Gothedistance
重庆一中高2016级2015-2016学年度高三上期第四次月考
数学试题卷（文科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知i为虚数单位，若复数z满足(20152016)zii??，则z为（）
A．20152016i?B．20152016i?C．20162015i??D．20162015i??
2.已知集合??????2|50,|6,|2MxxxNxpxMNxxq?????????，则pq?等
于（）
A．6B．7C．8D．9
3.函数24()
lg(1)xfxx???
的定义域为（）
A．????2,00,2?B．??(1,0)0,2?C．??2,2?D．??1,2?
4.在等比数列??na中，公比15241,17,16qaaaa????，则数列??n的前10项和10S等于
（）
A．511B．2012C．2013D．2014
5．若向量a、b满足(1,2),(1,3)ab???则向量a与b的夹角等于（）
A．4?B．3?C．23?D．34?
7．执行如下图所示的程序框图，输出S的值为（）
A．0B．-1C．12?D．32?
Gothedistance
8．如上图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）
A．204245??B．2082?C．208245??D．2045?
9．已知点A为抛物线2:4Cxy?上的动点（不含原点），过点A的切线交于x轴于点B，设
抛物线C的焦点为F，则ABF?一定是（）
A．钝角B．锐角C．直角D．上述三种情况都可能
10．已知()fx是定义在R上的奇函数，且当0x?时，()2xfx?，则4(log9)f的值为（）
A．-3B．13?C．13D．3
11．已知曲线24yx??与x轴的交点为,AB，分别由,AB两点向直线yx?作垂线，垂
足为,CD，沿直线yx?将平面ACD折起，使平面ACD?平面BCD，是四面体ABCD的
外接球的表面积为（）
A．16?B．12?C．8?D．6?
12．已知函数231()1()32mxmnxfxx?????的两个极值点分别为12xx，且
Gothedistance
12(0,1),(1,)xx????，点(,Pmn表示的平面区域为D，若函数log(4),(1)ayxa???的
图像上存在区域D内的点，则实数a的取值范围是（）
A．??1,3B．(3,)??C．(1,3)D．??3,??
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每题5分．
13.在边长为2的正方形ABCD内部任取一点M，则满足090AMB??的概率为________．
14.把函数()yfx?的图象向右平移6?个单位，得到2sin(3)4yx???的图象，则函数
()yfx?的解析式是________．
15.已知12,FF是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且
123FPF???
，椭圆
的离心率为1e，双曲线的离心率2e，则
221213ee??
________．
16.已知数列??na的前n项和为2nSnn??，令cos2
nnnba??
，记数列??nb的前n项为nT，
则2015T?________．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.如图，ABC?，4B??，角A的平分线AD交BC于点D，设5,sin5BAD?????；
（1）求sinBAC?和sinC；（2）若28BABC?，求AC的长．
18.央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对
于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y
进行统计分析，得出下表数据．
x4578
Gothedistance
y2356
（1）请画出上表数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归直线方程???ybxa??；
（3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．
（相关公式1
22
1
???,
n
ii
i
n
i
i
xynxy
baybx
xnx
?
?
?
?
???
?
?
?
）
19.（本小题满分12分）
如图，四边形ABCD为矩形，SA?平面ABCD，EF、分别是SCSD、的中点，
2,6SAADAB???，
（1）求证：SD?平面AEF；（2）求三棱锥FAED?的体积．
20.（本题满分12分）已知椭圆22:1(0)xyCabab????的离心率为12，左、右焦点为12,FF，
点P是椭圆C上任意一点，且12PFF?的面积的最大值为3．（1）求椭圆C的方程；（2）过
2F作垂直于x轴的直线l交椭圆于,AB两点（点A在第一象限），,MN是椭圆上位于直线l两
侧的动点，若MABNAB???，求证：直线MN的斜率为定值．
21.（本小题满分12分）
已知函数()()lnfxxxax???，其中a为常数，（1）当1a??时，求()fx的极值；（2）若
()fx是区间1(,1)2内的单调递增函数，求实数a的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直
线与曲线()yfx?相切？请说明理由．
Gothedistance
22.（本小题满分10分）如图，AB是圆O的一条切线，切点为B，直线ADECFDCGE、、
都是圆O的割线，已知ACAB?，求证：//FGAC．
23.在平面直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为
2cos
2
2sin
2
xr
yr
?
?
???
??
?
????
??
（?为参数，0r?），
以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()14?????，若
圆C上的点到直线l的最大距离为3，求r的值．
24.（本小题满分10分）已知函数()210fxxx????，且满足()8()fxaaR??的解集
不是空集，（1）求实数a的取值范围；（2）求
24aa?
