2010年全国各省高考数学试题经典完整分类汇编
——集合与逻辑
（2010上海文数）16.“()24xkkZππ=+∈”是“tan1x=”成立的[答]（）（A）充分不必要条件.（B）必要不充分条件.
（C）充分条件.（D）既不充分也不必要条件.解析：1
4tan)42tan(==+πππk，所以充分；但反之不成立，如145tan=π
（2010湖南文数）2.下列命题中的假命题...是
A.,lg0xRx?∈=B.,tan1xRx?∈=
C.3,0xRx?∈>D.,20xxR?∈>
【答案】C
【解析】对于C选项x＝1时，()10x?2=，故选C
（2010浙江理数）（1）设P=｛x︱x<4｝,Q=｛x︱2x<4｝，则
（A）pQ?（B）QP?（C）RpQC?（D）
RQPC?
解析：{}22＜＜xxQ?=，可知B正确，本题主要考察了集合的基
本运算，属容易题
（2010陕西文数）6.“a＞0”是“a＞0”的[A](A)充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解析：本题考查充要条件的判断
00,00>?>>?>aaaa∵，∴a＞0”是“a＞0”的充分不必要条件
（2010陕西文数）1.集合A={x－1≤x≤2}，B＝｛xx＜1｝,则A∩B=[D]
(A){xx＜1}（B）{x－1≤x≤2}
(C){x－1≤x≤1}(D){x－1≤x＜1}解析：本题考查集合的基本运算
由交集定义得{x－1≤x≤2}∩｛xx＜1｝={x－1≤x＜1}
（2010辽宁文数）（1）已知集合{}1,3,5,7,9U=，{}1,5,7A=，则UCA=
（A）{}1,3（B）{}3,7,9（C）{}3,5,9（D）{}3,9
解析：选D.在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成.UCA
（2010辽宁理数）(11)已知a>0，则x0满足关于x的方程ax=6的充要条件是(A)
220011,22xRaxbxaxbx?∈?≥?(B)220011,22xRaxbxaxbx?∈?≤?
(C)220011,22xRaxbxaxbx?∈?≥?(D)220011,22xRaxbxaxbx?∈?≤?【答案】C
【命题立意】本题考查了二次函数的性质、全称量词与充要条件知识，考查了学生构造二次函数解决问题的能力。
【解析】由于a>0,令函数22211()222bbyaxbxaxaa=?=??，此时函数对应的开口向
上，当x=ba时，取得最小值22ba?，而x0满足关于x的方程ax=b,那么
x0==ba,ymin=2200122baxbxa?=?，那么对于任意的x∈R,都有212yaxbx=?≥
22ba?=20012axbx?
（2010辽宁理数）1.已知A，B均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A∩B={3},ueB∩A={9},则A=
（A）{1,3}(B){3,7,9}(C){3,5,9}(D){3,9}【答案】D
【命题立意】本题考查了集合之间的关系、集合
的交集、补集的运算，考查了同学们借助于Venn图解决集合问题的能力。【解析】因为A∩B={3}，所以3∈A，又因为
ueB∩A={9}，所以9∈A，所以选D。本题也可以用Venn图的方法帮助理解。
（2010全国卷2文数）
（A）{}1,4（B）{}1,5（C）{}2,4（D）{}2,5【解析】【解析】【解析】【解析】C：本题考查了：本题考查了：本题考查了：本题考查了集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算集合的基本运算.属于基础知识、基本运算的考查属于基础知识、基本运算的考查属于基础知识、基本运算的考查属于基础知识、基本运算的考查.
∵∵∵∵A={1,3}。。。。B={3,5}，，，，∴∴∴∴{1,3,5}AB=∪，，，，∴∴∴∴(){2,4}UCAB=∪故选故选故选故选C.
（2010江西理数）2.若集合{}A=|1xxxR≤∈，，{}2B=|yyxxR=∈，，则AB∩=（）
A.{}|11xx?≤≤B.{}|0xx≥C.{}|01xx≤≤D.?
【答案】C【解析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合A、B；
{|11}Axx=?≤≤，{|0}Byy=≥,解得AB={x|01}x≤≤∩。在应试中可采用特值检验完成。
（2010安徽文数）(1)若A={}|10xx+>，B={}|30xx?<，则AB∩=(A)(-1，+∞)(B)(-∞，3)(C)(-1，3)(D)(1，3)
C【解析】(1,),(,3)AB=+∞=?∞，(1,3)AB=?∩，故选C.
【方法总结】先求集合A、B，然后求交集，可以直接得结论，也可以借助数轴得交集.
（2010浙江文数）（6）设0＜x＜2π，则“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件解析：因为0＜x＜
2π，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思
想和处理不等关系的能力，属中档题
（2010浙江文数）（1）设2{|1},{|4},PxxQxx=<=<则PQ=∩
(A){|12}xx?<<(B){|31}xx?<
(C){|14}xx<
解析：{}22＜＜xxQ?=,故答案选D，本题主要考察了集合的基本运算，属容易题
（2010山东文数）(7)设{}na是首项大于零的等比数列，则“12aa<”是“数列{}na是递增数列”的
（A）充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
答案：C
（2010山东文数）（1）已知全集UR=，集合{}240Mxx=?≤，则UCM=
A.{}22xx?<
C．{}22xxx或D.{}22xxx≤?≥或答案：C
（2010北京文数）⑴集合2{03},{9}PxZxMxZx=∈≤<=∈≤，则PMI=(A){1,2}(B){0,1,2}(C){1,2,3}(D){0,1,2,3}
答案：B
（2010北京理数）（6）a、b为非零向量。“ab⊥”是“函数()()()fxxabxba=+?i为
一次函数”的（A）充分而不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件答案：B
（2010北京理数）（1）集合2{03},{9}PxZxMxZx=∈≤<=∈≤，则PMI=
(A){1,2}(B){0,1,2}(C){x|0≤x<3}(D){x|0≤x≤3}答案：B
（2010天津文数）(7)设集合{}{}Ax||x-a|<1,xR,|15,.ABBxxxR=∈=<<∈∩=?若，则实数a的取值范围是
(A){}a|0a6≤≤(B){}|2,aa≤≥或a4
(C){}|0,6aa≤≥或a(D){}|24aa≤≤【答案】C
【解析】本题主要考查绝对值不等式的基本解法与集合交集的运算，属于中等题。
由|x-a|<1得-1
【温馨提示】不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。
（2010天津理数）(9)设集合A={}{}|||1,,|||2,.xxaxRBxxbxR?<∈=?>∈若A?B,
则实数a,b必满足
（A）||3ab+≤（B）||3ab+≥
（C）||3ab?≤（D）||3ab?≥
【答案】D【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法与几何与结合之间的关系，属于中等题。
A=｛x|a-1b+2}因为A?B,所以a+1≤b-2或a-1≥b+2，即a-b≤-3或a-b≥3，即|a-b|≥3
【温馨提示】处理几何之间的子集、交、并运算时一般利用数轴求解。
（2010广东理数）5.“14m<”是“一元二次方程20xxm++=”有实数解的
A．充分非必要条件B.充分必要条件C．必要非充分条件D.非充分必要条件
5．A．由20xxm++=知，2114()024mx?+=≥?14m≤．[来
（2010广东理数）1.若集合A={x-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合A∩B=（）
A.{x-1＜x＜1}B.{x-2＜x＜1}
C.{x-2＜x＜2}D.{x0＜x＜1}
1.D.{|21}{|02}{|01}ABxxxxxx=?<<<<=<<∩∩．
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）10.在集合{}dcba,,,上定义两种运算○+和○如下
{}0
○+abcdaabcd
bbbbbccbcb
ddbbd
那么d○a(○+=)c
A.aB.bC.cD.d
解：由上表可知：a(○+cc=),故d○a(○+=)cd○ac=，选A
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）1.若集合{}3,2,1,0=A，{}4,2,1=B则集合=∪BA
A.{}4,3,2,1,0B.{}4,3,2,1C.{}2,1D.
解：并集，选A.
（2010福建文数）12．设非空集合|||Sxmxl=≤≤满足：当xS∈时，有2xS∈。给出
如下三个命题工：①若1m=，则|1|S=；②若12m=?，则114l≤≤；③若12l=，则
202m?≤≤。其中正确命题的个数是
A．0B．1C．2D．3
○abcdaaaaa
babcdcacca
dadad
【答案】D
（2010福建文数）1．若集合{}A=x|1x3≤≤，{}B=x|x>2，则AB∩等于（）
A．{}x|22
【答案】A
【解析】AB∩={}x|1x3≤≤∩{}x|x>2={}x|2
【命题意图】本题考查集合的交运算,属容易题．
（2010全国卷1文数）(2)设全集{}1,2,3,4,5U=，集合{}1,4M=，{}1,3,5N=，则()
UNM∩=e
A.{}1,3B.{}1,5C.{}3,5D.{}4,52.C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识
【解析】{}2,3,5UM=e，{}1,3,5N=，则()UNM∩=e{}1,3,5{}2,3,5∩={}3,5
（2010四川文数）（5）函数2()1fxxmx=++的图像关于直线1x=对称的充要条件
是（A）2m=?（B）2m=（C）1m=?（D）1m=
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－2mw_w.k#s5_u.com
于是－2m＝1?m＝－2答案：A
（2010四川文数）(1)设集合A={3，5，6，8}，集合B={4，5，7，8}，则A∩B等于(A){3，4，5，6，7，8}(B){3，6}(C){4，7}(D){5，8}
解析：集合A与集合B中的公共元素为5,8答案：D
（2010湖北文数）10.记实数12,,xx…nx中的最大数为max{12,,xx…nx}，最小数为
min{12,,xx…nx}.已知ABC?的三边边长为a、b、c（abc≤≤）,定义它的倾斜度为
max{,,}min{,,},abcabctbcabca=?则“t=1”是“ABC?为等边三解形”的
A,充分布不必要的条件B.必要而不充分的条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件
【答案】B【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则max,,1min,,abcabc
bcabca????==????????则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，
则32max,,,min,,23abcabcbcabca????==????????，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角形,所以B
正确.（2010湖北文数）1.设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数}，则M∩N=
A.{2,4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D{1,2,8}1．【答案】C
【解析】因为N={x|x是2的倍数}={…，0，2，4，6，8，…}，故{}2,4,8MN=∩所以C正确.
