Gothedistance
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杨家坪中学校2015-2016学年度12月月考数学（理）试卷
考试范围：必修2，选修2-1；考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
评卷人得分
一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）
1.已知命题p：“?a＞0，有ea≥1成立”，则￢p为()
A．?0a≤0，有0ae≤1成立B．?0a≤0，有0ae≥1成立
C．?0a＞0，有0ae＜1成立D．?0a＞0，有0ae≤1成立
2.设a，b是平面α内两条不同的直线，l是平面α外的一条直线，则“l⊥a，l⊥b”是
“l⊥α”的()
A．充要条件B．充分而不必要的条件
C．必要而不充分的条件D．既不充分也不必要的条件
3.过点（﹣1，2）且与直线y=33x+2垂直的直线方程为（）
A．y﹣2=（x+1）B．y﹣2=（x+1）
C．y﹣2=﹣（x+1）D．y﹣2=﹣（x+1）
4.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是()
A．32B．2
C．3D．33
5.设1k?，则关于x，y的方程222(1)1kxyk????所表示的曲线是()
A、长轴在x轴上的椭圆B、长轴在y轴上的椭圆
C、实轴在x轴上的双曲线D、实轴在y轴上的双曲线
6.下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所
在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）
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A.①、③B.①、④C.②、③D.②、④
7.双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，则其渐近线的方程为()
A．y=±xB．y=±xC．y=±xD．y=±2x
8.设椭圆1
2
2
2
2??
byax
的离心率为21，右焦点F(c，0)，方程02???cbxax的两个根
分别为1x、2x，则点P（1x，2x）在（）
A．222??yx上B．222??yx内
C．222??yx外D．以上三种情况都有可能
9.椭圆1121622??yx的长轴为1A2A,短轴为21BB,将椭圆沿y轴折成一个二面角,使得1A点
在平面221ABB上的射影恰好为椭圆的右焦点,则该二面角的大小为（）
A.75°B.60°C.45°D.30°
10.已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的
公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）
A．1B．C．D．2
11.将3个半径为1的球和一个半径为12?的球叠为两层放在桌面上，上层只放一个较小的
球，四个球两两相切，那么上层小球的最高点到桌面的距离是（）
A.3623?B.3623?C.3622?D.3622?
12.设分别是椭圆1
2
2
2
2??
byax
（）的左、右焦点，若在直线cax2?
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上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是
（）
A．B．C．D．
第II卷（非选择题）
评卷人得分
一、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.设A（3，3，1），B（1，0，5），则A,B的距离为
．
14.若双曲线??22103xyaa???的离心率为2，则a?_______.
15.已知点P是圆C：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0（a＞0，b＞0）上任意一点，若点P关于直线x+2y
﹣1=0的对称点仍在圆C上，则+的最小值是．
16.如图，12,FF是椭圆22
1:14xCy??
与双曲线2C的公共焦点，,AB分别是12,CC在第二，
第四象限的公共点，若四边形12AFBF为矩形，则2C的离心率是．
评卷人得分
二、解答题（本题共6道小题,第1题10分，其他12分）
17.已知直线1l：10axby???，（,ab不同时为0），2l：
(2)0axya????，
（1）若0b?且12ll?，求实数a的值；
（2）当3b?且12//ll时，求直线1l与2l之间的距离
18.如图，四面体ABCD中，AB、BC、BD两两垂直，AB＝BC＝BD＝4，E、F分别为棱BC、AD的
中点．
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(1)求异面直线AB与EF所成角的余弦值；
(2)求EF与平面ACD所成角的正弦值．
19.设命题:p“对任意的2,2xxxa???R”，命题:q“存在x?R，使
2220xaxa????”。如果命题pq?为真，命题pq?为假，求实数a的取值范围。
20.过点P（﹣4，4）作直线l与圆O：x2+y2=4相交于A、B两点．
（1）若直线l的斜率为﹣，求弦AB的长；
（2）若一直线与圆O相切于点Q且与x轴的正半轴，y轴的正半轴围成一个三角形，当该三
角形面积最小时，求点Q的坐标．
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21.如图，在四棱柱1111ABCDABCD?中，底面ABCD是矩形，且22ADCD??，12AA?，
13AAD???
．若O为AD的中点，且1CDAO?．
（1）求证：1AO?平面ABCD；
（2）线段BC上是否存在一点P，使得二面角
1DAAP??为6?？若存在，求出BP的长；不存在，
说明理由．
22．已知椭圆E：)0(1
2
2
2
2????babyax的离心率63e?，并且经过定点31()22P，.
