2007年广东高考数学（理科）答案
选择题（本题8小题，每题5分，满分40分）
1．已知函数的定义域为M，g(x)=的定义域为N，则M∩N=
（A）（B）（C）（D）
答案：C；
2．若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b为实数），则b=
(A)-2(B)-(C)(D)2
答案：B；
解析：（1+bi）(2+i)=（2-b）+(2b+1)i，故2b+1=0，故选B；
3．若函数，则f(x)是
（A）最小正周期为的奇函数；（B）最小正周期为的奇函数；
（C）最小正周期为2的偶函数；（D）最小正周期为的偶函数；
答案：D；
4．客车从甲地以60km/h的速度行驶1小时到达乙地，在乙地停留了半小时，然后以80km/h的速度行驶1小时到达丙地，下列描述客车从甲地出发，经过乙地，最后到达丙地所经过的路程s与时间t之间的关系图象中，正确的是
答案：C；
解析：
5．已知数列｛｝的前n项和，第k项满足５＜＜８，则k=
（A）9（B）8（C）7（D）6
答案：B；
解析：此数列为等差数列，，由5<2k-10<8得到k=8。
6．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155内的人数]。图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是
（A）i<6(B)i<7(C)i<8(D)i<9
答案：C；
解析：S=；
7．图３是某汽车维修公司的维修点分布图，公司在年初分配给Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的某种配件各５０件，在使用前发现需将Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四个维修点的这批配件分别调整为４０、４５、５４、６１件，但调整只能在相邻维修点之间进行，那么完成上述调整，最少的调动件次（ｎ个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为ｎ）为
（Ａ）１５（Ｂ）１６（Ｃ）１７（Ｄ）１８
答案：B；
8．设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“”（即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b)，在S中有唯一确定的元素ab与之对应）。若对于任意的a,b∈S,有a(ba)=b，则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是
（A）(ab)a=a(B)[a(ba)](ab)=a
（B）b(bb)=b（C）(ab)[b(ab)]=b
答案：A；
填空题（本题7小题，每题５分，满分3０分，其中１3，１５是选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计前两题得分）
9．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球。现分别从甲、乙两袋中各随机抽取1个球，则取出的两球是红球的概率为______(答案用分数表示)
答案：
解析：；
10．若向量满足，的夹角为60°，则=______；
答案：；
解析：，
11．在直角坐标系xOy中,有一定点A（2，1）。若线段OA的垂直平分线过抛物线的焦点，则该抛物线的准线方程是______;
答案：;
解析：OA的垂直平分线的方程是y-，令y=0得到x=;
12．如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_____条，这些直线中共有对异面直线，则；f(n)=______(答案用数字或n的解析式表示)
答案：;8;n(n-2)。
解析：;;
13．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（参数t∈R），圆C的参数方程为（参数），则圆C的圆心坐标为_______，圆心到直线l的距离为______.
答案：（0，2）；.
