
检验：x=2时，（x+2）（x﹣2）=0，即x=2不是原分式方程的解，
则原分式方程无解．
解：原式=÷
=×
=；
当x=3时原式==．
点评：本题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，一定要检验．
22．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣1，5）、B（﹣1，0）、C（﹣4，3）．
（1）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1．
写出点A1、B1、C1的坐标．
考点：作图-轴对称变换．
专题：作图题．
分析：（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点，A1、B1、C1，顺次连接A1B1、B1C1、C1A1，即得到关于y轴对称的△A1B1C1；
观察图形即可得出点A1、B1、C1的坐标．
解答：解：（1）所作图形如下所示：
点A1、B1、C1的坐标分别为：（1，5），（1，0），（4，3）．
点评：本题考查了轴对称变换作图，作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，基本作法是：①先确定图形的关键点；②利用轴对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．
23．如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：
（1）△ABC≌△ADC；
BO=DO．
考点：全等三角形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：用AAS判定△ABC≌△ADC，得出AB=AD，再利用SAS判定△ABO≌△ADO，从而得出BO=DO．
解答：证明：（1）在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（ASA）；
∵△ABC≌△ADC，
∴AB=AD．
又∵∠1=∠2，AO=AO，
即，
∴△ABO≌△ADO（SAS）．
∴BO=DO．
点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．
（1）求证：AD=CE；
求∠DFC的度数．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：作图题．
分析：根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
解答：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．
又∵AE=BD，
∴△AEC≌△BDA（SAS）．
∴AD=CE；
解：
∵（1）△AEC≌△BDA，
∴∠ACE=∠BAD，
∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．
点评：本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．
25．某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
考点：分式方程的应用．
专题：应用题．
分析：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，可得出方程，解出即可．
先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．
解答：解：（1）设这项工程的规定时间是x天，
根据题意得：（+）×15+=1．
解得：x=30．
经检验x=30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）=18（天），
则该工程施工费用是：18×（6500+3500）=180000（元）．
答：该工程的费用为180000元．
点评：本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．
26．如图1，△ABC是边长为4cm的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段AB，BC运动，且它们的速度都为1cm/s．当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？
连接AQ、CP，相交于点M，如图2，则点P，Q在运动的过程中，∠CMQ会变化吗？若变化，则说明理由；若不变，请求出它的度数．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
专题：动点型．
分析：（1）需要分类讨论：分∠PQB=90°和∠BPQ=90°两种情况；
∠CMQ=60°不变．通过证△ABQ≌△CAP（SAS）得到：∠BAQ=∠ACP，所以由三角形外角定理得到∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
解答：解：（1）设时间为t，则AP=BQ=t，PB=4﹣t
①当∠PQB=90°时，
∵∠B=60°，
∴PB=2BQ，得4﹣t=2t，t=；
②当∠BPQ=90°时，
∵∠B=60°，
∴BQ=2BP，得t=2（4﹣t），t=；
∴当第秒或第秒时，△PBQ为直角三角形．
∠CMQ=60°不变．
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），
∴∠BAQ=∠ACP，
∴∠CMQ=∠ACP+∠CAM=∠BAQ+∠CAM=∠BAC=60°．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质．等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
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