乘法公式的复习
一、复习:
(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3(a-b)(a2+ab+b2)=a3－b3
归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式：
①位置变化，(x(y(((y(x((x2(y2
②符号变化，((x(y(((x(y((((x(2(y2(x2(y2
③指数变化，(x2(y2((x2(y2((x4(y4
④系数变化，(2a(b((2a(b((4a2(b2
⑤换式变化，(xy((z(m(((xy((z(m((
((xy(2((z(m(2
(x2y2((z(m((z(m(
(x2y2((z2(zm(zm(m2(
(x2y2(z2(2zm(m2
⑥增项变化，(x(y(z((x(y(z(
((x(y(2(z2
((x(y((x(y((z2
(x2(xy(xy(y2(z2
(x2(2xy(y2(z2
⑦连用公式变化，(x(y((x(y((x2(y2(
((x2(y2((x2(y2(
(x4(y4
⑧逆用公式变化，(x(y(z(2((x(y(z(2
(((x(y(z(((x(y(z((((x(y(z(((x(y(z((
(2x((2y(2z(
((4xy(4xz
例1．已知，，求的值。
解：∵∴=
∵，∴=
例2．已知，，求的值。
解：∵
∴∴=
∵，∴
例3：计算19992-2000×1998
〖解析〗此题中2000=1999+1，1998=1999-1，正好符合平方差公式。
解：19992-2000×1998=19992-（1999+1）×（1999-1）
=19992-（19992-12）=19992-19992+1=1
例4：已知a+b=2，ab=1，求a2+b2和(a-b)2的值。
〖解析〗此题可用完全平方公式的变形得解。
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2=2
（a-b)2=(a+b)2-4ab=4-4=0
例5：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。
〖解析〗此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z的积得来的，所以只要求出x-z的值即可。
解：因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=14×4=56。
例6：判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？
〖解析〗此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=（2-1）和上式可构成循环平方差。
解：（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1
=（2-1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1
=24096
=161024
因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幂的个位数字都是6，所以上式的个位数字必为6。
例7．运用公式简便计算
（1）1032（2）1982
解：（1）1032((100(3(2(1002(2(100(3(32(10000(600(9(10609
（2）1982((200(2(2(2002(2(200(2(22(40000(800(4(39204
例8．计算
（1）(a(4b(3c((a(4b(3c(（2）(3x(y(2((3x(y(2(
解：（1）原式(((a(3c((4b(((a(3c((4b(((a(3c(2((4b(2(a2(6ac(9c2(16b2
（2）原式((3x((y(2(((3x((y(2(((9x2((y2(4y(4((9x2(y2(4y(4
例9．解下列各式
（1）已知a2(b2(13，ab(6，求(a(b(2，(a(b(2的值。
（2）已知(a(b(2(7，(a(b(2(4，求a2(b2，ab的值。
（3）已知a(a(1(((a2(b((2，求的值。
（4）已知，求的值。
分析：在公式(a(b(2(a2(b2(2ab中，如果把a(b，a2(b2和ab分别看作是一个整体，则公式中有三个未知数，知道了两个就可以求出第三个。
解：（1）∵a2(b2(13，ab(6
((a(b(2(a2(b2(2ab(13(2(6(25(a(b(2(a2(b2(2ab(13(2(6(1
（2）∵(a(b(2(7，(a(b(2(4
(a2(2ab(b2(7①a2(2ab(b2(4②
①(②得2(a2(b2((11，即
①(②得4ab(3，即
（3）由a(a(1(((a2(b((2得a(b((2
（4）由，得即
即
例10．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？
分析：由于1(2(3(4(1(25(52
2(3(4(5(1(121(112
3(4(5(6(1(361(192
……得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上1，都是平方数。
解：设n，n(1，n(2，n(3是四个连续自然数
则n(n(1((n(2((n(3((1((n(n(3((((n(1((n(2(((1((n2(3n(2(2(n2(3n((1
((n2(3n((n2(3n(2((1((n2(3n(1(2
∵n是整数，(n2，3n都是整数(n2(3n(1一定是整数
((n2(3n(1(是一个平方数(四个连续整数的积与1的和必是一个完全平方数。
例11．计算（1）(x2(x(1(2（2）(3m(n(p(2
解：（1）(x2(x(1(2((x2(2(((x(2(12(2(x2(((x((2(x2(1(2(((x((1(x4(x2(1(2x3(2x2(2x
(x4(2x3(3x2(2x(1
（2）(3m(n(p(2((3m(2(n2(((p(2(2(3m(n(2(3m(((p((2(n(((p((9m2(n2(p2(6mn(6mp(2np
分析：两数和的平方的推广
(a(b(c(2(((a(b((c(2((a(b(2(2(a(b((c(c2(a2(2ab(b2(2ac(2bc(c2
(a2(b2(c2(2ab(2bc(2ac即(a(b(c(2(a2(b2(c2(2ab(2bc(2ac
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
二、乘法公式的用法
(一)、套用:这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。
例1.计算：解：原式
(二)、连用:连续使用同一公式或连用两个以上公式解题。
例2.计算：
解：原式
例3.计算：
解：原式