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）直线2:??kxyl交椭圆E于不同的BA,两点,O是坐标原点，求AOB?面积的最大
值.
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参考答案
1.C2.C3.D4.A．5.D6.B7.C8.B9.B
10.【解析】：C与的公共弦为AB，球心为Ｏ，AB中点为C，则四边形
为矩形，所以
11.A12.D解析：由已知P，所以的中点Q的坐标为
，由
当时，不存在，此时
为中点，综上得
13.29
14.315.18
解答：解：x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0表示的是以（2a，b）为圆心的圆，
故由曲线x2+y2﹣4ax﹣2by﹣5=0上的任意一点关于直线x+2y﹣1=0的对称点仍在
圆C上可得，
直线x+2y﹣1=0过点（2a，b），则2a+2b﹣1=0，即a+b=（a＞0，b＞0），
则+=2（a+b）（+）=2（5++）≥2（5+4）=18．（当且仅当=时，等号
成立）
16.由题意，122
2121222
24()822412AFAFaAFAFAFAFAFAFc??????????????
?
，∴2C的
离心率36
22e??
．
17.解：（1）当0b?时，1l：10ax??，由12ll?知20a??，解得2a?；
（2）当3b?时，1l：310axy???，当12//ll时，有3(2)0,
310,aaa????????
解得3a?，
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此时，1l的方程为：3310xy???，
2l的方程为：30xy???，即3390xy???，
则它们之间的距离为
22
9142333d????．
18
19.
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20.解答：解：（Ⅰ）因为点M是AB的中点，所以OM⊥AB，
则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为x（x+4）+y（y﹣4）=0，
即（x+2）2+（y﹣2）2=8；…（4分）
（Ⅱ）因为直线l的斜率为﹣，所以直线l的方程是：y﹣4=﹣（x+4），
即x+2y﹣4=0，…（6分）
设点O到直线l的距离为d，则d=，所以AB=2=；…（10
分）
（Ⅲ）设切点Q的坐标为（x0，y0）（x0＞0，y0＞0）．则切线斜率为﹣．
所以切线方程为y﹣y0=﹣（x﹣x0）．又x02+y02=4，则x0x+y0y=4…（12
分）
此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积S==．…（14
分）
由x02+y02=4≥2x0y0，知当且仅当x0=y0=时，x0y0有最大值．
即S有最小值．因此点Q的坐标为（，）．…（16分）
点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考察基本不等式的运用，
属于中档题．
21.试题解析：1）证明：∵
13AAD???
，且12AA?，1AO?，
∴22
121221cos33AO????????
，∴22211AOADAA??
∴1AOAD?．又1CDAO?，且CDADD?，∴1AO?平面ABCD．
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（2）解：过O作//OxAB，以O为原点，建立空间直角坐标系Oxyz?（如图），
则(0,1,0)A?，1(0,0,3)A，
设(1,,0)([1,1])Pmm??，平面1AAP的法向量为1n=(,,)xyz，
∵1(0,1,3)AA?，(1,1,0)APm??，
且1
1
130,(1)0.AAyzAPxmy?????????????
?
n
n
取1z?，得1n=(3(1),3,1)m??．又1AO?平面ABCD,且1AO?平面11AADD,
∴平面11AADD?平面ABCD．又CDAD?,且平面11AADD平面ABCDAD?
∴CD?平面11AADD．不妨设平面11AADD的法向量为2n=(1,0,0)．
由题意得
212
33(1)cos23(1)31,1mm???????nn，
解得1m?或3m??（舍去）．∴当BP的长为2时，二面角1DAAP??的值为
6?
．
22.【解析】（Ⅰ）由题意：63cea??且
2291144ab??
，又222cab??
解得：223,1ab??，即：椭圆E的方程为2213xy??.6分
（Ⅱ）设????2211,,,yxByxA，其坐标满足方程??
???
??
??
2
1322
kxy
yx
消去y并整理得0912)31(22????kxxk，
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所以222(12)36(13)36360kkk???????，即21k?.
221221319,3112kxxkkxx???????
22
2
222
2
21221221)31()1(363136)31(1444)()(kkkkkxxxxxx????????????.
又原点到直线2:??kxyl的距离21
2kd??
AOB??
的面积2122121212121xxkxxkdABS?????????
令1,2??tkt则
24116)1(9
3616)1(24)1(9)1(36169)1(36)31()1(36)(
2222212?
???
?????????????????
tttt
ttttttxxS)1(?t
，当且仅当413t??,即73t?时，2
max34S?
，所以当273k?，即213k??时，AOB?
的面积最大为32.12分
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