（2010山东理数）1.已知全集U=R，集合M={x||x-1|≤2},则UCM=
（A）{x|-13}(D){x|x≤-1或x≥3}【答案】C
【解析】因为集合M={}x|x-1|2≤={}x|-1x3≤≤,全集U=R，所以
UCM={}x|x<-1x>3或【命题意图】本题考查集合的补集运算,属容易题.
1.（2010安徽理数）2、若集合121log2Axx????=≥??????，则A=Re
A、2(,0],2???∞+∞????∪B、2,2??+∞????C、2(,0][,)2?∞+∞∪D、2[,)2+∞
2.A
2.（2010湖北理数）10.记实数1x，2x，……nx中的最大数为max{}12,,......nxxx，最小数
为min{}12,,......nxxx。已知ABC的三边长位a,b,c（abc≤≤），定义它的亲倾斜度为
max,,.min,,,abcabclbcabca????=????????
则“l=1”是“?ABC为等边三角形”的A.必要而不充分的条件
B.充分而不必要的条件C.充要条件
D.既不充分也不必要条件10.【答案】A
【解析】若△ABC为等边三角形时，即a=b=c，则max,,1min,,abcabcbcabca????==????????则l=1；若△ABC为等腰三角形，如a=2,b=2,c=3时，
则32max,,,min,,23abcabcbcabca????==????????，此时l=1仍成立但△ABC不为等边三角
形,所以A正确.（2010湖南理数）1.已知集合M={1,2,3}，N={2,3,4}，则
A．MN?B.NM?C．{2,3}MN∩=D.{1,4}MN∪
（2010湖南理数）2.下列命题中的假命题是A．?xR∈,
120x?>2x-1>0B.?xN∈,2(1)0x?>
C．?xR∈,lg1x
（2010湖北理数）2．设集合()22{,|1}416xyAxy=+=，{(,)|3}xBxyy==，则AB∩
的子集的个数是A．4B．3C．2D．1
2．【答案】A【解析】画出椭圆221
416xy+=和指数函数3xy=图象，可知其有两个不同交点，记为A
1、A2，则AB∩的子集应为{}{}{}1212,,,,AAAA?共四种，故选A.
2010年高考数学试题分类汇编——集合与逻辑
（2010上海文数）1.已知集合{}1,3,Am=，{}3,4B=，{}1,2,3,4AB=∪则m=2。
解析：考查并集的概念，显然m=2
（2010湖南文数）15.若规定E={}1,210...aaa的子集{}12...,nkkkaaa为E的第k个子集，其
中k=1211222nkkk??+++?，则
（1）{}1,3,aa是E的第___5_个子集；
（2）E的第211个子集是_______
（2010湖南文数）9.已知集合A={1,2,3，}，B={2，m，4}，A∩B={2,3}，则m=3（2010安徽文数）(11)命题“存在xR∈，使得
2250xx++=”的否定是
11.对任意xR∈，都有2250xx++≠.【解析】特称命题的否定时全称命题，“存在”对应“任意”.
【误区警示】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“>”的否定用“<”了.这里就有注意量词的否定形式.如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”.
（2010重庆文数）（11）设{}{}|10,|0AxxBxx=+>=<，则AB∩=____________.
解析：{}{}{}|1|0|10xxxxxx>?∩<=?<<
（2010重庆理数）(12)设U={}0,1,2,3，A={}20xUxmx∈+=，若{}1,2UA=?，则实数m=_________.
解析：∵{}1,2UA=?，∴A={0,3},故m=-3
（2010四川理数）（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS∈，都有
xy,xy,xyS+?∈，则称S为封闭集。下列命题：①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
w_w_w.ks5u.com②若S为封闭集，则一定有0S∈；
③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足STC??的任意集合T也是封闭集.
w_w.k#s5_u.com其中真命题是（写出所有真命题的序号）
解析：直接验证可知①正确.当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确
对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误取S＝{0}，T＝{0,1}，满足STC??,但由于0－1＝－1?T，故T不是封闭集，④
错误答案：①②
（2010福建文数）15．对于平面上的点集?，如果连接?中任意两点的线段必定包含
于?，则称?为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下（阴影区域及其边界）：
其中为凸集的是（写出所有凸集相应图形的序号）。
【答案】②③（2010四川文数）（16）设S为复数集C的非空子集.若对任意x,yS∈，都有
xy,xy,xyS+?∈，则称S为封闭集。下列命题：w_w.k#s5_u.com①集合S＝{a＋bi|（a,b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有0S∈；
③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足STC??的任意集合T也是封闭集.
其中真命题是（写出所有真命题的序号）解析：直接验证可知①正确.
当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确对于集合S＝{0}，显然满足素有条件，但S是有限集,③错误
取S＝{0}，T＝{0,1}，满足STC??,但由于0－1＝－1?T，故T不是封闭集，④错误
答案：①②w_w.k#s5_u.com
（2010江苏卷）1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.[解析]考查集合的运算推理。3∈B,a+2=3,a=1.
2010年高考数学试题分类汇编——数列
（2010浙江理数）（3）设nS为等比数列{}na的前n项和，2580aa+=，则52SS=
（A）11（B）5（C）8?（D）11?
解析：解析：通过2580aa+=，设公比为q，将该式转化为08322=+qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选D，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和
公式，属中档题
（2010全国卷2理数）（4）.如果等差数列{}na中，34512aaa++=，那么
127...aaa+++=（A）14（B）21（C）28（D）35
【答案】C【命题意图】本试题主要考查等差数列的基本公式和性质.
【解析】173454412747()312,4,7282aaaaaaaaaaa+++===∴+++===?
（2010辽宁文数）（3）设nS为等比数列{}na的前n项和，已知3432Sa=?，2332Sa=?，
则公比q=（A）3（B）4（C）5（D）6
解析：选B.两式相减得，3433aaa=?，44334,4aaaqa=∴==.
（2010辽宁理数）（6）设{an}是有正数组成的等比数列，nS为其前n项和。已知a2a4=1,
37S=,则5S=
（A）152(B)314(C)334(D)172【答案】B
【命题立意】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了同学们解决问题的能力。
【解析】由a2a4=1可得2411aq=，因此121aq=，又因为231(1)7Saqq=++=，
联力两式有11(3)(2)0qq+?=，所以q=12,所以5514(1)3121412S??==?，故选B。
（2010全国卷2文数）(6)如果等差数列{}na中，3a+4a+5a=12，那么1a+2a+???…+7a=（A）14(B)21(C)28(D)35
【解析】【解析】【解析】【解析】C：本题考查了数列的基础知识。：本题考查了数列的基础知识。：本题考查了数列的基础知识。：本题考查了数列的基础知识。
∵∵∵∵34512aaa++=，，，，∴∴∴∴44a=12717417()7282aaaaaa+++=××+==?
（2010江西理数）5.等比数列{}na中，12a=，8a=4，函数()
128()()()fxxxaxaxa=????，则()''0f=（）A．62B.92C.122D.152
【答案】C【解析】考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数
学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有x项均取0，则()''0f只与函数()fx的一次项
有关；得：412123818()2aaaaaa??==?。
（2010江西理数）4.2111lim1333nx→∞??++++=?????（）
A.53B.32C.2D.不存在【答案】B
【解析】考查等比数列求和与极限知识.解法一：先求和，然后对和取极限。1133lim()1213nn→+∞?=?
（2010安徽文数）(5)设数列{}na的前n项和2nSn=，则8a的值为（A）15(B)16(C)49（D）64
5.A【解析】
887644915aSS=?=?=.
【方法技巧】直接根据1(2)nnnaSSn?=?≥即可得出结论.
（2010重庆文数）（2）在等差数列{}na中，1910aa+=，则5a的值为（A）5（B）6
[来源:高&考%资(源#网KS5U.COM]（C）8（D）10
解析：由角标性质得1952aaa+=，所以5a=5
（2010浙江文数）(5)设ns为等比数列{}na的前n项和，2580aa+=则52SS=
(A)-11(B)-8(C)5(D)11
解析：通过2580aa+=，设公比为q，将该式转化为08322=+qaa，解得q=-2，带入所求式可知答案选A，本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项公式与前n项和公式
（2010重庆理数）（1）在等比数列{}na中，201020078aa=，则公比q的值为A.2B.3C.4D.8
解析：8320072010==qaa2=∴q
（2010北京理数）（2）在等比数列{}na中，11a=，公比1q≠.若12345maaaaaa=，则
m=（A）9（B）10（C）11（D）12
答案：C
（2010四川理数）（8）已知数列{}na的首项10a≠，其前n项的和为nS，且112nnSSa+=+，
则limnnnaS→∞=
（A）0（B）12（C）1（D）2
解析：由112nnSSa+=+,且2112nnSSa++=+w_w_w.ks5u.com作差得a
n＋2＝2an＋1
又S2＝2S1＋a1，即a2＋a1＝2a1＋a1?a2＝2a1w_w.k#s5_u.com故{an}是公比为2的等比数列
Sn＝a1＋2a1＋22a1＋……＋2n－1a1＝(2n－1)a1
则11121limlim(21)2nnnnnnaaSa?→∞→∞==?
答案：B
（2010天津理数）（6）已知{}na是首项为1的等比数列，ns是{}na的前n项和，且
369ss=，则数列1na??????的前5项和为
（A）158或5（B）3116或5（C）3116（D）158
【答案】C【解析】本题主要考查等比数列前n项和公式及等比数列的性质，属于中等题。
显然q≠1，所以3639(1q)1-=121-q1qqqq??+?=?，所以1{}na是首项为1，公比为12的
等比数列，前5项和5511()31211612T?==?.
【温馨提示】在进行等比数列运算时要注意约分，降低幂的次数，同时也要注意基本量法的应用。
（2010广东理数）4.已知{}na为等比数列，Sn是它的前n项和。若2312aaa?=，且4a与
27a的等差中项为54，则5S=
A．35B.33C.31D.29
4．C．设{na}的公比为q，则由等比数列的性质知，231412aaaaa?=?=，即42a=。由4a
与27a的等差中项为54知，475224aa+=×，即7415151(2)(22)24244aa=×?=×?=．
∴37418aqa==，即12q=．3411128aaqa==×=，即116a=．[来源:高考资源网K
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）
（2010全国卷1文数）（4）已知各项均为正数的等比数列{na}，123aaa=5，789aaa=10，
则456aaa=
(A)52(B)7(C)6(D)424.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等
知识，着重考查了转化与化归的数学思想.【解析】由等比数列的性质知
31231322()5aaaaaaa===i，
37897988()aaaaaaa===i10,所以132850aa=,
所以13336456465528()()(50)52aaaaaaaaa=====i
（2010全国卷1理数）（4）已知各项均为正数的等比数列{na}中，123aaa=5，789aaa=10，
则456aaa=
(A)52(B)7(C)6(D)42
（2010湖北文数）7.已知等比数列{ma}中，各项都是正数，且1a，321,22aa成等差数列，
则91078aaaa+=+
A.12+B.12?C.322+D322?
