Gothedistance
书山有路勤为径1
高中数学必做100题—选修1-1
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（说明：《选修1-1》部分共精选12题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.选修1-1》精选）
1.已知4:22
3xp????
,22:210(0)qxxmm?????,若qp??是的必要不充分条件，求实数m的取
值范围.（☆P69）
解：∵﹁p是﹁q必要不充分条件，∴qp???，即pq?.……（3分）
解4:22
3xp????
得210x???，即：:210px???.……（6分）
解22:210qxxm????变形为[(1)][(1)]0xmxm?????，解得11mxm????，
即:11qmxm????.……（9分）
由pq?，则12
110mm????????
，解得9m?.
所以实数m的取值范围9m?。……（12分）
2.点(,)Mxy与定点(4,0)F的距离和它到直线25:4lx?的距离的比是常数45，求M的轨迹.（◎P41例6）
解：设d是点M到直线25:4lx?的距离，根据题意得，点M的轨迹就是集合4
5MFPMd??????????
，……
（4分）
由此得22(4)4
255
4
xy
x
???
?
。将上式两边平方，并化简，得22925225xy??。即221259xy??。……（9分）
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。.……（12分）
3.双曲线的离心率等于52，且与椭圆22194xy??有公共焦点，求此双曲线的方程.（◎P684）
解：椭圆22194xy??焦点为(5,0)F?，根据题意得双曲线的焦点为(5,0)F?，……（3分）
设双曲线的标准方程为221xyab??，且有5c?。……（6分）
又由52cea??，得2a?，得222541bca?????，……（10分）
所求双曲线的方程为2214xy??。……（2分）
4.倾斜角为4?的直线l经过抛物线24yx?的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长.（◎
P61例4）
解：设1122(,),(,)AxyBxy，,AB到准线的距离分别为,ABdd，
由抛物线的定义可知121,1ABAFdxBFdx??????，于是122ABAFBFxx?????。……（3
分）
由已知得抛物线的焦点为(1,0)F，斜率tan14k???，所以直线AB方程为1yx??。……（6分）
高中数学必做100题◆选修1-1
学海无涯苦作舟2
将1yx??代入方程24yx?，得2(1)4xx??，化简得2610xx???。由求根公式得
12322,322xx????，……（9分）
于是1228ABxx????。所以，线段AB的长是8。……（12分）
5.当?从0?到180?变化时，方程22cos1xy???表示的曲线的形状怎样变换？
解：当0???时，cos01??，方程221xy??表示圆心在原点的单位圆。……（3分）
当900?????时，1cos0???，方程22cos1xy???表示圆心在原点的单位圆。……（5分）
当90???时，cos900??，方程21x?，得1x??表示与y轴平行的两条直线。……（7分）
当18090?????时，cos0??，方程22cos1xy???表示焦点在x轴上的双曲线。……（9分）
当180???时，cos1801???，方程221xy??表示焦点在x轴上的等轴双曲线。……（12分）
6.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？
解：（1）设抛物线方程22xpy??.……（2分）
由题意可知，抛物线过点(26,6.5)?，代入抛物线方程，得
22613p?，解得52p?，
所以抛物线方程为2104xy??.……（6分）
（2）把2x?代入，求得126y??.……（9分）
而16.560.526???，所以木排能安全通过此桥.……（12分）
7.已知椭圆C的焦点分别为F1（22?，0）和F2（22，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于
A、B两点.求：（1）线段AB的中点坐标；（2）弦AB的长.
解：设椭圆C的方程为221xyab??，由题意a=3，c=22，于是b=22ac?=1.……（3分）
∴椭圆C的方程为29x＋y2＝1．……（5分）
联立方程组2
2
2
19
yx
xy
????
????
?
，消y得10x2＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1＋x2＝185?，故线段AB的中点坐标为（91,55?）．……（12分）
8.在抛物线24yx?上求一点P，使得点P到直线:40lxy???的距离最短,并求最短距离.
解：设与直线:40lxy???平行，且与抛物线24yx?相切的直线为0xyk???.……（3分）
由
2
04xykyx??????
?
，消x得2440yyk???.……（5分）
∴24160k????，解得1k?，即切线为10xy???.……（7分）
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由
2
104xyyx??????
?
，解得点(1,2)P.……（9分）
∴最短距离
22
|41|32211d????.……（12分）
9.点M是椭圆2216436xy??上的一点，F1、F2是左右焦点，∠F1MF2=60o，求△F1MF2
的面积.
解：由2216436xy??，得a=8，b=6，2227cab???.……（3分）
根据椭圆定义，有12||||216MFMFa???.……（5分）
在△F1MF2中，由余弦定理，得到
22212121212||||||2||||cosFFMFMFMFMFFMF????.
即2221212(47)||||2||||cos60MFMFMFMF????，……（7分）
22221212121212112||||||||(||||)3||||163||||MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF????????，
解得12||||48MFMF?.……（10分）
△F1MF2的面积为：
121211||||sin48sin6012322SMFMFFMF???????
.……（12分）
10.（06年江苏卷）已知三点P（5，2）、1F（－6，0）、2F（6，0）.（☆P21例4）
（1）求以1F、2F为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（2）设点P、1F、2F关于直线y＝x的对称点分别
为P?、''1F、''2F，求以''1F、''2F为焦点且过点P?的双曲线的标准方程。
解：（1）设所求椭圆方程为221xyab??(a>b>0),其半焦距c=6，……（2分）
22221221121265aPFPF???????……（4分）
∴35a?,b2=a2-c2=9.所以所求椭圆的标准方程为221459xy??．……（6分）
（2）点P(5,2)、F1(-6,0)、F2(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P，(2，5)、F1，(0，-6)、F2，(0，6).……
（8分）
设所求双曲线的标准方程为22
11111(0,0)yxabab????