解析：直线的方程为x+y-6=0，d=;
14．（不等式选讲选做题）设函数则=_____；若，则x的取值范围是________；
答案：6；
15．几何证明选讲选做题］如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上一点。ＢＣ＝３，过Ｃ作圆的切线ｌ，过Ａ作ｌ的垂线ＡＤ，垂足为Ｄ，则∠ＤＡＣ＝______；线段AE的长为_______。
答案：；3。
解析：根据弦切角等于夹弧所对的圆周角及直角三角形两锐角互余，很容易得到答案；AE=EC=BC=3；
三、解答题
16．（本小题满分１2分）
已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
若c=5，求sin∠A的值；
若∠A为钝角，求c的取值范围；
解析：（1），，若c=5，则，∴，∴sin∠A＝；
（2）若∠A为钝角，则解得，∴c的取值范围是；
17．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据
ｘ ３ ４ ５ ６ ｙ ２．５ ３ ４ ４．５ 请画出上表数据的散点图；
请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出ｙ关于ｘ的线性回归方程；
已知该厂技术改造前１００吨甲产品能耗为９０吨标准煤；试根据（２）求出的线性回归方程，预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？
（3×2．5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
解析：
略；
方法1（不作要求）：设线性回归方程为，则
∴时，
取得最小值
即，∴时ｆ（ａ，ｂ）取得最小值；
所以线性回归方程为；
方法2：由系数公式可知，
，所以线性回归方程为；
（３）ｘ＝１００时，，所以预测生产１００吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低１９．６５吨标准煤．
18．（本小题满分14分）
在直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O，椭圆与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10。
（1）求圆C的方程；
（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆的右焦点F的距离等于线段OF的长，若存在求出Q的坐标；若不存在，请说明理由。
解析：（1）圆C：；
（2）由条件可知a=5，椭圆，∴F（4，0），若存在，则F在OQ的中垂线上，又O、Q在圆C上，所以O、Q关于直线CF对称；
直线CF的方程为y-1=,即，设Q（x,y），则，解得
所以存在，Q的坐标为。
19．（本小题满分14分）
如图6所示，等腰三角形△ABC的底边AB=，高CD=3，点E是线段BD上异于B、D的动点，点F在BC边上，且EF⊥AB，现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE，记BE=x，V（x）表示四棱锥P-ACEF的体积。
（1）求V(x)的表达式；
（2）当x为何值时，V(x)取得最大值？
（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。
（1）由折起的过程可知，PE⊥平面ABC，，
V(x)=（）
（2），所以时，，V(x)单调递增；时，V(x)单调递减；因此x=6时，V(x)取得最大值；
（3）过F作MF//AC交AD与M,则，PM=，
，
在△PFM中，，∴异面直线AC与PF所成角的余弦值为；
20．（本题满分14分）
已知a是实数，函数，如果函数在区间[-1，1]上有零点，求实数a的取值范围。
解析1：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，
a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.
解析2：a=0时，不符合题意，所以a≠0,又
∴=0在[-1，1]上有解，在[-1，1]上有解在[-1，1]上有解，问题转化为求函数[-1，1]上的值域；设t=3-2x，x∈[-1，1]，则，t∈[1,5],，
设，时，，此函数g(t)单调递减，时，>0,此函数g(t)单调递增，∴y的取值范围是，∴=0在[-1，1]上有解(∈或。
21．（本题满分14分）
已知函数，是方程f(x)=0的两个根，是f(x)的导数；设，（n=1,2,……）
（1）求的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有>a；
（3）记（n=1,2,……），求数列{bn}的前n项和Sn。
解析：（1）∵，是方程f(x)=0的两个根，
∴；
（2），
=，∵，∴有基本不等式可知（当且仅当时取等号），∴同，样，……，（n=1,2,……），
（3），而，即，
，同理，，又
绝密★启用前试卷类型B
2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．
参考公式：如果事件互斥，那么．
已知是正整数，则．
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（）
A． B． C． D．
2．记等差数列的前项和为，若，，则（）
A．16 B．24 C．36 D．48
一年级 二年级 三年级 女生 373 男生 377 370 3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C）
A．24 B．18 C．16 D．12 表1
4．若变量满足则的最大值是（）
A．90 B．80 C．70 D．40
5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）
6．已知命题所有有理数都是实数，命题正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）
A． B． C． D．
7．设，若函数，有大于零的极值点，则（）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，与交于点是线段的中点，的延长线与交于点．若，，则（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9~12题）
9．阅读图3的程序框图，若输入，，则输出
，．
（注：框图中的赋值符号“”也可以写成“”或“”）
10．已知（是正整数）的展开式中，的系数小于
120，则．
11．经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是．
12．已知函数，，则的最小正周期是．
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线的极坐标方程分别为，，则曲线与交点的极坐标为．
14．（不等式选讲选做题）已知，若关于的方程有实根，则的取值范围是．
15．（几何证明选讲选做题）已知是圆的切线，切点为，．是圆的直径，与圆交于点，，则圆的半径．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分13分）