（2010山东理数）
1.（2010安徽理数）10、设{}na是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和
分别为,,XYZ，则下列等式中恒成立的是
A、2XZY+=B、()()YYXZZX?=?
C、2YXZ=D、()()YYXXZX?=?
10.D
【分析】取等比数列1,2,4,令1n=得1,3,7XYZ===代入验算，只有选项D满足。
【方法技巧】对于含有较多字母的客观题，可以取满足条件的数字代替字母，代入验证，若能排除3个选项，剩下唯一正确的就一定正确；若不能完全排除，可以取其他数字验证继
续排除.本题也可以首项、公比即项数n表示代入验证得结论.（2010湖北理数）7、如图，在半径为r的园内作内接正六边形，再作正六
边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns为前n个圆的
面积之和，则limn→∞ns=
A．22rπB.832rπC.42rπD.62rπ
（2010福建理数）3．设等差数列{}na的前n项和为nS,若111a=?,466aa+=?,则当nS取最小值时,n等于
A．6B．7C．8D．9【答案】A
【解析】设该数列的公差为d，则461282(11)86aaadd+=+=×?+=?，解得2d=，
所以22(1)11212(6)362nnnSnnnn?=?+×=?=??，所以当6n=时，nS取最小值。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，考查二次函数最值的求法及计算能力。
2010年高考数学试题分类汇编——数列
（2010浙江理数）（14）设112,,(2)(3)23nnnnNxx≥∈+?+
2012nnaaxaxax=+++???+，
将(0)kakn≤≤的最小值记为nT，则
2345335511110,,0,,,,2323nTTTTT==?==???????
其中nT=__________________.
解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题
（2010陕西文数）11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝
（1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式.....为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）
2（或152）.解析：第i个等式左边为1到i+1的立方和，右边为1到i+1和的完全平方
所以第四个等式.....为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）.（2010辽宁文数）（14）设
nS为等差数列{}na的前n项和，若36324SS==，，则
9a=。
解析：填15.31
61
32332
656242SadSad
×?=+=??
×?=+=??,解得112ad=???=?，91815.aad∴=+=
（2010辽宁理数）（16）已知数列{}na满足1133,2,nnaaan+=?=则nan的最小值为__________.
【答案】212【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函
数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n2-n
所以331nannn=+?
设()fn=331nn+?，令()fn=23310n?+>，则()fn在(33,)+∞上是单调递增，
在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时()fn有最小值。
又因为55355a=，66321662a==，所以，nan的最小值为62162a=
（2010浙江文数）（14）在如下数表中，已知每行、每列中的树都成等差数列，那么，位于下表中的第n行第n+1列的数是。
答案：2nn+
（2010天津文数）（15）设{an}是等比数列，公比2q=，Sn为{an}的前n项和。记
2
1
17,.nnn
n
SSTnNa
+
?=∈设
0nT为数列{nT}的最大项，则0n=。
【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中
等题。
2112
1
17[1(2)][1(2)]1(2)17(2)161212
(2)12(2)
nnnn
nnn
aaT
a
????+??==?
?116
[(2)17]12(2)nn=?+??因为16(2)(2)nn+≧8，当且仅当(2)n=4，即n=4时
取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。【温馨提示】本题的实质是求T
n取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对(2)n进行换元，分子、分母都有变量的情况下通常可以采用分离变量的方法求解.
（2010湖南理数）15．若数列{}na满足：对任意的nN?∈，只有有限个正整数m使得man＜
成立，记这样的m的个数为()na?，则得到一个新数列{}()na?．例如，若数列{}na是
1,2,3,n…，…，则数列{}()na?是0,1,2,1,n?…，…．已知对任意的Nn?∈，2nan=，
则5()a?=，
(())na??=．
（2010福建理数）11．在等比数列{}na中,若公比q=4,且前3项之和等于21,则该数列的
通项公式na=．
【答案】n-14
【解析】由题意知11141621aaa++=，解得11a=，所以通项na=n-14。【命题意图】本题考查等比数列的通项公式与前n项和公式的应用，属基础题。
3.（2010江苏卷）8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为a
k+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5=____▲_____[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa?=?当0y=时，解得2kax=，
所以1135,1641212kkaaaaa+=++=++=。
2010年高考数学试题分类汇编——数列（2010上海文数）21.(本题满分14分)本题共有2个小题，第一个小题满分6分，第2个
小题满分8分。已知数列{}
na的前n项和为nS，且585nnSna=??，nN∈
(1)证明：{}1na?是等比数列；
(2)求数列{}nS的通项公式，并求出使得1nnSS+>成立的最小正整数n.
解析：(1)当n=1时，a1=?14；当n≥2时，an=Sn?Sn?1=?5an+5an?1+1，所以151(1)6nnaa??=?，
又a1?1=?15≠0，所以数列{an?1}是等比数列；
(2)由(1)知：151156nna????=??????，得151156nna???=??????，从而
1575906n
nSn
???=?+?????(n∈N)；
由Sn+1>Sn，得15265n???+≈，最小正整数n=15．
（2010湖南文数）20.（本小题满分13分）给出下面的数表序列：
其中表n（n=1,2,3?）有n行，第1行的n个数是1,3,5，?2n-1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和。
（I）写出表4，验证表4各行中数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n（n≥3）（不要求证明）；
（II）每个数列中最后一行都只有一个数，它们构成数列1,4,12?，记此数列为{}
nb求和：32412231nnnbbbbbbbbb++++?
（2010全国卷2理数）（18）（本小题满分12分）
已知数列{}na的前n项和2()3nnSnn=+i．
（Ⅰ）求limnnnaS→∞；
（Ⅱ）证明：12222312nnaaan+++…＞．
【命题意图】本试题主要考查数列基本公式11(1)(2)nnnsnassn?=?=??≥?的运用，数列极限和数列
不等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力.【参考答案】
【点评】2010年高考数学全国I、Ⅱ这两套试卷都将数列题前置,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式，具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本
方法基本技能,重视两纲的导向作用，也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心.估计以后的高考，对数列的考查主要涉及数列的基本公式、基本性质、递推数列、数列求和、
数列极限、简单的数列不等式证明等，这种考查方式还要持续.
（2010陕西文数）16.（本小题满分12分）已知{a
n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a
n}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得121d+＝1812dd++，解得d＝1，d＝0（舍去），故{a
n}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知2
ma=2n，由等比数列前n项和公式得
Sm=2+22+23+…+2n=2(12)12n??=2n+1-2.
（2010全国卷2文数）（18）（本小题满分12分）已知{}
na是各项均为正数的等比数列，且
1212112()aaaa+=+，34534511164()aaaaaa++=++
（Ⅰ）求{}na的通项公式；
（Ⅱ）设21()nnnbaa=+，求数列{}nb的前n项和nT。
【解析】本题考查了数列通项、前【解析】本题考查了数列通项、前【解析】本题考查了数列通项、前【解析】本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。
（（（（1）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于1a与与与与d的方程求得的方程求得的方程求得的方程求得1a与与与与d，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。（（（（2））））由由由由（（（（1））））中求得数列通项公式中求得数列通项公式中求得数列通项公式中求得数列通项公式，，，，可求出可求出可求出可求出BN的通项公式的通项公式的通项公式的通项公式，，，，由其通项公式化可知其和可分由其通项公式化可知其和可分由其通项公式化可知其和可分由其通项公式化可知其和可分
成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。
（2010江西理数）22.（本小题满分14分）证明以下命题：
（1）对任一正整a,都存在整数b,c(b
n，其边长nnnabc，，为正整数且222nnnabc，，成等差数列。
【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。（1）考虑到结构要证2222acb+=，；类似勾股数进行拼凑。
证明：考虑到结构特征，取特值2221,5,7满足等差数列，只需取b=5a，c=7a，对一切正整数a均能成立。
结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。
证明：当222nnnabc，，成等差数列，则2222nnnnbacb?=?，分解得：()()()()
nnnnnnnnbabacbcb+?=+?选取关于n的一个多项式，24(1)nn?做两种途径的分解
2224(1)(22)(22)(22)(22)nnnnnnnn?=?+=?+24(1)nn?
对比目标式，构造222211(4)21nn
n
annbnn
cnn
?=???=+≥?
?=+??，由第一问结论得，等差数列成立，
考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。下证互不相似。
任取正整数m，n，若△m，△n相似：则三边对应成比例
222
2222112121121mmmmmnnnnn??++?==??++?，
由比例的性质得：1111mmmnnn?+=?=?+，与约定不同的值矛盾，故互不相似。
（2010安徽文数）（21）（本小题满分13分)设
12,,,,nCCC??是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线
33yx=相切，对每一个正整数n,圆nC都与圆1nC+相互
外切，以nr表示nC的半径，已知{}nr为递增数列.
(Ⅰ)证明：{}nr为等比数列；
（Ⅱ）设11r=，求数列{}nnr的前n项和.
【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考察抽象概括能力以及推理论证能力.
【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设nC的圆心为(,0)nλ，得2nnrλ=，同理得
112nnrλ++=，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关系，即{}nr中1nr+
与nr的关系，证明{}nr为等比数列；（2）利用（1）的结论求{}nr的通项公式，代入数列nnr，
然后用错位相减法求和.
nnnnnn
n+1n+1n+1nnn+1n+1nn
n+1n
n
n11nnn
n
n12
331,sin,332
r12r2
2rrr2r2rr3r
rq3nr1q3r3n3
r12.....
rr
x
C
θθ
λλλλλλλ
??
=
====++==
==
∏====
=+++
解：（1）将直线y=的倾斜角记为,则有tan=
设的圆心为（，0），则由题意得知，得；同理，从而，将代入，
解得故为公比的等比数列。
（）由于，，故，从而，
记S
121n
121n
121n
11
,r12333......3
1323......(1)333
133...3331333
3()3,2223
9139(23)3()34224
nn
nn
nn
nnn
nnn
n
nnn
n
nn
nSn
???
