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书山有路勤为径1
高中数学必做100题—必修2
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（说明：《必修2》部分共精选12题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.必修2》精选）
1.圆锥底面半径为1cm，高为2cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长.（☆P3例3）
解：过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆锥
的轴截面SEF，正方体对角面CDD1C1，如图所示.…………………2分
设正方体棱长为x，则CC1=x，C1D12x?。
作SO?EF于O，则SO2?，OE=1，……………………………….5分
1~ECCEOS??，∴11CCECSOEO?，即1(2/2)12xx??………..10分
∴2()2xcm?，即内接正方体棱长为22cm……………………….12分
2.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积
和体积.（☆P15例2）
解：由题意知,所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面.……………………………………….3分
S半球=8π，S圆台侧=35π，S圆台底=25π.
故所求几何体的表面积为68π………………………………………..7分
由22221[2255523V????????????????
圆台（）（）]4
，………9分
341162323V??????半球…………………………………………….11分
所以，旋转体的体积为31614052)33VVcm???????
圆台半球(
……12分
3.直角三角形三边长分别是3cm、4cm、5cm，绕三边旋转一周分别形
成三个几何体.想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积和体积.（◎P36
10）
解：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分别为：
…………………………………………………………………………………………………………..2分
其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为2112842(34)()255Scm????????；-----------------3分
BC
AD
4
5
2
S
D
EOC1
C
FD1
BC
AD
4
5
2
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学海无涯苦作舟2
体积为2311248()5()355Vcm??????。………………………………………………….4分
同理可求得当绕3cm边旋转时，236(),Scm??316()Vcm??。…………………….8分
得当绕4cm边旋转时，224(),Scm??312()Vcm??。……………………………….12分
（图形略）
4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且2
3CFCGCBCD??
.
求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.（☆P21例3）
证明：（1）在△ABD和△CBD中，
∵E、H分别是AB和CD的中点，∴EH//1
2
BD…………….3分
又∵23CFCGCBCD??，∴FG//23BD.
∴EH∥FG.分
所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分
（2）由（1）可知，EH∥FG，且EH?FG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P.……………………………9分
∵AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P?AC.………………………11分
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分
5.如图，?∥?∥?，直线a与b分别交?,?,?于点,,ABC和点,,DEF，
求证：ABDEBCEF?.（◎P63B3）
证明：连结AF，交?于G，连,,BGEG…………3分
则由//??得.ABAGBCGF?……………………7分
由//??得,AGDEGFEF?………………..10分
所以.ABDEBCEF?………………………..12分
6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中.（◎P79B2）
求证：（1）B1D⊥平面A1C1B；（2）B1D与平面A1C1B的交点设为H，则点H是△A1C1B的垂心.
证明：（1）连11BD，1111BDAC?，又1DD?面1111ABCD，
所以1DD?11AC，11AC?面11DDB，因此111ACBD?。
同理可证11BDAB?，所以B1D⊥平面A1C1B。……6分
（2）连11,,AHBHCH，由11111ABBBCB??，得
11AHBHCH??，因此点H为11ABC?的外心。
又11ABC?为正三角形，所以H是11ABC?的中心，
也是11ABC?的重心。………….………………….12分
7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥PABCD?中，ABAC?，PA?平面ABCD，
且PAAB?，点E是PD的中点.
（1）求证：ACPB?；（2）求证：//PB平面AEC；（3）求二面角EACB??的大小.（☆P389）
A
BC
DE
F
G
H
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解：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴AB是PB在平面ABCD上的射影.
又∵AB⊥AC，AC?平面ABCD，∴AC⊥PB.……4分
（2）连接BD，与AC相交于O，连接EO.
∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点
又E是PD的中点，∴EO∥PB.
又PB?平面AEC，EO?平面AEC，
∴PB∥平面AEC……………………………..8分
（3）
//ACPBEOACPBEO??????
取AD的中点F，BC的中点G，连FG，则//FGABFGAC
ABAC??????
所以EOG?是所求二面角的平面角，且EOF?与PBA?对应相等。
易知045,PBA??由图可知，0135EOG??为所求。……………12分
8.已知(1,1)A?，(2,2)B，(3,0)C，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．（◎P908）
解：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率KＡＢ＝３，……………2分.
直线ＣＤ的斜率KＣＤ＝3yx?，直线ＣＢ的斜率KＣＢ＝－２，直线ＡＤ的斜率KＡＤ＝11yx??。
……………………………………………………………………………8分
由CD⊥AB，且CB∥AD，得3103
112
1
y
xx
yy
x
?????
???????
??????
???