已知函数，的最大值是1，其图像经过点．
（1）求的解析式；
（2）已知，且，，求的值．
17．（本小题满分13分）
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为．
（1）求的分布列；
（2）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为，一等品率提高为．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
18．（本小题满分14分）
设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．
（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．
19．（本小题满分14分）
设，函数，，，试讨论函数的单调性．
20．（本小题满分14分）
如图5所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分别是上的点，且，过点作的平行线交于．
（1）求与平面所成角的正弦值；
（2）证明：是直角三角形；
（3）当时，求的面积．
21．（本小题满分12分）
设为实数，是方程的两个实根，数列满足，，（…）．
（1）证明：，；
（2）求数列的通项公式；
（3）若，，求的前项和．
绝密★启用前试卷类型B
2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(理科)参考答案
一、选择题：CDCCADBB
1．C【解析】，而，即，
2．D【解析】，，故
3．C【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是，即总体中各个年级的人数比例为，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为
4．C5．A
6．D【解析】不难判断命题为真命题，命题为假命题，从而上述叙述中只有为真命题
7．B【解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。
8．B
二、填空题：
9．【解析】要结束程序的运算，就必须通过整除的条件运算，而同时也整除，那么的最小值应为和的最小公倍数12，即此时有。
10．【解析】按二项式定理展开的通项为，我们知道的系数为，即，也即，而是正整数，故只能取1。
11．【解析】易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。
12．【解析】，故函数的最小正周期。
二、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）
13．【解析】由解得，即两曲线的交点为。
14．
15．【解析】依题意，我们知道,由相似三角形的性质我们有,即。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．解：（1）依题意有，则，将点代入得，而，，，故；
（2）依题意有，而，
，
。
17．解：（1）的所有可能取值有6，2，1，-2；，
，
故的分布列为：
6 2 1 -2 0.63 0.25 0.1 0.02 （2）
（3）设技术革新后的三等品率为，则此时1件产品的平均利润为
依题意，，即，解得
所以三等品率最多为
18．解：（1）由得，
当得，G点的坐标为，
，，
过点G的切线方程为即，
令得，点的坐标为，
由椭圆方程得点的坐标为，即，
即椭圆和抛物线的方程分别为和；
（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,
以为直角的只有一个，同理以为直角的只有一个。
若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，
。
关于的二次方程有一大于零的解，有两解，即以为直角的有两个，
因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。
19．解：，
对于，
当时，函数在上是增函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数；
对于，
当时，函数在上是减函数；
当时，函数在上是减函数，在上是增函数。
20．解：（1）在中，
，
而PD垂直底面ABCD，
,
在中，,即为以为直角的直角三角形。
设点到面的距离为,
由有,
即，
;
(2),而,
即,，,是直角三角形；
（3）时,,
即,
的面积
21．解：（1）由求根公式，不妨设，得
，
（2）设，则，由
得，，消去，得，是方程的根，
由题意可知，
①当时，此时方程组的解记为
即、分别是公比为、的等比数列，
由等比数列性质可得,,
两式相减，得
，，
，
，即，
②当时，即方程有重根，，
即，得，不妨设，由①可知
，，
即，等式两边同时除以，得，即
数列是以1为公差的等差数列，
综上所述，
（3）把，代入，得，解得
绝密★启用前试卷类型：B
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）。
参考公式：锥体的体积公式，其中是锥体的底面积，是锥体的高
选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
１．巳知全集，集合和的关系的韦恩（Ｖenn）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有
A．３个Ｂ．２个
Ｃ．１个Ｄ．无穷个
２．设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，
Ａ．８Ｂ．６Ｃ．４Ｄ．２
３．若函数是函数的反函数，其图像经过点，则
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
４．已知等比数列满足，且，则当时，
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
5．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是
Ａ．①和②Ｂ．②和③Ｃ．.③和④Ｄ．②和④
6．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知成角，且的大小分别为２和４，则的大小为
Ａ．６Ｂ．２Ｃ．Ｄ．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
7．2010年广州亚运会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有
Ａ．36种Ｂ．12种Ｃ．18种Ｄ．48种
8．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为（如图2所示）．那么对于图中给定的，下列判断中一定正确的是
A．在时刻，甲车在乙车前面
B．时刻后，甲车在乙车后面
C．在时刻，两车的位置相同
D．时刻后，乙车在甲车前面
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（９～１２题）