三、逆用:学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置，得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。
例4.计算：
解：原式
四、变用:题目变形后运用公式解题。
例5.计算：
解：原式
五、活用:把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：
灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。
例6.已知，求的值。
解：
例7.计算：
解：原式
例8.已知实数x、y、z满足，那么（）
解：由两个完全平方公式得：
从而
三、学习乘法公式应注意的问题
（一）、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”．
1计算(-2x2-5)(2x2-5)
-5”相同，“2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而“2x2”则是公式中的b．
=(-5-2x2)(-5+2x2)=(-5)2-(2x2)2=25-4x4．
2计算(-a2+4b)2
(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a，“4b”就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则“4b”是公式中的a，而“a2”就是公式中的b．（解略）
（二）、注意为使用公式创造条件
3计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)．
2x”、“5”两项同号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式的形式．
=〔(2x+5)+(y-z)〕〔(2x+5)-(y-z)〕
=(2x+5)2-(y-z)2
=4x2+20x+25-y+2yz-z2．
4计算(a-1)2(a2+a+1)2(a6+a3+1)2
分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幂的运算法则，则可利用乘法公式，使运算简便．
=[(a-1)(a2+a+1)(a6+a3+1)]2
=[(a3-1)(a6+a3+1)]2
=(a9-1)2=a18-2a9+1
5计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)．
2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)
=(24-1)(24+1)(28+1)
=（28-1）（28+1）
=216-1
计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2，可推广得到：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
2倍．
6计算(2x+y-3)2
=(2x)2+y2+(-3)2+2·2x·y+2·2x(-3)+2·y(-3)
=4x2+y2+9+4xy-12x-6y
（四）、注意公式的变换，灵活运用变形公式
7(1)已知x+y=10，x3+y3=100，求x2+y2的值；
(2)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值．
x2+y2=(x+y)2-2xy，x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，(x+y)2-(x-y)2=4xy，问题则十分简单．
(1)∵x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y)，将已知条件代入得100=103-3xy·10，
xy=30x2+y2=(x+y)2-2xy=102-2×30=40．
(2)(x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-86=1．
8计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+(b-a+c)2．
(a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)，因而问题容易解决．
=[(a+b)+c]2+[(a+b)-c]2+[c+(a-b)]2+[c-(a-b)]2
=2[(a+b)2+c2]+2[c2+(a-b)2]
=2[(a+b)2+(a-b)2]+4c2
=4a2+4b2+4c2
（五）、注意乘法公式的逆运用
9计算(a-2b+3c)2-(a+2b-3c)2．
分析：若按完全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算简便得多．
=[(a-2b+3c)+(a+2b-3c)][(a-2b+3c)-(a+2b-3c)]
=2a(-4b+6c)=-8ab+12ac．
10计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2
=(2a+3b)2+2(2a+3b)(4a-5b)+(4a-5b)2
=[(2a+3b)+(4a-5b)]2
=(6a-2b)2=36a2-24ab+4b2
四、怎样熟练运用公式：一、明确公式的结构特征
这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方差，且是相同项的平方减去相反项的平方．明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确运用公式．二、理解字母的广泛含义
乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．理解了字母含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式．如计算（x+2y－3z）2，若视x+2y为公式中的a，3z为b，则就可用（a－b）2=a2－2ab+b2来解了三、熟悉常见的几种变化
有些题目往往与公式的标准形式不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式特征，合理调整变化，使其满足公式特点．常见的几种变化是：
1、位置变化如（3x+5y）（5y－3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计算了．
2、符号变化如（－2m－7n）（2m－7n）变为－（2m+7n）（2m－7n）后就可用平方差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）