????
????
???
??
=+++=+++?+
?=++++?
?=?=?+
?+∴=?+=
则有S
S
①②,得2S
【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图形，得出关于数列相邻项
na与1na+之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项公式由等差与等比数列的积构成
的数列时，通常是利用前n项和nS乘以公比，然后错位相减解决.
（2010重庆文数）（16）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分.）已知{}
na是首项为19，公差为-2的等差数列，nS为{}na的前n项和.
（Ⅰ）求通项na及nS；
（Ⅱ）设{}nnba?是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}nb的通项公式及其前n
项和nT.
（2010浙江文数）（19）（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a
n}的前n项和为Sn，满足56SS+15=0。
（Ⅰ）若5S=5，求6S及a1；（Ⅱ）求d的取值范围。
（2010重庆理数）（21）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）在数列{}
na中，1a=1，()()1121nnnacacnnN++=++∈，其中实数0c≠。
（I）求{}na的通项公式；
（II）若对一切kN∈有21kzkaa?>，求c的取值范围。
（2010山东文数）（18）（本小题满分12分）已知等差数列{}
na满足：37a=，5726aa+=.{}na的前n项和为nS.
（Ⅰ）求na及nS；
（Ⅱ）令211nnba=?（nN+∈）,求数列{}nb的前n项和nT.
（2010北京文数）（16）（本小题共13分）已知||
na为等差数列，且36a=?，60a=。
（Ⅰ）求||na的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列||nb满足18b=?，2123baaa=++，求||nb的前n项和公式
解：（Ⅰ）设等差数列{}na的公差d。
因为366,0aa=?=
所以112650adad+=???+=?解得110,2ad=?=
所以10(1)2212nann=?+??=?
（Ⅱ）设等比数列{}nb的公比为q
因为212324,8baaab=++=?=?
所以824q?=?即q=3
所以{}nb的前n项和公式为1(1)4(13)1nnnbqSq?==??
（2010北京理数）（20）（本小题共13分）
已知集合121{|(,,),{0,1},1,2,,}(2)nnSXXxxxxinn==∈=≥…，…对于
12(,,,)nAaaa=…，12(,,,)nnBbbbS=∈…，定义A与B的差为
1122(||,||,||);nnABababab?=???…A与B之间的距离为
111(,)||idABab?=?∑
（Ⅰ）证明：,,,nnABCSABS?∈?∈有，且(,)(,)dACBCdAB??=;
（Ⅱ）证明：,,,(,),(,),(,)nABCSdABdACdBC?∈三个数中至少有一个是偶数
(Ⅲ)设PnS?，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为d(P).
证明：d（P）≤2(1)mnm?.
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
证明：（I）设12(,,...,)nAaaa=，12(,,...,)nBbbb=，12(,,...,)nCccc=nS∈
因为ia，{}0,1ib∈，所以{}0,1iiab?∈,(1,2,...,)in=ww.@ks@5u.com
从而1122(||,||,...,||)nnnABabababS?=???∈
又1(,)||||||niiiiidACBCacbc=??=???∑
由题意知ia，ib，ic{}0,1∈(1,2,...,)in=.
当0ic=时，|||||||||iiiiiiacbcab???=?;
当1ic=时，|||||||(1)(1)|||iiiiiiiiacbcabab???=???=?
所以1(,)||(,)niiidACBCabdAB=??=?=∑
(II)设12(,,...,)nAaaa=，12(,,...,)nBbbb=，12(,,...,)nCccc=nS∈
(,)dABk=，(,)dACl=，(,)dBCh=.
记(0,0,...,0)nOS=∈，由（I）可知
(,)(,)(,)dABdAABAdOBAk=??=?=
(,)(,)(,)dACdAACAdOCAl=??=?=
(,)(,)dBCdBACAh=??=
所以||(1,2,...,)iibain?=中1的个数为k，||(1,2,...,)iicain?=的1的个数为l。
设t是使||||1iiiibaca?=?=成立的i的个数，则2hlkt=+?
由此可知，,,klh三个数不可能都是奇数，
即(,)dAB,(,)dAC,(,)dBC三个数中至少有一个是偶数。
（III）2,1()(,)ABPmdPdABC∈=∑,其中,(,)ABPdAB∈∑表示P中所有两个元素间距离的总和，ww.@ks@5u.com
设P种所有元素的第i个位置的数字中共有it个1，imt?个0
则,(,)ABPdAB∈∑=1()niiitmt=?∑
由于it()imt?2(1,2,...,)4min≤=
所以,(,)ABPdAB∈∑24nm≤
从而222,1()(,)42(1)ABPmmnmmndPdABCCm∈=≤=?∑
（2010四川理数）（21）（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1＝0，a2＝2，且对任意m、n∈N都有
a2m－1＋a2n－1＝2am＋n－1＋2(m－n)2（Ⅰ）求a3，a5；
（Ⅱ）设bn＝a2n＋1－a2n－1(n∈N)，证明：{bn}是等差数列；（Ⅲ）设cn＝(an+1－an)qn－1(q≠0，n∈N)，求数列{cn}的前n项和Sn.
本小题主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力.
解：(1)由题意，零m＝2,n－1,可得a3＝2a2－a1＋2＝6再令m＝3,n＝1，可得a5＝2a3－a1＋8＝20………………………………2分
(2)当n∈N时，由已知(以n＋2代替m)可得
a2n＋3＋a2n－1＝2a2n＋1＋8于是[a2
(n＋1)＋1－a2(n＋1)－1]－(a2n＋1－a2n－1)＝8w_ww.k#s5_u.com即bn
＋1－bn＝8所以{bn}是公差为8的等差数列………………………………………………5分
(3)由(1)(2)解答可知{bn}是首项为b1＝a3－a1＝6,公差为8的等差数列则bn＝8n－2，即a2n
+=1－a2n－1＝8n－2另由已知(令m＝1)可得
an＝2112naa++-(n－1)2.
那么an＋1－an＝21212nnaa+?+－2n＋1w_w.k#s5_u.com
＝822n?－2n＋1＝2n
于是cn＝2nqn－1.当q＝1时，Sn＝2＋4＋6＋……＋2n＝n(n＋1)
当q≠1时，Sn＝2·q0＋4·q1＋6·q2＋……＋2n·qn－1.两边同乘以q，可得
qSn＝2·q1＋4·q2＋6·q3＋……＋2n·qn.上述两式相减得
(1－q)Sn＝2(1＋q＋q2＋……＋qn－1)－2nqnw_w.k#s5_u.com
＝2·11nqq??－2nqn
＝2·11(1)1nnnqnqq+?++?
所以Sn＝2·12(1)1(1)nnnqnqq+?++?
综上所述，Sn＝12(1)(1)(1)12(1)(1)nnnnqnqnqqq++=???++?≠???i…………………………12分
（2010天津文数）（22）（本小题满分14分）在数列{}
na中，1a=0，且对任意kN∈，2k12k2k+1a,a,a?成等差数列，其公差为2k.
（Ⅰ）证明456a,a,a成等比数列；
（Ⅱ）求数列{}na的通项公式；
（Ⅲ）记2222323nnnTaaa=+++iii，证明n32nT2n2
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方
法，满分14分。（I）证明：由题设可知，
2122aa=+=，3224aa=+=，4348aa=+=，54412aa=+=，
65618aa=+=。
从而655432aaaa==，所以4a，5a，6a成等比数列。
（II）解：由题设可得21214,kkaakkN+??=∈
所以()()()2112121212331...kkkkkaaaaaaaa++????=?+?+?()
441...41kk=+?++×()
21,kkkN=+∈.
由10a=，得()2121kakk+=+，从而222122kkaakk+=?=.
所以数列{}na的通项公式为
2
2
1,2
,2n
nna
nn
???=?
???为奇数为偶数或写为()21124nnna??=+，nN∈。
（III）证明：由（II）可知()2121kakk+=+，222kak=，以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m()mN∈
若1m=，则2222nkkkna=?=∑，
若2m≥，则()()
()22222112211112212214441221nmmmmkkkkkkkkkkkkkkaaakkk??=====++++=+=++∑∑∑∑∑
()()21111441111222212121mmkkkkmmkkkkkk??==??+????=++=++???????++???????∑∑()1131
2211222mmnmn??=+?+?=??????.
所以223122nkkknan=?=+∑，从而22322,4,6,8,....2nkkknna=
（2）当n为奇数时，设()21nmmN=+∈。()()
()22222222121213142221nmkkkkmmmkkmaaammm==+++=+=??++∑∑
()11314222121mnmn=+?=???+
所以2231221nkkknan=?=++∑，从而22322,3,5,7,....2nkkknna=
综合（1）和（2）可知，对任意2,,nnN≥∈有322.2nnT
（2010天津理数）（22）（本小题满分14分）
在数列{}na中，10a=，且对任意kN∈.21ka?，2ka，21ka+成等差数列，其公差为kd。
（Ⅰ）若kd=2k，证明2ka，21ka+，22ka+成等比数列（kN∈）
（Ⅱ）若对任意kN∈，2ka，21ka+，22ka+成等比数列，其公比为kq。
【解析】本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论
的思想方法。满分14分。（Ⅰ）证明：由题设，可得
4,2121aakkNkk?=∈+?。
所以131()()...()2121212123aaaaaaaakkkkk?=?+?++?++???
=44(1)...41kk+?++×
=2k(k+1)由
1a=0，得222(1),22,2(1).2122122akkaakkakkkkk=+=?==++++从而
于是1121222221,,221212aaaakkkkkkakakaakkkk++++++===++所以。
所以2,,,22122kdkkNaaakkk=∈++时，对任意成等比数列。
（Ⅱ）证法一：（i）证明：由2,,2121kaaakk?+成等差数列，及,,22122aaakkk++成
等比数列，得212112,222121221kaakkaaaqkkkaaqkkk?+=+=+=+?+?
当1q≠1时，可知kq≠1，k∈N
从而111111,1(2)111111121
1
kqqqqkkkkq
k
==+?=≥????????
?
即
所以11qk???????????是等差数列，公差为1。
（Ⅱ）证明：10a=，22a=，可得34a=，从而142,2q==111q?=1.由（Ⅰ）有
1111,,1kkkkqkNqkk+=+?==∈?得
所以2222211221,,2122aaakkkkkkNaakakkkk+++++===∈+（）从而
因此，
22222222(1)222214...........22..2(1),2212(1)(2)122242kaaakkkkkaakaakkkNkkaaakkkkk??+=====+∈+????