９．随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则图3所示的程序框图输出的，s表示的样本的数字特征是．（注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）
１０．若平面向量满足，平行于轴，，则
11．巳知椭圆的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上一点到的两个焦点的距离之和为12，则椭圆的方程为．
12．已知离散型随机变量的分布列如右表．若，，则，．
（二）选做题（13~15题，考生只能从中选做两题）
13．（坐标系与参数方程选做题）若直线与直线（为参数）垂直，则．
14．（不等式选讲选做题）不等式的实数解为．
15．(几何证明选讲选做题）如图4，点是圆上的点，且，则圆的面积等于．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，
16．(本小题满分12分）
已知向量互相垂直，其中．
（1）求的值；
（2）若，求的值．
17．（本小题满分12分）
根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表:
对某城市一年（365天）的空气质量进行监测，获得的API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图5
（1）
（２）若曲线与点有公共点，试求的最小值．
20．（本小题满分１４分）
已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设．
（１）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值；
（２）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
21．（本小题满分１４分）
已知曲线．从点向曲线引斜率为的切线，切点为．
（１）求数列的通项公式；
（２）证明：w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
二。、填空题
（一）必做题
9.【解析】；平均数
11.【解析】或，则或
11.【解析】，，，，则所求椭圆方程为.
12.【解析】由题知，，，
解得，.
(二)选做题
13.【解析】，得.
14.【解析】且
15.【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则.
三、解答题
16.解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.
（2）∵，，∴，则，∴.
17.解：（1）由图可知，解得；
（2）；
（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率，则空气质量为良轻微污染的概率，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率.
18.解：（1）依题作点在平面内的正投影，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为
，
又面，，∴.
（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，
∴，，即，，
又，∴平面.
（3），，则，设异面直线所成角，则.
19.解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点，则，即，又点在曲线上，
∴化简可得，又点是上的任一点，且与点和点重合，即，∴中点的轨迹方程（）.
（2）曲线，
即圆：，其圆心坐标为，半径
由图可知，当时，曲线与点有公共点；
当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.
20.解：（1）设)，则；
又的图像与直线平行
，设则
当且仅当时，取得最小值，即取得最小值
当时，解得
当时，解得
（2）由)，得当时，方程有一解，函数有一零点；
当时，方程有二解，若，，函数有两个零点；若，，函数有两个零点；
当时，方程有一解,,函数有一零点当时函数有一零点；()，或（）时，
函数有两个零点时，函数有一零点：，联立得，则，∴（舍去）
，即，∴
（2）证明：∵
∴
由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，
则有，即.
绝密★启用前试卷类型：
2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
数学(科)
本试卷共4页，小题，满分分。考试用时分钟。
参考公式：锥体的体积公式V=sh其中是锥体的底面积，h是锥体的高．一、选择题：本大题共小题每小题5分满分分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符题目要求的．
{x|-2＜x＜1},B=A={x|0＜x＜2},则集合A∩B=
{x|-1＜x＜1}B.{x|-2＜x＜1}C.{x|-2＜x＜2}D.{x|0＜x＜1}
若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1`z1=
A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i
3.若函数f(x)=+与g(x)=的定义域均为R则
A．f(x)与g(x)均为偶函数B．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
C．f(x)与g(x)均为奇函数D．f(x)为偶函数．g(x)为奇函数
[来源:Zxxk.Com]
4．已知数列{}为等比数列，是它的前n项和,若=2a．，且与2的等差中项为，则=
A．35B．33C．3lD．29
”是“一元二次方程有实数解”的
充分非必要条件B.充分必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件
6.如图1，为正三角形，，则多面体的正视图(也称主视图)是
已知随机量X服从正态分布N（3,1），且P（2≤X≤4）=0.6826，则P(X＞4)=
A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585
为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯只能闪亮红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这个5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记住5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒
填空题：本大题共小题．考生作答小题．每小题5分，满分分
必做题(～13题)
函数，f(x)=lg(x-)的定义域是．若向量=(1,1)，=(，)，=(，)满足条件(—)·=-2，则x=
已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B，则sin=.
