Gothedistance
书山有路勤为径1
高中数学必做100题—选修1-2
班级：姓名：
（说明：《选修1-2》部分共精选8题，“◎”表示教材精选，“☆”表示《精讲精练.选修1-2》精选）
1.考点：①会画散点图②能利用公式求线性回归方程
某种产品的广告费用支出x（万元）与销售额y（万元）之间有如下的对应数据：
（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入y的值．
参考公式：回归直线的方程abxy???，其中11
222
11
()()
,
()
nn
iiii
ii
nn
ii
ii
xxyyxynxy
baybx
xxxnx
??
??
???
????
??
??
??
.
解：（1）作出散点图如下图所示：
（2）1(24568)55x???????，1(3040605070)505y???????，
2145ix??，213500iy??，1380iixy??.
222
5138055506.514555
5iii
xyxyb
xx
?????????
???
，506.5517.5aybx??????．
因此回归直线方程为6.517.5yx??；
（3）9x?时，预报y的值为96.517.576y????（万元）．
2.考点：①会根据数据绘制22?列连表②能利用公式判断两个量之间的相关性（独立性检验）
甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36
人，乙班及格人数为24人.
（1）根据以上数据建立一个22?的列联表；
（2）试判断是否成绩与班级是否有关？（◎P17练习改编）
参考公式：22()
()()()()nadbcKabcdacbd??????
；nabcd????
P(K2>k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001
k0.4550.7081.3232.0722.7063.845.0246.6357.87910.83
解：（1）2×2列联表如下：
不及格及格总计
甲班4()a36()b40
乙班16()c24()d40
总计206080
（2）222()80(4241636)9.6
()()()()40402060nadbcKabcdacbd???????????????
x24568
y3040605070
高中数学必做100题◆必修4
学海无涯苦作舟2
由2(7.879)0.005PK??，所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.
3.考点：合情推理及证明
已知1()
33xfx??
，分别求(0)(1)ff?，(1)(2)ff??，(2)(3)ff??，然后归纳猜想一般性结论，并
证明你的结论.
解：由1()
33xfx??
，得
01113(0)(1)33333ff??????
；
12113(1)(2)33333ff????????
；
23113(2)(3)33333ff????????
.
归纳猜想一般性结论为3()(1)3fxfx????.
证明如下：
11
111
3
3
1131()(1)
333313333
331331331
3333333(133)
x
xxxx
xxx
xxxx
fxfx???
????
???????????
??????
????
4.（同上）考点：合情推理及证明
（1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a，b，c，则三角形的面积1()2Srabc???，根据类
比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分别为1234,,,SSSS，则此四面体的体积V=.
（2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设ABC?的两边,ABAC互相垂直，则
222ABACBC??.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的
关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD?的三侧面,,ABCACDADB两两垂直，则.”
解：（1）设四面体内切球的球心为O，则球心O到四个面1234,,,SSSS的距离都是R，所以四面体的体积
等于以O为顶点，分别以1234,,,SSSS为底面的四个三棱锥体积的和.
所以，
12341()3VRSSSS????
.
（2）线的关系类比到面的关系，猜测：2222BCDABCACDADBSSSS???????.证明如下：
如图作AECD?连BE，则BECD?.
222222222111()()444BCDSCDBECDABAEACADAB???????2ACDS???222ABCACDADBSSS?????
5.考点：综合法、分析法、反证法的步骤和格式
试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论：已知01a??，则1491aa???.
解：【分析法】：141399
1(1)aaaaa????????
2
0139(1)(31)0aaaaa??????????
?
【反证法】：假设1491aa???，通分得139
(1)aaa???
.
∵01a??，∴139(1)aaa???，整理得2(31)0a??，这与平方数不小于0矛盾.
Gothedistance
书山有路勤为径3
∴假设不成立，则1491aa???.
【综合法】：由2(31)0a??，变形得139(1)aaa???.
∵01a??，∴139
(1)aaa???
，即1491aa???.
6．考点：证明方法的合理利用
已知,()
2xykkZ?????
，sinsinx?是，cos?的等差中项，siny是sin,cos??的等比中项.
求证：（1）1cos2cos2
2xy?
；（2）222(1tan)1tan
1tan1tanxy?????
.（☆P189，◎P43例6）
6.证明：（1）∵sin?与cos?的等差中项是sinx，等比中项是siny，
∴sincos2sinx????，①2sincossiny???，②
①2－②×2，可得222(sincos)2sincos4sin2sinxy????????，即224sin2sin1xy??.
∴1cos21cos2421
22xy??????
，即22cos2(1cos2)1xy????.故证得cos2cos2
2xy?
.
（2）要证221tan1tan
1tan2(1tan)xy?????
，只需证
22
22
22
sinsin11
coscos
sinsin12(1)
coscos
yx
yx
xy
??
