Gothedistance
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专题指导（6）（6）陈忠怀先生讲平面向量数量积的应用
数量积公式是平面向量中应用最广的核心公式利用它可以方便地处理两向量的垂直与
平行,以及求两向量的夹角等问题.
利用平面向量的数量积公式解题，要注意把握如下几个重要环节：
1．选用恰当的数量积公式。
数量积公式的表现形式有二：
（1）坐标形式：设向量a=??11,yx，b=??22,yx，则a?b=2121yyxx?；
（2）一般形式：设向量a、b的夹角为θ，则a?b=∣a∣?∣b∣cosθ
一般地说，题目以什么形式出现，就选用什么形式解题
【例1】若函数()yfx?的图象按向量a平移后，得到函数(1)2yfx???的图象，
则向量a=（）
A．(12)??，B．(12)?，C．(12)?，D．(12)，
【分析】本题的结论是以坐标形式出现的，所以应用数量积的坐标形式去解
【解析】(1)2yfx???即??12???xfy令
???????????????210201yxyx
。故
向量a=（-1，-2），选A.
【评注】以上解法的原理是坐标转移法.其详细过程是：
（1）设??00,yxM为??xfy?图象上一点，则有：????100xfy?
（2）点??00,yxM平移a=??kh,到??yxN,，那么??????yxkhyx,,,00??.即是：
??2
0
0
0
0???????????????kyyhxxykyxhx.
（3）将（2）代入（1）????khxfyhxfky???????.
与已知(1)2yfx???比较知：
???????21kh
.也就是a=（-1，-2）.
【例2】已知ABC△的面积为3，且满足60???ACAB，设AB和AC的夹角为?．
（I）求?的取值范围；
（II）求函数2()2sin3cos2
4f????????????π
的最大值与最小值．
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【分析】本题的条件是以向量夹角的形式出现的，所以应用数量积的一般形式去解.
【解析】（I）??1sin63sin213?????????
?ACABACABSABC
60???ACAB??26cos0?????ACAB
（I）代入（2）：,1cot06cossin60?????????ππ
42????????，∴
.
（II）???
?????????????????????32sin212cos32sin12cos322cos1????????f
.
由（I），?
???????????????32,632,2,4???????
，故当22????，即5π12??时，max()3f??
；当632?????，即π4??时，min()2f??．
2.与向量的夹角有关系的问题，要特别注意向量的方向
【例3】△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，且ab=bc=ca，求证：△ABC是正三角形.
【分析】如图，向量a与b的夹角不是∠ACB，而是它的补角.
这是因为a与b是首尾相接，而不是同一点出发的两个向量.这一点
在解题中是一定不能疏忽的.
【证明】如图设角A、B、C的补角依次为α、β、γ.由
ab=bc=ca?ab?cosγ=bc?cosα=ca?cosβ.也就是：
-ab?cosC=-bc?cosA=-ca?cosB.以-abc除之得：
bBaAcCcoscoscos??.但由正弦定理：bBaAcCsinsinsin??
两式再相除：BACtantantan??.而A、B、C为△ABC内角，∴A=B=C.故△ABC为正
三角形.
3.注意向量数量积的运算不同于实数积的运算.
【例4】．对于向量a，b，c和实数?，下列命题中真命题是（）
Ａ．若a?b=0，则0?a或0?bＢ．若0??a，则0??或a=0
Ｃ．若22?ab，则?ab或??abＤ．若a?b=a?c，则?bc
【解析】我们知道：若两实数a、b之积等于零，则必a=0或b=0.可是两向量a、b之
积等于零，只能说明a、b的夹角是90°，即a⊥b.Ａ不真；22?ab只能说明a、b的模
A
B
C
?
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相等，它们的方向不一定相同或相反，B不真；若向量a、b、C满足a?b=a?c，例如设
a?b=a?c=0，只能说明a⊥b且a⊥c，不能断定?bc.
实数与向量积的几何意义是将一个向量延它的正方向或反方向伸缩.0??a表示不伸缩，
这只有两种可能，即0??或a=0，故B为真命题.选B.
特别注意：不能将实数积的运算率照搬到向量的数量积之中.
向量的数量积运算只满足交换律以及加、乘分配律，但是不满足结合律.一般地说：
（a?b）c≠a（b?c）.这是因为前者与c同向，而后者与a同向，而a与c不一定同向.
此外，不共线的向量是不能进行除法运算的，请看下例：
【例5】若向量a与b不共线，a?b≠0，且bbaaaac?
?
??
?
?????，则向量a与c的夹角
为（）
A．0B．π6C．π3D．π2
【错解】由bbaaaac?
?
??
?
??????0????
?
??
?
?????aababaaac，
这样得出c为零向量，由于零向量具有任意方向，所以它与向量a的夹角不定，四个选项中竟没
有一个是正确的，问题在哪里呢？出在两次不当的除法运算.既是题目已交代：向量a与b不共线，
a?b≠0，那么对式子bbaaa?
?
??
?
???先约去a，再约去b都是不正确的.
【正解】a?b≠0时，必有a≠0.将式子两边同乘以bbaaaac?
?
??
?
?????两边同乘以a，得
222aababaaaaca??????????????=0.故知a⊥c，即a与c的夹角为π2，选D.
这里也进行了约分运算，约去了a?b.为什么可行呢？这是因为a?b是数量而不是向量.
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