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m(mN∈)
若m=1,则2222nkkkna=?=∑.
若m≥2，则
222212
2111221
(2)(21)42nmmm
kkkkkkk
kkkkaaak?
====+
+=+=∑∑∑∑+
22111
111
4414411112222(1)2(1)2(1)21
113122(1)(1)222.
mmm
kkk
kkkkmmkkkkkkkk
mmnmn
???
===
??+++????=++=++???????++++??????
=+?+?=??
∑∑∑
所以22223132,22,4,6,8...22nnkkkkkknnnana==?=+
(2)当n为奇数时，设n=2m+1（mN∈）
22222
2221
(21)31(21)4222(1)nm
kkkkm
kkmmmaaammm
==+
++=+=??++∑∑
11314222(1)21mnmn=+?=??++
所以22312,21nkkknan=?=++∑从而22322,3,5,72nkkknna=
综合（1）（2）可知，对任意2n≥,nN?∈,有223222nkkkna=
证法二：（i）证明：由题设，可得212222(1),kkkkkkkkdaaqaaaq+=?=?=?
212221222(1),kkkkkkkkkkdaaqaqaaqq+++=?=?=?所以1kkkdqd+=
23221112
222222
1111kkkkkkk
kkkkkkk
aadddqqaaqaqaq+++++
++
+?===+=+=+
由11q≠可知1,kqkN≠∈。可得111111111kkkkkqqqqq+?=?=????，
所以11kq???????是等差数列，公差为1。
（ii）证明：因为120,2,aa==所以1212daa=?=。
所以3214aad=+=，从而3122aqa==，1111q=?。于是，由（i）可知所以11kq???????是
公差为1的等差数列。由等差数列的通项公式可得11kq?=()11kk+?=，故1kkqk+=。
从而11kkkdkqdk++==。
所以12112112................121kkkkkddddkkkddddkk????===??，由12d=，可得
2kdk=。
于是，由（i）可知()221221,2,kkakkakkN+=+=∈
以下同证法一。
（2010全国卷1理数）（22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效.........）
已知数列{}na中，1111,nnaaca+==?.
（Ⅰ）设51,22nncba==?，求数列{}nb的通项公式；
（Ⅱ）求使不等式13nnaa+<<成立的c的取值范围.
（2010四川文数）（20）（本小题满分12分）w_w.k#s5_u.com
已知等差数列{}na的前3项和为6，前8项和为-4。
（Ⅰ）求数列{}na的通项公式；w_w.k#s5_u.com
（Ⅱ）设1(4)(0,)nnnbaqqnN?=?≠∈，求数列{}nb的前n项和nS
（2010山东理数）（18）（本小题满分12分）
已知等差数列{}na满足：37a=，5726aa+=，{}na的前n项和为nS．
（Ⅰ）求na及nS；
（Ⅱ）令bn=211na?(n∈N)，求数列{}nb的前n项和nT．
【解析】（Ⅰ）设等差数列{}na的公差为d，因为37a=，5726aa+=，所以有
1
1
2721026adad+=??+=?，解得13,2ad==，
所以321)=2n+1nan=+?（；nS=n(n-1)3n+22×=2n+2n。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1na=，所以bn=211na?=21=2n+1)1?（114n(n+1)?=111(-)4nn+1?，
所以nT=111111(1-+++-)4223nn+1???=11(1-)=4n+1?n4(n+1)，
即数列{}nb的前n项和nT=n4(n+1)。
【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。
（2010湖南理数）21．（本小题满分13分）数列{}
()nanN∈中，是函数322211()(3)332nnnfxxanxnax=?++的极
小值点（Ⅰ）当a=0时，求通项
na；
（Ⅱ）是否存在a，使数列{}na是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。
（2010湖北理数）
（Ⅲ）111n1lnnn232nn+++???+>≥证明：（+1）+（1）（+1）
2.（2010安徽理数）20、（本小题满分12分）
设数列12,,,,naaa??中的每一项都不为0。
证明：{}na为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N，都有
1223111
111
nnn
naaaaaaaa
+++++=?。
（2010江苏卷）19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列{}na的前n项和为nS，已知3122aaa+=，数列{}nS是公差为d
的等差数列。
（1）求数列{}na的通项公式（用dn,表示）；
（2）设c为实数，对满足nmknm≠=+且3的任意正整数knm,,，不等式knmcSSS>+
都成立。求证：c的最大值为29。
[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：0d>，11(1)(1)nSSndand=+?=+?
21323213233()aaaaSSSS=+?=??=，2221113[()](2),adaad+?=+
化简，得：22111120,,aaddadad??+===
22(1),nnSdndndSnd=+?==，
当2n≥时，222221(1)(21)nnnaSSndndnd?=?=??=?，适合1n=情形。
故所求2(21)nand=?
（2）（方法一）
222222222mnkSScSmdndckdmnck+>?+>??+>?，222mnck+<恒成立。
又nmknm≠=+且3，222222292()()92mnmnmnkk++>+=?>，
故92c≤，即c的最大值为29。
（方法二）由1ad=及1(1)nSand=+?，得0d>，22nSnd=。
于是，对满足题设的knm,,，mn≠，有
2222222()99()222mnkmnSSmndddkS++=+>==。
所以c的最大值max92c≥。
另一方面，任取实数92a>。设k为偶数，令331,122mknk=+=?，则knm,,符合条件，
且22222222331()[(1)(1)](94)222mnSSmnddkkdk+=+=++?=+。
于是，只要22942kak+<，即当229ka>?时，22122mnkSSdakaS+
所以满足条件的92c≤，从而max92c≤。
因此c的最大值为92。
2010年高考数学试题分类汇编——函数
（2010上海文数）17.若0x是方程式lg2xx+=的解，则0x属于区间[答]（）（A）（0，1）.（B）（1，1.25）.（C）（1.25，1.75）（D）（1.75，2）
解析：04147lg)47()75.1(,2lg)(
02lg)2(>=f知0x属于区间（1.75，2）
（2010湖南文数）8.函数y=ax2+bx与y=||logbax(ab≠0，|a|≠|b|)在同一直角坐标系
中的图像可能是D
（2010湖南文数）3.某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是
A.^10200yx=?+B.^10200yx=+
C.^10200yx=??D.^10200yx=?
（2010浙江理数）（10）设函数的集合
211()log(),0,,1;1,0,122Pfxxabab??==++=?=?????，
平面上点的集合11
(,),0,,1;1,0,122Qxyxy??==?=?????，
则在同一直角坐标系中，P中函数()fx的图象恰好..经过Q中两个点的函数的个数是
（A）4（B）6（C）8（D）10
解析：当a=0,b=0;a=0,b=1;a=21,b=0;a=21,b=1;a=1,b=-1;a=1,b=1时满足题意，故答案选
B，本题主要考察了函数的概念、定义域、值域、图像和对数函数的相关知识点，对数学素养有较高要求，体现了对能力的考察，属中档题
（2010全国卷2理数）（10）若曲线12yx?=在点12,aa???????处的切线与两个坐标围成的三角
形的面积为18，则a=（A）64（B）32（C）16（D）8
【答案】A【命题意图】本试题主要考查求导法则、导数的几何意义、切线的求法和三角形的面积公式，
考查考生的计算能力..
【解析】332211'',22yxka??=?∴=?，切线方程是13221()2yaaxa???=??，令0x=，
1232ya?=，令0y=，3xa=，∴三角形的面积是121331822saa?=??=，解得64a=.故
选A.
（2010全国卷2理数）（2）.函数1ln(1)(1)2xyx+?=>的反函数是
（A）211(0)xyex+=?>（B）211(0)xyex+=+>
（C）211(R)xyex+=?∈（D）211(R)xyex+=+∈
【答案】D【命题意图】本试题主要考察反函数的求法及指数函数与对数函数的互化。
【解析】由原函数解得，即，又；
∴在反函数中，故选D.
（2010陕西文数）10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于..6.时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y与该班人数x
之间的函数关系用取整函数y＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为[B]
（A）y＝[10x]（B）y＝[310x+]（C）y＝[410x+]（D）y＝[510x+]解析：法一：特殊取值法，若x=56，y=5,排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B
法二：设)90(10≤≤+=ααmx，，时??????==??????++=??????+≤≤10103103,60xmmxαα
1101103103,96+??????=+=??????++=??????+≤
（2010陕西文数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是[C]
（A）幂函数（B）对数函数（C）指数函数（D）余弦函数解析：本题考查幂的运算性质
)()()(yxfaaayfxfyxyx+===+
（2010辽宁文数）（12）已知点P在曲线41xye=+上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，
则α的取值范围是
(A)[0,4π)(B)[,)42ππ（C）3(,]24ππ(D)3[,)4ππ
解析：选D.2441212xxxx
x
eyeee
e′=?=?++++，
12,10xxeye′+≥∴?≤<∵，
即1tan0α?≤<，3[,)4παπ∴∈
（2010辽宁文数）（10）设25abm==，且112ab+=，则m=
（A）10（B）10（C）20（D）100
解析：选A.211log2log5log102,10,mmmmab+=+==∴=又0,10.mm>∴=∵
（2010辽宁文数）（4）已知0a>，函数2()fxaxbxc=++，若0x满足关于x的方程20axb+=
，则下列选项的命题中为假命题的是
（A）0,()()xRfxfx?∈≤（B）0,()()xRfxfx?∈≥
（C）0,()()xRfxfx?∈≤（D）0,()()xRfxfx?∈≥
解析：选C.函数()fx的最小值是0()()2bffxa?=
等价于0,()()xRfxfx?∈≥，所以命题C错误.
（2010辽宁理数）(1O)已知点P在曲线y=41xe+上，a为曲线在点P处的切线的倾斜角，则a的取值
范围是(A)[0,
4π)(B)[,)42ππ3(,]24ππ(D)3[,)4ππ【答案】D
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，求导运算以及三角函数的知识。
【解析】因为''2441(1)2xxxxeyeee??==≥?+++，即tana≥-1,所以34παπ≤≤
（2010全国卷2文数）（7）若曲线2yxaxb=++在点(0,)b处的切线方程是10xy?+=，
则
（A）1,1ab==(B)1,1ab=?=
(C)1,1ab==?(D)1,1ab=?=?