12.若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是.
某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中位居民的月均用水量分别为，…，(单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若，，分别为1，，则输出的结果s为.选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
（几何证明选讲选做题）如图3，,OAP=30°则CP=
（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（）中，曲线的极坐标为.
三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16．（本小题满分l4分）
（12分）
某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为（490,495】，（495,500】，……，（510,515】，由此得到样本的频率分布直方图，如图4
根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量,
在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列；
从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率。
[来源:学科网
18.(本小题满分14分)
如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足=，FE=
（1）证明：；
为线段上的点，，，求平面与平面所成的两面角的正弦值.
19.（本小题满分12分）
????某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐?已知一个单位的午餐含??个单位的碳水化合物，?个单位的蛋白质和?个单位的维生素；一个单位的晚餐含?个单位的碳水化合物，?个单位的蛋白质和??个单位的维生素?另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含??个单位的碳水化合物，??个单位的蛋白质和??个单位的维生素?
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是???元和?元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?
的左、右顶点分别为，点，是双曲线上不同的两个动点.
（1）求直线与交点的轨迹E的方程
（2若过点的两条直线和与轨迹E都只有一个交点，且，求的值.
21.(本小题满分14分)
设，是平面直角坐标系上的两点，现定义由点到点的一种折线距离为
对于平面上给定的不同的两点，,
(1)若点是平面上的点，试证明
（2）在平面上是否存在点，同时满足
①②
若存在，请求出所有符合条件的点，请予以证明.
答案
1.D.
2.A．
3．D．4．C．{}的公比为，即。由与2的等差中项为，．，即．．．知，．．D．．=0.3413，
=0.5-0.3413=0.1587．．．．(1,+∞)．，∴．．C．，解得．11．A+C=2B及A+B+C=180°知，B=．，即．知，，则，
，.
12．．，则，解得．13．．．．．P是AB的中点.
在中，.由相交线定理知，
，即，所以．15．．极坐标知，这两条曲线的普通方程分别为．由得点（-1，1）的极坐标为．，，，，．（2）设平面与平面RQD的交线为.
由BQ=FE,FR=FB知,.
而平面平面平面平面，
∴.
由（1）知，平面平面平面平面，
∴是平面与平面所成二面角的平面角．中，，
，．．与平面所成二面角的正弦值是．该儿童分别预订个单位的午餐和晚餐花费元。
可行域为
即
作出可行域如图所示：
经试验发现，当时，花费最少元．，即。
（2）设，则由知，。
将代入得
，即，
由与E只有一个交点知，，即[来源:学.科.网][来源:学科网ZXXK]
。
同理，由与E只有一个交点知，，消去得，即，从而
，即。
21．（本小题满分14分）
设A(),B()是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的一种折线距离p(A,B)为.
当且仅当时等号成立，即三点共线时等号成立.
（2）当点C(x,y)同时满足①P+P=P，②P=P时，点是线段的中点.，即存在点满足条件。
试卷类型：A
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）
数学（理科）
线性回归方程中系数计算公式
其中表示样本均值。
N是正整数，则…）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，其中为虚数单位，则=A．B.C.Ｄ．
2．已知集合?∣为实数，且，为实数，且，则的元素个数为Ａ．0Ｂ．1Ｃ．2Ｄ．3
3.若向量ａ，ｂ，ｃ满足ａ∥ｂ且ａ⊥ｂ，则Ａ．4Ｂ．3Ｃ．2Ｄ．0
4.设函数和分别是Ｒ上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是Ａ．是偶函数Ｂ．是奇函数
Ｃ．是偶函数Ｄ．是奇函数
5.在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若为上的动点，点的坐标为，则的最大值为A．B．C．4D．3
6.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A．B．C．D．
7.如图1－3，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为
A.B.C.D.