，………11分
所以点Ｄ的坐标是（０，１）……………………………………..12分
9.求过点(2,3)P，并且在两轴上的截距相等的直线方程.（◎P1009）
解：因为直线ｌ经过点Ｐ（２，３），且在ｘ轴，ｙ轴上的截距相等，所以
（１）当直线l过原点时，它的方程为320xy??；……………………………5分
（２）当直线不过原点时，设它的方程为1,xyaa??由已知得2315aaa????，
所以，直线l的方程为50xy???。……………………………………….11分
综上，直线l的方程为320xy??，或者50xy???。……………..12分
10.三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）.（◎P101B1）
（1）求BC边上的高所在直线的方程；（2）求BC边上的中线所在直线的方程；
（3）求BC边的垂直平分线的方程．
解：（１）2,3
BCk?
所以ＢＣ边上的高所在直线l的斜率为2,3
lk??
又l过点(4,0)A，所以直线l的方程为
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3(4),2yx???即32120xy???；……………………………..4分
（２）BC中点坐标为E(3,5),所以AE所在直线的方程为04,5034yx???即5200xy???。..8分
（3）易知35(3)
2yx????
即32190xy???为所求。…………………………………….12分
11.在x轴上求一点P，使以点(1,2)A、(3,4)B和点P为顶点的三角形的面积为10.（◎P110B5）
解：依设，22AB?，直线AB的方程是21104231yxxy???????。……….3分
在PAB?中，设AB边上的高为h，则12210522hh????，…………..7分
设(,0)Px，则P到AB的距离为1,
2x?
所以152
2x??
，…………….10分
解得9,x?或11x??。……………………………….11分
所以，所求点的坐标是(9,0)，或(11,0)?。…….12分
12.过点(3,0)P有一条直线l，它夹在两条直线1:220lxy???与
2:30lxy???之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程.（◎P115B8）
解：如图，设直线l夹在直线12,ll之间的部分是AB，且ＡＢ被(3,0)P平分。
设点Ａ，Ｂ的坐标分别是1122(,),(,)xyxy，则有12
12
60xxyy???????，………4分
又Ａ，Ｂ两点分别在直线12,ll上，所以11
22
22030xyxy?????????。…………..8分
由上述四个式子得
111116,33xy??
，即Ａ点坐标是1116(,)33，……….11分
所以由两点式的ＡＢ即l的方程为8240xy???。………………….12分
13.ABC?的三个顶点的坐标分别是(5,1)A、(7,3)B?、；(2,8)C?，求它的外接圆的方程.（◎P119例2）
解：设所求圆的方程为222()()xaybr????，…………….2分
则依设有
222
222
2222
(5)(1)2
(7)(3)3
(2)(8)25
abra
abrb
abrr
?????????
????????????
????????
。……………11分
所以，22(2)(3)25xy????为所求。……………………….12分
14.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆22(1)4xy???上运动，求线段AB的中点轨迹方
程.（◎P122例5）
解：圆22(1)4xy???的圆心为P(-1,0)，半径长为2，………….4分
线段AB中点为M(x,y).……………………………………5分
取PB中点N,其坐标为(142??,032?)，即N(32,32)…….7分分
∵M、N为AB、PB的中点,
∴MN∥PA且MN=12PA=1.……………………………….9分
N
M(x,y)
A
y
xP
B(4,3)
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∴动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆.
所求轨迹方程为：2233()()1xy????……………..12分
15.过点(3,3)M??的直线l被圆224210xyy????所截得的弦长为45，求直线l方程.（◎P127例2）
解：由22224210(2)25xyyxy????????，所以圆心坐标为(0,2)?，半径5r?。……..3分
因为直线l被圆所截得的弦长是45，所以弦心距为22455()5
2??
，……………….5分
因为直线l过点(3,3)M??，所以可设所求直线l的方程为3(3)ykx???，即330kxyk????。….7分
依设得
12223315,221kkkk????????
。………………………………………………………..10分
所以，所求直线有两条，它们分别为
13(3)2yx????或32(3)yx???。即290xy???或230xy???。………………………..12分
16.求圆心在直线40xy???上，并且经过圆22640xyx????与圆226280xyy????的交点的圆的
方程.（◎P1324）
解法一：设两圆交点为Ａ，Ｂ，由方程组22
22
6401.63,26280xyxxyxyy?????????????????????
?
，所以(1,3),(6,2)AB???，
崩离析…………5分
因此ＡＢ的中垂线方程为30xy???。由
1
302
407
2
xxy
xyy
???
????????
???????
??
，所求圆心Ｃ的坐标是17(,)22?。
…………9分
892CA?，……………………10分
所以，所求圆的方程为221789()(),222xy????即227320.xyxy?????…………12…………5分
解法二：设过圆22640xyx????与圆226280xyy????交点的圆的方程为
2264xyx????22(628)0xyy?????，………………………………………………………4分
即22(1)(1)664280.xyxy????????????………………………………………………….6分
其圆心坐标是33(,)11???????，…………………………………………………………………….8分
因为圆心在40xy???上，所以33()4011??????????，解得7???。………………10分
所以，所求的圆的方程为2264xyx???227(628)0xyy?????，即227320.xyxy?????。
………………………………….12分
答案整理：周志明
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