【解析】【解析】【解析】【解析】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程
∵∵∵∵02xyxaa=′=+=，，，，∴∴∴∴1a=，，，，(0,)b在切线在切线在切线在切线10xy?+=，，，，∴∴∴∴1b=
（2010全国卷2文数）（4）函数y=1+ln(x-1)(x>1)的反函数是（A）y=
1xe+-1(x>0)(B)y=1xe?+1(x>0)
(C)y=1xe+-1(x∈R)(D）y=1xe?+1(x∈R)【解析】【解析】【解析】【解析】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，∵∵∵∵函数函数函数函数Y=1+LN（（（（X-1））））(X>1)，，，，∴∴∴∴
11ln(1)1,1,1yxxyxeye???=??==+
（2010江西理数）12.如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()00StS=，则导函数()
''ySt=的图像大
致为
【答案】A【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识，重点考查的是对数学的探究
能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A、D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑
到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A。
（2010江西理数）9．给出下列三个命题：①函数11cosln
21cosxyx?=+与lntan2xy=是同一函数；
②若函数()yfx=与()ygx=的图像关于直线yx=对称，则函数()
2yfx=与()12ygx=的图像也关于直线yx=对称；
③若奇函数()fx对定义域内任意x都有()(2)fxfx=?，则()fx为周期函数。其中真命题是
A.①②B.①③C.②③D.②【答案】C
【解析】考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。考虑定义域不同，①错误；排除A、B，验证③,()[2()](2)fxfxfx?=??=+,又通过奇函数得()()fxfx?=?，所以f
（x）是周期为2的周期函数，选择C。
（2010安徽文数）（7）设232555322555abc===（）,（），（），则a，b，c的大小关系是
（A）a＞c＞b（B）a＞b＞c（C）c＞a＞b（D）b＞c＞a7.A
【解析】25yx=在0x>时是增函数，所以ac>，2()5xy=在0x>时是减函数，所以cb>。
【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来.
（2010安徽文数）（6）设0abc>,二次函数2()fxaxbxc=++的图像可能是
6.D【解析】当0a>时，b、c同号，（C）（D）两图中0c<，故0,0
2bba，选项（D）符合
【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a>或0a<两种情况分类考虑.另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010重庆文数）（4）函数164xy=?的值域是
（A）[0,)+∞（B）[0,4]
（C）[0,4)（D）(0,4)
解析：[)40,0164161640,4xxx>∴≤?<∴?∈∵
（2010浙江文数）（9）已知x是函数f(x)=2x+11x?的一个零点.若1x∈（1，0x），
2x∈（0x，+∞），则
（A）f(1x)＜0，f(2x)＜0（B）f(1x)＜0，f(2x)＞0
（C）f(1x)＞0，f(2x)＜0（D）f(1x)＞0，f(2x)＞0解析：选B，考察了数形结合的思想，以及函数零点的概念和零点的判断，属中档题
（2010浙江文数）2.已知函数1()log(1),fxx=+若()1,fα=α=(A)0(B)1(C)2(D)3
解析：α+1=2，故α=1，选B，本题主要考察了对数函数概念及其运算性质，属容易题
（2010重庆理数）(5)函数()412xxfx+=的图象
A.关于原点对称B.关于直线y=x对称C.关于x轴对称D.关于y轴对称
解析：)(241214)(xfxfxxxx=+=+=???)(xf∴是偶函数，图像关于y轴对称
（2010山东文数）（11）函数22xyx=?的图像大致是
答案：A
（2010山东文数）（8）已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为
31812343yxx=?+?，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
（A）13万件(B)11万件(C)9万件(D)7万件
答案：C
（2010山东文数）（5）设()fx为定义在R上的奇函数，当0x≥时，()22xfxxb=++（b
为常数），则(1)f?=（A）-3（B）-1（C）1(D)3
答案：A
（2010山东文数）(3)函数()()2log31xfx=+的值域为
A.()0,+∞B.)0,+∞??C.()1,+∞D.)1,+∞??答案：A
（2010北京文数）(6)给定函数①12yx=，②12log(1)yx=+，③|1|yx=?，④12xy+=，
期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④
答案：B
（2010北京文数）⑷若a,b是非零向量，且ab⊥，ab≠，则函数()()()fxxabxba=+??是
（A）一次函数且是奇函数（B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数（D）二次函数但不是偶函数
答案：A
（2010四川理数）（4）函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是（A）2m=?（B）2m=（C）1m=?（D）1m=
解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－2mw_w_w.ks5u.com
于是－2m＝1?m＝－2答案：A
（2010四川理数）（3）2log510＋log50.25＝w_w_w.ks5u.com（A）0（B）1（C）2（D）4
w_w.k#s5_u.com解析：2log510＋log50.25
＝log5100＋log50.25＝log525
＝2答案：C
（2010四川理数）（2）下列四个图像所表示的函数，在点0x=处连续的是
（A）（B）（C）（D）解析：由图象及函数连续的性质知，D正确.
答案：D
（2010天津文数）（10）设函数2()2()gxxxR=?∈，()4,(),(),().(){gxxxgxgxxxgxfx++
（A）9,0(1,)4???∪+∞????（B）[0,)+∞（C）9[,)4?+∞（D）9,0(2,)4???∪+∞????
【答案】D【解析】本题主要考查函数分类函数值域的基本求法，属于难
题。
依题意知22222(4),2()2,2xxxxfxxxxx??++
2
22,12()2,12xxxfxxxx?+?????≤≤??或
（2010天津文数）(6)设
554alog4blogclog===25，（3），，则
(A)a
【解析】本题主要考查利用对数函数的单调性比较大小的基本方法，属于容易题。因为
50log41,<<所以b
进行比较。
（2010天津文数）(5)下列命题中，真命题是(A)mR,fxxmxxR?∈+∈
2使函数（）=（）是偶函数
(B)mR,fxxmxxR?∈+∈2使函数（）=（）是奇函数
(C)mR,fxxmxxR?∈+∈2使函数（）=（）都是偶函数
(D)mR,fxxmxxR?∈+∈2使函数（）=（）都是奇函数【答案】A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念，与存在量词、全称量词的含义，属于容易题。当m=0时，函数f（x）=x2是偶函数，所以选A.
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。
（2010天津文数）（4）函数f（x）=2xex+?的零点所在的一个区间是(A)（-2,-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）
【答案】C【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
因为f（0）=-1<0f(1)=e-1>0,所以零点在区间（0，1）上，选C【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010天津理数）（8）若函数f(x)=212log,0,log(),0xxxx>????f(-a),则实数a的取值范围
是（A）（-1，0）∪（0，1）（B）（-∞，-1）∪（1,+∞）
（C）（-1，0）∪（1,+∞）（D）（-∞，-1）∪（0,1）【答案】C
【解析】本题主要考查函数的对数的单调性、对数的基本运算及分类讨论思想，属于中等题。由分段函数的表达式知，需要对a的正负进行分类讨论。
211222
0a<0()()logloglog()log()afafaaaaa>????>????>?>???
??或00
1-10112aaaaaaa<>??????><????或或
【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。
（2010天津理数）（3）命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是(A)若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数
（B）若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数（C）若f(-x)是奇函数，则f(x)是奇函数
（D）若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数【答案】B
【解析】本题主要考查否命题的概念，属于容易题。否命题是同时否定命题的条件结论，故否命题的定义可知B项是正确的。
【温馨提示】解题时要注意否命题与命题否定的区别。
（2010天津理数）（2）函数f(x)=23xx+的零点所在的一个区间是
(A)（-2，-1）(B)（-1,0）(C)（0,1）(D)（1,2）【答案】B
【解析】本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题。
由1(1)30,(0)102ff?=?<=>及零点定理知f(x)的零点在区间（-1，0）上。【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解。
（2010广东理数）3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则A．f（x）与g（x）均为偶函数B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数D.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数
3．D．()33(),()33()xxxxfxfxgxgx???=+=?=?=?．
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）3.若函数xxxf?+=33)(与xxxg??=33)(的定义域均为R，则
A.)(xf与)(xg与均为偶函数B.)(xf为奇函数，)(xg为偶函数
C.)(xf与)(xg与均为奇函数D.)(xf为偶函数，)(xg为奇函数
解:由于)(33)()(xfxfxx=+=????,故)(xf是偶函数,排除B、C
由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C
在AORt0?，210==kAOA，故50510500=?==OOOA，选D
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）2.函数)1lg()(?=xxf的定义域是
A.),2(+∞B.),1(+∞C.),1[+∞D.),2[+∞
解：01>?x，得1>x，选B.
（2010福建文数）7．函数2x+2x-3,x0x)=-2+lnx,x>0f?≤??（的零点个数为()
A．3B．2C．1D．0【答案】B
【解析】当0x≤时，令2230xx+?=解得3x=?；
当0x>时，令2ln0x?+=解得100x=，所以已知函数有两个零点，选C。【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
（2010全国卷1文数）(7)已知函数()|lg|fxx=.若ab≠且，()()fafb=，则ab+的取值范围是
(A)(1,)+∞(B)[1,)+∞(C)(2,)+∞(D)[2,)+∞7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做
本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=12aa+≥,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.
【解析1】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或1ba=，所以a+b=1aa+
又0
上为减函数，所以f(a)>f(1)=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞).
【解析2】由0
zxy=+的取值范围问题，zxyyxz=+?=?+，2111yyxx′=?=?
时z最小为2,∴(C)(2,)+∞
（2010全国卷1理数）（10）已知函数f(x)=|lgx|.若0
(A)(22,)+∞(B)[22,)+∞(C)(3,)+∞(D)[3,)+∞
（2010四川文数）(2)函数y=log2x的图象大致是高^考#资源^网
(A)(B)(C)(D)解析：本题考查对数函数的图象和基本性质.
答案：C
（2010湖北文数）5.函数0.51log(43)yx=?的定义域为
A.(34,1)B(34,∞)C（1，+∞）D.(34,1)∪（1，+∞）
（2010湖北文数）3.已知函数3log,0()2,0xxxfxx>?=?≤?，则1(())9ff=
A.4B.14C.-4D-14【答案】B
【解析】根据分段函数可得311()log299f==?，则211(())(2)294fff?=?==，
所以B正确.