8.设S是整数集Z的非空子集，如果有，则称S关于数的乘法是封闭的.若T,V是Z的两个不相交的非空子集，且有有，则下列结论恒成立的是A.中至少有一个关于乘法是封闭的
B.中至多有一个关于乘法是封闭的
C.中有且只有一个关于乘法是封闭的
D.中每一个关于乘法都是封闭的
填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
(一）必做题（9-13题）
9.不等式的解集是.
10.的展开式中，的系数是84（用数字作答）
11.等差数列前9项的和等于前4项的和.若，则k=_____10_______.
12.函数在x=____2________处取得极小值。
13.某数学老师身高176cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为__185___cm.
选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14.（坐标系与参数方程选做题）已知两面线参数方程分别为和，它们的交点坐标为___________.
15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆外一点分别作圆的切线
和割线交圆于,，且=7，是圆上一点使得=5，
∠=∠,则=。
3.解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
（本小题满分12分）
已知函数
求的值；
设求的值.16．解：(1);
(2)，，又，，
，，
又，，
.
17.为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号 1 2 3 4 5 x 169 178 166 175 180 y 75 80 77 70 81 已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
当产品中的微量元素x,y满足x≥175，且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值（即数学期望）。17．解：（1）乙厂生产的产品总数为；
（2）样品中优等品的频率为，乙厂生产的优等品的数量为；
（3），，的分布列为
0 1 2 均值.
18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中，ABCD是边长为1的棱形，
且∠DAB=60，,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1)证明：AD平面DEF;
(2)求二面角P-AD-B的余弦值.
18.解：(1)取AD的中点G，又PA=PD，，
由题意知ΔABC是等边三角形，，
又PG,BG是平面PGB的两条相交直线，
，
，
，
(2)由（1）知为二面角的平面角，
在中，；在中，；
在中，.
19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切。
（1）求圆C的圆心轨迹L的方程;
（2）已知点M，且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.
19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为、，
由题意得或，
，
可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线，设方程为，则
，所以轨迹L的方程为．
（２）∵，仅当时，取＂＝＂，
由知直线，联立并整理得解得或，此时
所以最大值等于2，此时．
20.（本小题共14分）
设b>0,数列满足a1=b，.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n，
20．解（１）法一：，得，
设，则，
（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，
即，∴
（ⅱ）当时，设，则，
令，得，，
知是等比数列，，又，
，．
法二：（ⅰ）当时，是以为首项，为公差的等差数列，
即，∴
（ⅱ）当时，，，，
猜想，下面用数学归纳法证明：
①当时，猜想显然成立；
②假设当时，，则
，
所以当时，猜想成立，
由①②知，，．
（２）（ⅰ）当时，，故时，命题成立；
（ⅱ）当时，，
，
，以上n个式子相加得
，
．故当时，命题成立；
综上（ⅰ）（ⅱ）知命题成立．
21.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:.实数p，q满足，x1，x2是方程的两根，记。
（1）过点作L的切线教y轴于点B.证明：对线段AB上任一点Q(p，q)有
（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0.过M(a，b)作L的两条切线，切点分别为，与y轴分别交与F,F''。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明：M(a,b)X;
（3）设D={(x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时，求的最小值（记为）和最大值（记为）.21．解：（１），
直线AB的方程为，即，
，方程的判别式，
两根或，
，，又，
，得，
．
（２）由知点在抛物线L的下方，
①当时，作图可知，若，则，得；
若，显然有点；．
②当时，点在第二象限，
作图可知，若，则，且；
若，显然有点；
．
根据曲线的对称性可知，当时，，
综上所述，（）；
由（１）知点M在直线EF上，方程的两根或，
同理点M在直线上，方程的两根或，
若，则不比、、小，
，又，
；又由（１）知，；
，综合（）式，得证．
（３）联立，得交点，可知，
过点作抛物线L的切线，设切点为，则，
得，解得，
又，即，
，设，，
，又，；
，，
．
2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）A
数学（理科）
本试卷共4页，21题，满分150分。考试用时120分钟。
参考公式：体的体积公式，其中为柱体的底面积，为柱体的高。
锥体的体积公式为，其中为锥体的底面积，为锥体的高。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
设为虚数单位，则复数=
A．B．C．D．
设集合，则
A．B．C．D．
若向量，，则
A．B．C．D．
下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是
A．B．C．D．
已知变量满足约束条件，则的最大值为
A．12B．11C．3D．1
【答案】B
某几何体的三视图如图1所示，它的体积为
A．12πB．45πC．57πD．81π
从个位数与十位数之和为奇数的两位数种任取一个，其个位数万恶哦0的概率是
．B．C．D．
对任意两个非零的平面向量α和β，定义。若平面向量满足，与的夹角，且和都在集合中，则=
A．B.1C.D.