3、数字变化如98×102，992，912等分别变为（100－2）（100+2），（100－1）2，（90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了．
4、系数变化如（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）后即可用平方差公式进行计算了．
5、项数变化如（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．四、注意公式的灵活运用
有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．如计算（a2+1）2·（a2－1）2，若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则后再进一步计算，则非常简便．即原式=[（a2+1）（a2－1）]2=（a4－1）2=a8－2a4+1．对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左）运用．如计算（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－），若分别算出各因式的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错．若注意到各因式均为平方差的形式而逆用平方差公式，则可巧解本题．即原式=（1－）（1+）（1－）（1+）×…×（1－）（1+）=××××…××=×=．有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=（a+b）2－2ab，a2+b2=（a－b）2+2ab等．用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效．如已知m+n=7，mn=－18，求m2+n2，m2－mn+n2的值．面对这样的问题就可用上述变式来解，即m2+n2=（m+n）2－2mn=72－2×（－18）=49+36=85，m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．
下列各题，难不倒你吧？！
1、若a+=5，求（1）a2+，（2）（a－）2的值．
2、求（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）（264+1）+1的末位数字．
（答案：1.（1）23；（2）21．2.6）
乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2(a±b)=a2±2ab＋b2
(a±b)(a2±ab＋b2)=a3b3．
第一层次──正用
即根据所求式的特征，模仿公式进行直接、简单的套用．
例1计算
(2)(－2x－y)(2x－y)
(2)原式=[(－y)－2x][(－y)＋2x]=y2－4x2
第二层次──逆用，即将这些公式反过来进行逆向使用．
例2计算
(1)19982－19983994＋19972
解(1)原式=19982－21998·1997＋19972=(1998－1997)2=1
第三层次──活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式；有时根据需要创造条件，灵活应用公式．
例3化简：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“2－1
解原式=(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1
=(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1=216
例4计算：(2x－3y－1)(－2x－3y＋5)
－1=2－35=2＋3
解原式=(2x－3y－3＋2)(－2x－3y＋3＋2)
=[(2－3y)＋(2x－3)][(2－3y)－(2x－3)]
=(2－3y)2－(2x－3)2=9y2－4x2＋12x－12y－5
第四层次──变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些恒等变形式，如a2＋b2=(a＋b)2－2aba3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)5已知a＋b=9ab=14，求2a2＋2b2a3＋b3
解：∵a＋b=9ab=14，∴2a2＋2b2=2[(a＋b)2－2ab]=2(92－214)=106，
a3＋b3=(a＋b)3－3ab(a＋b)=93－314·9=351
第五层次──综合后用：将(a＋b)2=a2＋2ab＋b2(a－b)2=a2－2ab＋b2(a＋b)2＋(a－b)2=2(a2＋b2)(a＋b)2－(a－b)2=4ab
等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷．
例6计算：(2x＋y－z＋5)(2x－y＋z＋5)[(2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)]2-[(2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)]2
=(2x＋5)2－(y－z)2=4x2＋20x＋25－y2＋2yz－z2
1、数形结合的数学思想认识乘法公式：
对于学习的两种（三个）乘法公式：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2、完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2，可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。
如图1，两个矩形的面积之和（即阴影部分的面积）为(a+b)(a-b)，通过左右两图的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2；图2中的两个图阴影部分面积分别为(a+b)2与(a-b)2，通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2与(a-b)2=a2-2ab+b2。
2、乘法公式的使用技巧：
①提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
运用乘法公式计算：
（1）(-1+3x)(-1-3x)；（2）(-2m-1)2
解：（1）(-1+3x)(-1-3x)=[-(1-3x)][-(1+3x)]=(1-3x)(1+3x)=12-(3x)2=1-9x2.
（2）(-2m-1)2=[-(2m+1)]2=(2m+1)2=4m2+4m+1.
②改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.