（2010山东理数）(11)函数y=2x-2x的图像大致是
【答案】A
【解析】因为当x=2或4时，2x-2x=0，所以排除B、C；当x=-2时，2x-2x=14<04?，
故排除D，所以选A。【命题意图】本题考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的
思维能力。（2010山东理数）（4）设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2
x+2x+b(b为常
数)，则f(-1)=(A)3(B)1(C)-1(D)-3
【答案】D
（2010湖南理数）8.用表示a，b两数中的最小值。若函数
的图像关于直线x=12?对称，则t的值为A．-2B．2C．-1D．1
1.（2010安徽理数）
2.（2010安徽理数）6、设0abc>，二次函数()2fxaxbxc=++的图象可能是
6.D
【解析】当0a>时，b、c同号，（C）（D）两图中0c<，故0,02bba，选项（D）
符合.【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分0a>或0a<两种情况分类考虑.另外
还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等.
（2010福建理数）4．函数2x+2x-3,x0x)=-2+lnx,x>0f?≤??（的零点个数为()
A．0B．1C．2D．3【答案】C
【解析】当0x≤时，令2230xx+?=解得3x=?；当0x>时，令2ln0x?+=解得100x=，所以已知函数有两个零点，选C。
【命题意图】本题考查分段函数零点的求法，考查了分类讨论的数学思想。
2010年高考数学试题分类汇编——三角函数（2010上海文数）18.若△ABC的三个内角满足sin:sin:sin5:11:13ABC=，则△ABC
（A）一定是锐角三角形.（B）一定是直角三角形.（C）一定是钝角三角形.(D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.
解析：由sin:sin:sin5:11:13ABC=及正弦定理得a:b:c=5:11:13
由余弦定理得0115213115cos222<××?+=c，所以角C为钝角
（2010湖南文数）7.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若∠C=120°，c=2a，则
A.a＞bB.a＜bC.a＝bD.a与b的大小关系不能确定
【命题意图】本题考查余弦定理，特殊角的三角函数值，不等式的性质，比较法,属中档题。
（2010浙江理数）（9）设函数()4sin(21)fxxx=+?，则在下列区间中函数()fx不.存在
零点的是
（A）[]4,2??（B）[]2,0?（C）[]0,2（D）[]2,4
解析：将()xf的零点转化为函数()()()xxhxxg=+=与12sin4的交点，数形结合可知答
案选A，本题主要考察了三角函数图像的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考察，对能力要求较高，属较难题
（2010浙江理数）（4）设02xπ＜＜，则“2sin1xx＜”是“sin1xx＜”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
解析：因为0＜x＜2π，所以sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思
想和处理不等关系的能力，属中档题
（2010全国卷2理数）（7）为了得到函数sin(2)3yxπ=?的图像，只需把函数
sin(2)6yxπ=+的图像
（A）向左平移4π个长度单位（B）向右平移4π个长度单位
（C）向左平移2π个长度单位（D）向右平移2π个长度单位【答案】B
【命题意图】本试题主要考查三角函数图像的平移.【解析】sin(2)
6yxπ=+=sin2()12xπ+，sin(2)3yxπ=?=sin2()6xπ=?，所以将sin(2)
6yxπ=+的图像向右平移4π个长度单位得到sin(2)3yxπ=?的图像，故选B.
（2010陕西文数）3.函数f(x)=2sinxcosx是[C]
(A)最小正周期为2π的奇函数（B）最小正周期为2π的偶函数(C)最小正周期为π的奇函数（D）最小正周期为π的偶函数
解析：本题考查三角函数的性质f(x)=2sinxcosx=sin2x，周期为π的奇函数
（2010辽宁文数）（6）设0ω>,函数sin()23yxπω=++的图像向右平移43π个单位后与
原图像重合，则ω的最小值是
（A）23（B）43（C）32（D）3
解析：选C.由已知，周期243,.32Tππωω==∴=
（2010辽宁理数）（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是
（A）23(B)43(C)32(D)3【答案】C
【命题立意】本题考查了三角函数图像的平移变换与三角函数的周期性，考查了同
学们对知识灵活掌握的程度。【解析】将y=sin(ωx+
3π)+2的图像向右平移34π个单位后为4sin[()]2
33yxππω=?++4sin()233xπωπω=+?+，所以有43ωπ=2kπ,即3
2kω=，又因为0ω>，所以k≥1,故32kω=≥32，所以选C
（2010全国卷2文数）（3）已知2sin3α=，则cos(2)xα?=
（A）53?（B）19?（C）19（D）53
【解析】【解析】【解析】【解析】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，：本题考查了二倍角公式及诱导公式，：本题考查了二倍角公式及诱导公式，：本题考查了二倍角公式及诱导公式，∵∵∵∵SINA=2/3，，，，
∴∴∴∴21cos(2)cos2(12sin)9πααα?=?=??=?
（2010江西理数）7.E，F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，则tanECF∠=（）
A.1627B.23C.33D.34【答案】D
【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。解法1：约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦
定理得4cos5ECF∠=，
解得3tan4ECF∠=
解法2：坐标化。约定AB=6,AC=BC=32,F(1,0),E(-1,0),C（0,3）利用向量的夹角公式得
4cos5ECF∠=，解得3tan4ECF∠=。
（2010重庆文数）（6）下列函数中，周期为π，且在[,]42ππ上为减函数的是
（A）sin(2)2yxπ=+（B）cos(2)2yxπ=+
（C）sin()2yxπ=+（D）cos()2yxπ=+解析：C、D中函数周期为2π，所以错误
当[,]42xππ∈时，32,22xπππ??+∈????，函数sin(2)2yxπ=+为减函数
而函数cos(2)2yxπ=+为增函数，所以选A
（2010重庆理数）
（6）已知函数()sin(0,)2yxπω?ω?=+><的部分图象如题（6）图所示，则
A.ω=1?=6πB.ω=1?=-6πC.ω=2
?=6πD.ω=2?=-6π
解析：2=∴=?πT∵由五点作图法知
232π?π=+×，?=-6π
（2010山东文数）（10）观察2''()2xx=，4''3()4xx=，''(cos)sinxx=?，由归纳推理可得：若定义在R
上的函数()fx满足()()fxfx?=，记()gx为()fx的导函数，则()gx?=
（A）()fx(B)()fx?(C)()gx(D)()gx?答案：D
（2010北京文数）（7）某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，
顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为
（A）2sin2cos2αα?+；（B）sin3cos3αα?+
（C）3sin3cos1αα?+；（D）2sincos1αα?+答案：A
（2010四川理数）（6）将函数sinyx=的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是
w_w.k#s5_u.com（A）sin(2)
10yxπ=?（B）sin(2)5yxπ=?w_w_w.ks5u.com（C）1sin()
210yxπ=?（D）1sin()220yxπ=?解析：将函数sinyx=的图像上所有的点向右平行移动
10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x－
10π)w_w_w.ks5u.com再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()
210yxπ=?.答案：C
（2010天津文数）（8）5
yAsinxxR66ππω???=∈????右图是函数（+）（）在区间-，上的图象，为了得到这个函数的图象，只
要将ysinxxR=∈（）的图象上所有的点
(A)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原
来的12倍，纵坐标不变
(B)向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(C)向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
(D)向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【答案】A
【解析】本题主要考查三角函数的图像与图像变换的基础知识，属于中等题。由图像可知函数的周期为π，振幅为1，所以函数的表达式可以是y=sin(2x+?).代入（-
6π，0）可得?的一个值为
3π，故图像中函数的一个表达式是y=sin(2x+3π)，即y=sin2(x+6π)，所以只需将y=sinx（x∈R）的图像上所有的点向左平移
6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变。【温馨提示】根据图像求函数的表达式时，一般先求周期、振幅，最后求?。三角函数图像进行平移变换
时注意提取x的系数，进行周期变换时，需要将x的系数变为原来的1ω
（2010天津理数）（7）在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若223abbc?=，
sin23sinCB=，则A=
（A）030（B）060（C）0120（D）0150
【答案】A【解析】本题主要考查正弦定理与余弦定理的基本应用，属于中等题。
由由正弦定理得23
2322cbcbRR=?=，
所以cosA=2222+c-a322bbccbcbc?+==323322bcbcbc?+=，所以A=300
【温馨提示】解三角形的基本思路是利用正弦、余弦定理将边化为角运算或将角化为边运算。
（2010福建文数）
（2010福建文数）2．计算12sin22.5??的结果等于()
A．12B．22C．33D．32
【答案】B
【解析】原式=2cos45=2?,故选B．
【命题意图】本题三角变换中的二倍角公式,考查特殊角的三角函数值（2010全国卷1文数）(1)cos300°=
(A)32?(B)-12(C)12(D)32
1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】()1cos300cos36060cos60
2°=°?°=°=
（2010全国卷1理数）(2)记cos(80)k?°=,那么tan100°=
A.21kk?B.-21kk?C.21kk?D.-21kk?
（2010四川文数）（7）将函数sinyx=的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，再把所得各
点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是高^考#资源^网
（A）sin(2)10yxπ=?（B）y=sin(2)5xπ?
（C）y=1sin()210xπ?（D）1sin()220yxπ=?
解析：将函数sinyx=的图像上所有的点向右平行移动10π个单位长度，所得函数图象的解析式为y＝sin(x
－10π)w_w.k#s5_u.com
再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是1sin()210yxπ=?.答案：C
（2010湖北文数）2.函数f(x)=3sin(),24xxRπ?∈的最小正周期为
A.2πB.xC.2πD.4π【答案】D
【解析】由T=|212π|=4π，故D正确.
（2010湖南理数）6、在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a,b,c，若∠C=120°，2ca=,则A、a>bB、a
（2010湖北理数）3.在ABC?中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=
A－223B223C－63D63
3．【答案】D【解析】根据正弦定理
sinsinabAB=可得1510sin60sinB=?解得3sin3B=，又因为ba<，则BA<，故B为锐角，所以
26cos1sin3BB=?=，故D正确.
（2010福建理数）1．cos13??计算sin43cos43??-sin13的值等于（）
A．12B．33C．22D．32
【答案】A【解析】原式=1sin(43-13)=sin30=
2???，故选A。【命题意图】本题考查三角函数中两角差的正弦公式以及特殊角的三角函数，考查基础知识，属保分
题。
2010年高考数学试题分类汇编——三角函数
（2010浙江理数）（11）函数2()sin(2)22sin4fxxxπ=??的最小正周期是__________________.
解析：()242sin22???????+=πxxf故最小正周期为π，本题主要考察了三角恒等变换及相关公式，属
中档题
（2010全国卷2理数）（13）已知a是第二象限的角，4tan(2)3aπ+=?，则tana=．
【答案】12?【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.