【解析】：因为，
且和都在集合中
，，所以
所以，故有
【答案】B
二、填空题：本大题共7小题，考生答6小题，每小题5分，满分30分。
（一）必做题（9-13题）
不等式的解集为_____。
的展开式中的系数为______。（用数字作答）
已知递增的等差数列满足，则=____。
曲线在点（1，3）处的切线方程为。
执行如图2所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出s的值为。
【答案】8
（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）
14，（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，曲线和的参数方程分别为
（为参数）和（为参数），则曲线和的交点坐标为_______。
15.（几何证明选讲选做题）如图3，圆的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A做圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA=_____________。
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知函数，（其中，）的最小正周期为10π。
（1）求的值；
（2）设，，求的值。
；（2）
17.（本小题满分13分）
某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：40,50]，[50,60]，[60,70]，[70,80]，[80,90]，[90,100]。
（1）求图中的值；
（2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求得数学期望。
；（2）
0 1 2
18.（本小题满分13分）
如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE。
证明：BD⊥平面PAC；
若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；
19.（本小题满分14分）
设数列的前项和为，满足，且，，成等差数列。
求的值；
求数列的通项公式。
证明：对一切正整数，有.
；（2）；
（3）当时
又因为
所以，
所以，
所以，
20.（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，且椭圆上的点到的距离的最大值为3
（1）求椭圆的方程；
（2）在椭圆上，是否存在点使得直线：与圆O：相交于不同的两点，且的面积最大？若存在，求出点的坐标及相对应的的面积；若不存在，请说明理由。
，所以
设是椭圆上任意一点，则，所以
所以，当时，有最大值，可得，所以
故椭圆的方程为：
（2）因为在椭圆上，
设，
由，得
所以，，可得
并且：，
所以，
所以，
设点O到直线AB的距离为，则
所以
设，由，得，所以，
，
所以，当时，面积最大，最大为。
此时，
21.（本小题满分14分）
设，集合，。
（1）求集合（用区间表示）
（2）求函数在内的极值点。
判别式
因为，所以
当时，，此时，所以；
当时，，此时，所以；
当时，，设方程的两根为且，则
，
当时，，，所以
此时，
当时，，所以
此时，
（2），
所以函数在区间上为减函数，在区间和上为增函数
当时，因为，所以在D内没有极值点；
当时，，所以在D内有极大值点；
当时，
由，很容易得到
（可以用作差法，也可以用分析法）
所以，在D内有极大值点；
当时，
由，很容易得到
此时，在D内没有极值点。
综上：当或时，在D内没有极值点；
当时，在D内有极大值点。
E
F
D
I
A
H
G
B
C
E
F
D
A
B
C
侧视
图1
图2
B
E
A．
B
E
B．
B
E
C．
B
E
D．
开始
n整除a?
是
输入
结束
输出
图3
否
A
y
x
O
B
G
F
F1
图4
F
C
P
G
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A
B
图5
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