运用乘法公式计算：
（1）()();（2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)
解：（1）()()=()()
=()()==
(2)(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)=(x-1/2))(x+1/2)(x2+1/4)
=(x2-1/4)(x2+1/4)=x2-1/16.
③逆用公式
将幂的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2=(a+b)(a-b)，逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。
计算：
（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2;（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2
解：（1）(x/2+5)2-(x/2-5)2=[(x/2+5)+(x/2-5)][(x/2+5)-(x/2-5)]
=(x/2+5+x/2-5)(x/2+5-x/2+5)=x·10=10x.
（2）(a-1/2)2(a2+1/4)2(a+1/2)2
=[(a-1/2)(a2+1/4)(a+1/2)]2=[(a-1/2)(a+1/2)(a2+1/4)]2
=[(a2-1/4)(a2+1/4)]2=(a4-1/16)2=a8-a4/8+1/256.
④合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，视为另一组；再依次用平方差公式与完全平方公式进行计算。
计算：（1）(x+y+1)(1-x-y);（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).
解：（1）(x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=[1+(x+y)][1-(x+y)]=12-(x+y)2
=1-(x2+2xy+y2)=1-x2-2xy-y2.
（2）(2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)
=[(2x+5)+(y-z)][(2x+5)-(y-z)]
=(2x+5)2-(y-z)2=(4x2+20x+25)-(y2-2yz+z2)
=4x2+20x+25-y2+2yz-z2=4x2-y2-z2+2yz+20x+25.
七、巧用公式做整式乘法
整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特征，将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。
一.先分组，再用公式
例1.计算：
简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式运用加法交换律和结合律变形为；将另一个整式变形为，则从其中找出了特点，从而利用平方差公式即可将其展开。
解：原式
二.先提公因式，再用公式
例2.计算：
简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数，而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为，则可利用乘法公式。
解：原式
三.先分项，再用公式
例3.计算：
简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现，x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若将2分解成4与的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。
解：原式=
四.先整体展开，再用公式
例4.计算：
简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
解：原式
五.先补项，再用公式
例5.计算：
简析：由观察整式，不难发现，若先补上一项，则可满足平方差公式。多次利用平方差公式逐步展开，使运算变得简便易行。
解：原式
六.先用公式，再展开
例6.计算：
简析：第一个整式可表示为，由简单的变化，可看出整式符合平方差公式，其它因式类似变化，进一步变换成分数的积，化简即可。
解：原式
七.乘法公式交替用
例7.计算：
简析：利用乘法交换律，把第一个整式和第四个整式结合在一起，把第二个整式与第三个整式结合，则可利用乘法公式展开。
解：原式
八、中考与乘法公式
1.结论开放
例1.（02年济南中考）请你观察图1中的图形，依据图形面积的关系，不需要添加辅助线，便可得到一个你非常熟悉的公式，这个公式是______________。
分析：利用面积公式即可列出
或或
在上述公式中任意选一个即可。
例2.（03年陕西中考）
如图2，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（），把余下的部分剪成一个矩形，如图3，通过计算两个图形的面积，验证了一个等式，则这个等式是______________。
分析：利用面积公式即可列出或
2.条件开放
例3.（03年四川中考）多项式加上一个单项式后，使它能成为一个整式的完全平方，则加上的单项式可以是____________（填上你认为正确的一个即可，不必考虑所有的可能情况）。
分析：解答时，可能习惯于按课本上的完全平方公式，得出
或只要再动点脑筋，还会得出
故所加的单项式可以是，或，或，或等。
3.找规律
例4.（01年武汉中考）观察下列各式：
由猜想到的规律可得____________。
分析：由已知等式观察可知
4.推导新公式
例5.在公式中，当a分别取1，2，3，……，n时，可得下列n个等式
将这n个等式的左右两边分别相加，可推导出求和公式：
__________（用含n的代数式表示）
分析：观察已知等式可知，后一个等式的右边第一项等于前一个等式的左边，将已知等式左右两边分别相加，得：
移项，整理得：
例6.（04年临汾中考）阅读材料并解答问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些等式也可以用这种形式表示，例如：就可以用图4或图5等图表示。
（1）请写出图6中所表示的代数恒等式____________；
（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：
（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形。
解：（1）
（2）如图7
（3）略
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