?
??
，
即证2222
2222cossincossincossin2(cossin)xxyyxxyy?????
，即证22221cossin(cossin)
2xxyy???
，只需证1cos2cos2
2xy?
.
由（1）的结论，1cos2cos2
2xy?
显然成立.所以，222(1tan)1tan
1tan1tanxy?????
.
7.考点：①复数的运算②复数的共轭
（1）已知1510zi??，234zi??，
12
111zzz??，求z.（◎P653）
（2）已知(12)43izi???，求z及z
z
.（◎P65B1）
解：（1）
1
1151012510(510)(510)25iiziii????????，
2
11343425izi????
12
114225izz????，故2525(42)5542202izii??????
（2）431052125iizii???????
2342,
25ziiziiz????????
8.考点：复数的几何意义（对应复平面上的点）
已知z是复数，z+2i、2zi?均为实数，且复数2()zai?在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值
范围.
解：根据题意，设复数z=c+di,
则z+2i=c+(d+2)i为实数，即20,2dd????解得,解得所以2zci??.
高中数学必做100题◆必修4
学海无涯苦作舟4
又222(4)
225zcicciii????????
为实数，即40,4,42
5cczi?????解得所以
.
而222()(42)16(2)8(2)zaiiaiaai?????????对应的点在第一象限，
22616(2)0
28(2)0aaaa??????????????????
,解得2
所以实数a的取值范围是2
9.考点：利用空间向量解决立体几何问题（涉及空间直角坐标系的建立、空间点坐标的表示、空间向量
数量积的运算、平面向量定理、空间向量垂直的判定）
如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，cosDP?，AE）33?．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；
（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．
解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）.
设P（0，0，2m），则E（1，1，m）.
∴AE?（-1，1，m），DP＝（0，0，2m），
∴cosDP?，2
2
233112mAEmm??????，解得1m?.
∴点E坐标是（1，1，1）.
（2）∵F?平面PAD，∴可设F（x，0，z）EF?＝（x-1，-1，z-1）.
∵EF⊥平面PCB，∴EFCB??(1x?，-1，1)z?(?2，0，0)01x???.
∵EFPC?，∴(1x?，-1，1)(z??0，2，-2)00z???.
∴点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．
另解：由平面向量定理，设DFaDPbDA??，即(2,0,2),(21,1,21)FbaEFba?????
0420
24200EFBCbEFPCBaEFPC??????????????????????面
0
1
2
a
b
???
???
?
，即??1,0,0F
10.考点：①求概率②求随机变量的分布列和期望
（07年北京高考.理18）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）．该
校合唱团共有100名学生，他们参加活动的次数统计如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团中任选两名学生，用?表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量?的分布列及
数学期望E?．
解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、
50和40．
（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为
1102503402302.3100100???????．
123
10
20
30
40
50
参加人数
活动次数
Gothedistance
书山有路勤为径5
（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
010950494039411009999P????????
．
（3）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这
两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加
3次活动”为事件C．易知
(1)()()PPAPB????11111050504024
100100
5099CCCCCC???；
(2)()PPC???1110402
100
899CCC??；
?的分布列：
?012
P41995099899
?的数学期望：4150820129999993E????????．
11.考点：数学归纳法（步骤）
数列??na满足2,nnSnanN????．（nS为前n项和）
（1）计算1234,,,aaaa，并由此猜想na；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．
解：（1）1112asa???，11a??,
212222saaa?????，
232a??
,3123323saaaa??????，
374a??
,
434,43424ssaasa???????，4158a?,
猜想
112()2nnanN????
.
（2）证明：①当n=1时，
111121112a??????
，猜想结论成立.
②假设当(1)nkk??时结论成立，即
1122kka???
.
当n=k+1时11kkkass????=21(1)2kkkaka?????，
122kkaa???，
112kkaa???
=
(1)11111222kk??????
.
所以当n=k+1时，猜想结论成立.
由（1）和（2）可知，对一切()nnN?结论成立.
12.考点：绝对值不等式（涉及分段函数的图像）
（2007年宁夏、海南.理）设函数()214fxxx????．
（1）解不等式()2fx?；
（2）求函数()yfx?的最小值．
解：（1）令214yxx????，则
高中数学必做100题◆必修4
学海无涯苦作舟6
15
2
1334
2
54
xx
yxx
xx
????
?
?
??????
?
?
??
??
，，
，，
，．
≤
≥
作出函数214yxx????的图象，
它与直线2y?的交点为(72)?，和52
3??????，
．
所以2142xx????的解集为5(7)
3???????????，，
．
（2）由函数214yxx????的图像可知，当1
2x??
时，()yfx?取得最小值9
2?
．
答案整理：赵进
欢迎将错误反馈到zssxzb@163.com
12?
O
2y?
4x
y
|
|