的最小值．
Gothedistance
参考答案
一、填空题
1—5DBBCD6---10AACCB11---12BC
二、填空题：
13．18??14．2sin(3)4yx???15．416．-2014
三、解答题：
17．解：（1）5254sinsin22sincos2555BAC????????，
232472sinsin()sincoscossin252510CBABABA???????，
（2）由28cos282824BABCABBCABBC??????且
72
sin7210
4sin8
5
ABC
BCA???
，所以解得7,42ABBC??，
由余弦定理得：2222cos49325625ACABBCABBCB???????，
所以5AC?
18．解：（1）散点图如图所示：
（2）4
142537586106iiixy???????????
，457864x?????，235644y?????，
Gothedistance
422222
14578154iix???????
，则12
22
1
??4106464
?1
154464
n
ii
i
n
i
i
xyxy
b
xx
?
?
?
????
?????
?
?
?
,
?462aybx??????，故线性回归方程为???2ybxax????，
（3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7天．
19．解：
（1）∵SAAD?，F为SD的中点，∴SDAF?，
∵SA?平面ABCD，AB?平面ABCD，∴ABSA?
∵ABAD?，SAAD、是平面SAD内的两条相交直线，
∴ABSAD?平面，
∵SDSAD?平面，∴SDAB?，
∵//EFAB，∴SDEF?
∵AFEF、是平面AEF内的两条相交直线
∴SD?平面AEF
（2）1111622332226
FAEDEAFDAFDDCVVSEF???????
20．解：（1）由题12ca?①，12PFF?的最大面积为3即是1232cb?②
由方程组222
1
2
32,3,1
c
a
bcabc
abc
??
?
??
??????
???
?
??
，所以椭圆方程为：22143xy??
Gothedistance
（2）3(1,)2A，设1122(,)(,)MxyNxy直线MN方程为：ykxm??，
代入椭圆22143xy??得：222(43)84120kxkmxm?????，
所以
121222840,,4343kmmxxxxkk????????
，又由题MN、是椭圆上位于直线l两侧的动
点，
若MABNAB???，等价于：
化简得：(21)(223)0kmk????，所以当12k?时上式恒成立．
所以直线MN的斜率为定值，且等于12．
另解：可以设直线AM的斜率求,MN的坐标，再求斜率．
21．解：（1）当1a?时，2121(21)(1)()21(0)xxxxfxxxxxx???????????
所以()fx在区间(0,1)内单调，在区间(1,)??内单调递增，于是()fx有极小值(1)0f?，无
极大值．
（2）易知1()2fxxax????在区间1(,1)2内单调递增，
所以由题意可得1()20fxxax?????在(,1)2内恒成立，即12axx??在1(,1)2内恒成立，
所以
min1(2)axx??
，因为函数1()2hxxx??在1(,1)2x?时单减，
所以()(1,1)hx??所以1a??，的数a取值范围是??,1??．
（3）设切点为2(,ln)ttatt??，则切线方程为：21(2)()lnytaxttattt???????，
因为过原点，所在210(2)()lntattattt???????，化简得21ln0tt???
设2()1lnhttt???则1()20httt????，
Gothedistance
所以()ht在(0,)??内单调递增，又(1)0h?，故方程21ln0tt???有唯一实根1t?，
所以满足条件的切线只有一条．
22．
证明：∵AB为切线，AE为割线，∴2ABADAE?，
又∵ACAB?，∴2ADAEAC?，
∴ADACACAE?，又∵EACCAD???，
∴ADCACE??，
∴ADCACE???，
又∵ADCEGF???，
∴EGFACE???，
∴//GFAC．
23．解：圆C的参数方程为
2cos
2
2sin
2
xr
yr
?
?
???
??
?
???
??
（?为参数，0r?），消去参数?得：
22222()()(0)xyrr?????，所以圆心22(,-C?），半径r，
直线l的极坐标方程为sin()14?????，化为普通方程为20xy???，
圆心22(,)C??到直线20xy???的距离为
222
222
2d
???
??，
∵圆C上的点到直线l的最大距离为3，即3dr??，∴3321rd?????．
24．（1）要2108xxa????的解集不是空集，则??
min2108xxa????
，
Gothedistance
2102108xxxx????????，∴881aa???
（2）1a?时，
224422aaaaa????
，
3224432222aaaaaa????当且仅当242aa?，即2a?时等号成立，
所以
24aa?
的最小值为3．
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