，由题意知，半焦距c1=6，
222211221121245aPFPF???????????，125a?,b1
2=c
1
2-a
1
2=36-20=16.
所以，所求双曲线的标准方程为2212016yx??．……（12分）
11.已知函数()xfxxe?（e为自然对数的底）.
（1）求函数()fx的单调递增区间；
（2）求曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程.
F1MOF2
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解：()()(1)xxfxxefxex?????，因此有……（3分）
（1）令()01fxx?????，即函数()fx的单调递增区间是(1,)???；……（6分）
（2）因为(1)fe?，(1)2fe??，……（9分）
所以曲线()yfx?在点(1,(1))f处的切线方程为
2(1)yeex???，即20exye???.……（12分）
12.设函数321()233fxxxx????.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)的极大值和极小值.
解：∵f′(x)=－x2+4x－3=－(x－3)(x－1),……（2分）
（1）由f′(x)>0，解得：13，
则函数f(x)的单调递增区间为（1,3），单调递减区间为（－∞，1）和（3，+∞）.……（6分）
（2）由f′(x)=0，解得：x=1或x=3.列表如下：……（9分）
x(－∞，1)1(1,3)3(3,+∞)
f′(x)—0+0—
f(x)单调递减↘－43单调递增↗0单调递减↘
∴函数f(x)的极大值为0，极小值为－43.……（12分）
13.（06年福建卷）已知函数
26()axfxxb???
的图象在点(1,(1))Mf??处的切线方程为250xy???.
（1）求函数()yfx?的解析式；（2）求函数()yfx?的单调区间.（☆P508）
解：（1）
26()axfxxb???
，2
22()2(6)()()axbxaxfxxb???????
.……（2分）
又函数()fx的图象在点(1,(1))Mf??处的切线方程为x+2y+5=0，……（4分）
?12(1)50,f?????1(1)2,(1).2ff???????即2,3,ab??解得(10,1)bb????舍去
?所求函数解析式为
226()3xfxx???
.……（6分）
（2）2
222126().(3)xxfxx??????
?()0,fx??令解得12323,323.xx????……（8分）
当323x??或323x??时，()0;fx??当323323x????时，()0.fx??
226()3xfxx????
在(,323)???和(323,)???内是减函数，在(323,323)??内是增函数.……（12
分）
14.已知a为实数，2()(4)()fxxxa???，（1）求导数''()fx；
（2）若''(1)0f??，求()fx在??2,2?上的最大值和最小值；
（3）若()fx在(,2)???和??2,??上都是增函数，求a的取值范围.（☆P45例3）
解：（1）因为2()(4)()fxxxa???=3244xaxxa???，所以''2()324fxxax???.……（3分）
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书山有路勤为径5
（2）由''(1)0f??，得12a?，此时有21()(4)(),
2fxxx???
所以''2()34fxxx???……（5分）
由''()0fx?，得43x?或1x??,又因为4509(),(1),(2)0,(2)03272ffff???????，
所以()fx在??2,2?上的最大值为92，最小值为5027?.……（8分）
（3）''2()324fxxax???的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.
由条件得''''(2)0,(2)0,ff???即480
840aa???????
，解得22a???.所以a的取值范围为??2,2?.……（12
分）
15.（2005年全国卷III.文）用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别
截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积
最大?最大容积是多少?（☆P47例1）
解：设容器的高为x，容器的体积为V，……（1分）
则V=（90-2x）（48-2x）x，（0
=4x3-276x2+4320x
∵V′=12x2-552x+4320
令V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36.……（8分）
∵令V′>0得x>36或x<10；令V′<0得10
?函数在(0,10)上递增，在(10,24)上递减.?当x=10时，V有极大值(10)V=19600.
又(0)V=0，(24)V=0，所以当x=10时，V有最大值(10)V=19600cm3.……（12分）
16.（2006年江西卷）已知函数()fx32xaxbxc????在2
3x??
与1x?时都取得极值，（☆P49例2）
（1）求a、b的值与函数()fx的单调区间.
（2）若对??1,2x??时，不等式2()fxc?恒成立，求c的取值范围.
解：（1）()fx32xaxbxc????，''2()32fxxaxb????.……（3分）
由''2()
3f?124093ab????
，''(1)f320ab????得a＝1
2－
，b＝－2
''2()32(32)(1)fxxxxx??????，?当x变化时，''()fx、()fx的变化情况如下表：
x2(,)3???
23?2(,1)3?
1(1,)??
''()fx＋0－0＋
()fx?极大值2227c?极小值32c??
?函数()fx的递增区间是（－?，－23）和（1，＋?）；递减区间是（－23，1）.……（6分）
（2）()fx＝x3－1
2
x2－2x＋c??1,2x??，……（8分）
高中数学必做100题◆选修1-1
学海无涯苦作舟6
又2()
3f?
＝22
27c?
，3(1)
2fc??
，1(1)
2fc???
，(2)f＝c+2.
?(2)f＝c+2为最大值.……（10分）
要使2()fxc?在??1,2x??恒成立，只需2(2)cf?＝c+2，解得c?－1或c?2.……（12分）
答案整理：贺联梅
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