【解析】由4tan(2)3aπ+=?得4tan23a=?，又22tan4tan21tan3aαα==??，解得1
tantan22αα=?=或，又a是第二象限的角，所以1tan2α=?.
（2010全国卷2文数）（13）已知α是第二象限的角,tanα=1/2，则cosα=__________
【解析】【解析】【解析】【解析】255?：本题考查了同角三角函数的基础知识：本题考查了同角三角函数的基础知识：本题考查了同角三角函数的基础知识：本题考查了同角三角函数的基础知识
∵∵∵∵1tan2α=?，，，，∴∴∴∴25cos5α=?
（2010重庆文数）（15）如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径
相等.设第i段弧所对的圆心角为(1,2,3)iiα=，则
232311coscossinsin3333αααααα++?=____________.
解析：232312311coscossinsincos33333ααααααααα++++?=
又1232αααπ++=，所以1231cos32ααα++=?
（2010浙江文数）（12）函数2()sin(2)4fxxπ=?的最小正周期是。
答案：2π
（2010山东文数）（15）在ABC△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若2a=，2b=,sincos2BB+=,则角A的大小为.
答案：
（2010北京文数）（10）在ABC?中。若1b=，3c=，23cπ∠=，则a=。答案：1
（2010北京理数）（10）在△ABC中，若b=1，c=3，23Cπ∠=，则a=。答案1
（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若a=1,b=3,A+C=2B,则sinC=.
11．1．解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°．由正弦定理知，13sinsin60A=?，即1sin2A=．
由ab<知，60AB<=?，则30A=?，[来源:高考资源网KS5U.COM]
180180306090CAB=??=??=?????，sinsin901C==?
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）
（2010福建文数）16.观察下列等式：
①cos2a=22cosa-1;
②cos4a=84cosa-82cosa+1;
③cos6a=326cosa-484cosa+182cosa-1;
④cos8a=1288cosa-2566cosa+1604cosa-322cosa+1;
⑤cos10a=m10cosa-12808cosa+11206cosa+n4cosa+p2cosa-1．可以推测，m–n+p=．
【答案】962
【解析】因为122,=382,=5322,=71282,=所以92512m==；观察可得400n=?，
50p=，所以m–n+p=962。
【命题意图】本小题考查三角变换、类比推理等基础知识，考查同学们的推理能力等。
（2010全国卷1文数）(14)已知α为第二象限的角，3sin5a=,则tan2α=.
14.247?【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.
【解析】因为α为第二象限的角,又3sin5α=,所以4cos5α=?，sin3tancos4ααα==?,所
22tan24tan(2)1tan7ααα==??
（2010全国卷1理数）(14)已知α为第三象限的角，3cos25α=?,则tan(2)4πα+=.
（2010山东理数）
1.（2010福建理数）14．已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos(2x+)+1?的图象的对称轴完
全相同。若x[0,]2π∈，则f(x)的取值范围是。
【答案】3[-,3]2
【解析】由题意知，2ω=，因为x[0,]2π∈，所以52x-[-,]666πππ∈，由三角函数图象知：
f(x)的最小值为33sin(-)=-62π，最大值为3sin=32π，所以f(x)的取值范围是3[-,3]2。
2.（2010江苏卷）10、定义在区间??????20π,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点
P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P
1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=23。线段P1P2的长为23
3.（2010江苏卷）13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cosbaCab+=，则tantan
tantanCCAB+=____▲_____。[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有：1cos3C=，21cos1tan21cos2CCC?==+，2tan22C=，
1tantan2tan
2ABC===，
tantantantanCCAB+=4。
（方法二）226cos6cosbaCabCabab+=?=+，2222222236,22abccabababab+??=++=
2tantansincossinsincossinsin()1sintantancossinsincossinsincossinsinCCCBABACABCABCABCABCAB+++=?=?=?
2010年高考数学试题分类汇编——三角函数（2010上海文数）19.（本题满分12分）
已知02xπ<<，化简：
2lg(costan12sin)lg[2cos()]lg(1sin2)22xxxxxπ?+?+??+.
解析：原式=lg(sinx+cosx)+lg(cosx+sinx)?lg(sinx+cosx)2=0．
（2010湖南文数）16.（本小题满分12分）已知函数
2()sin22sinfxxx=?
（I）求函数()fx的最小正周期。
(II)求函数()fx的最大值及()fx取最大值时x的集合。
（2010浙江理数）（18）(本题满分l4分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c，已知1cos24C=?
(I)求sinC的值；(Ⅱ)当a=2，2sinA=sinC时，求b及c的长．
解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（Ⅰ）解：因为cos2C=1-2sin
2C=14?，及0＜C＜π
所以sinC=104.
（Ⅱ）解：当a=2，2sinA=sinC时，由正弦定理acsinAsinC=，得c=4
由cos2C=2cos2C-1=14?，J及0＜C＜π得
cosC=±64
由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，得b
2±6b-12=0
解得b=6或26
所以b=6b=6c=4或c=4
（2010全国卷2理数）（17）（本小题满分10分）ABC?
中，D为边BC上的一点，33BD=，5sin13B=，3cos5ADC∠=，求AD．【命题意图】本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考
生对基础知识、基本技能的掌握情况.【参考答案】
由cos∠ADC=＞0，知B＜.
由已知得cosB=，sin∠ADC=.
从而sin∠BAD=sin（∠ADC-B）=sin∠ADCcosB-cos∠ADCsinB==.
由正弦定理得，所以=.【点评】三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难
度比较低，一般出现在17或18题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变.解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化.
（2010陕西文数）17.（本小题满分12分）在△ABC中，已知B=45°,D是BC边上的一点，
AD=10,AC=14,DC=6，求AB的长.解在△ADC中，AD=10,AC=14,DC=6,
由余弦定理得
cos∠2222ADDCACADDC+?i=10036196121062+?=?××,
∴∠ADC=120°,∠ADB=60°在△ABD中，AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°，
由正弦定理得sinsinABADADBB=∠,
∴AB=310sin10sin60256sinsin4522ADADBB×∠°===°i.
（2010辽宁文数）（17）（本小题满分12分）在ABC?中，abc、、分别为内角ABC、、的对边，
且2sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC=+++（Ⅰ）求A的大小；
（Ⅱ）若sinsin1BC+=，试判断ABC?的形状.解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(2
2+++=
即bccba++=222
由余弦定理得Abccbacos2222?+=
故°=?=120,21cosAA
（Ⅱ）由（Ⅰ）得.sinsinsinsinsin222CBCBA++=
又1sinsin=+CB，得21sinsin==CB
因为°<<°°<<°900,900CB，故BC=
所以ABC?是等腰的钝角三角形。（2010辽宁理数）（17）（本小题满分12分）
在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC=+++
（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求sinsinBC+的最大值.
解：（Ⅰ）由已知，根据正弦定理得
22(2)(2)abcbcbc=+++
即222abcbc=++
由余弦定理得2222cosabcbcA=+?
故1cos2A=?，A=120°……6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：
sinsinsinsin(60)BCBB+=+°?
31cossin22
sin(60)BBB=+=°+故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。……12分
（2010全国卷2文数）（17）（本小题满分10分）ABC△中，D为边BC上的一点，33BD=，5sin
13B=，3cos5ADC∠=，求AD。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。
由由由由ADC∠与与与与B∠的差求出的差求出的差求出的差求出BAD∠，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出BAD∠的正弦，在三角形的正弦，在三角形的正弦，在三角形的正弦，在三角形ABD中，由中，由中，由中，由正弦定理可求得正弦定理可求得正弦定理可求得正弦定理可求得AD。。。。
（2010江西理数）17.（本小题满分12分）
已知函数()()21cotsinsinsin44fxxxmxxππ????=+++?????????。
(1)当m=0时，求()fx在区间384ππ??????，上的取值范围；
(2)当tan2a=时，()35fa=，求m的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，
考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题.解：（1）当m=0时，
22cos1cos2sin2()(1)sinsinsincossin2xxxfxxxxxx?+=+=+=
1[2sin(2)1]24xπ=?+，由已知3[,]84xππ∈，得22[,1]42xπ?∈?
从而得：()fx的值域为12[0,]2+
（2）2cos()(1)sinsin()sin()sin44xfxxmxxxππ=+++?
化简得：11()[sin2(1)cos2]22fxxmx=+++
当tan2α=，得：2222sincos2tan4sin2sincos1tan5aaaaaaa===++，3cos25a=，代入上式，m=-2.
（2010安徽文数）16、（本小题满分12分）ABC?的面积是30，内角,,ABC所对边长分别为,,abc，12cos
13A=。(Ⅰ)求ABAC????i；
(Ⅱ)若1cb?=，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角
形以及运算求解能力.【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos
13A=得sinA的值，再根据ABC?面积公式得156bc=；直接求数量积ABAC????i.由余弦定理
2222cosabcbcA=+?，代入已知条件1cb?=，及156bc=求a的
值.
解：由12cos13A=，得2125sin1()1313A=?=.
又1sin302bcA=，∴156bc=.
（Ⅰ）12cos15614413ABACbcA?==×=????.
（Ⅱ）2222cosabcbcA=+?212()2(1cos)12156(1)2513cbbcA=?+?=+???=，∴5a=.
【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC?的面积是30，12cos
13A=，所以先求sinA的值，然后根据三角形面积公式得bc的值.第二问中求a的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.
（2010重庆文数）(18).(本小题满分13分),(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问8分.)设ABC?的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3
2b+32c-32a=42bc.
(Ⅰ)求sinA的值；
(Ⅱ)求2sin()sin()441cos2ABCAππ+++?的值.
（2010浙江文数）（18）（本题满分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的
面积，满足2223()4Sabc=+?。
（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinsinAB+的最大值。
（2010重庆理数）（16）（本小题满分13分，（I）小问7分，（II）小问6分）
设函数()22cos2cos,32xfxxxRπ??=++∈????。
（I）求()fx的值域；
（II）记ABC?的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若()fB=1，b=1,c=3，求a的值。
（2010山东文数）(17)（本小题满分12分）
已知函数2()sin()coscosfxxxxπωωω=?+（0ω>）的最小正周期为π，（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数()yfx=的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()ygx=的
图像，求函数()ygx=在区间0,16π??????上的最小值.
（2010北京文数）（15）（本小题共13分）已知函数
2()2cos2sinfxxx=+
（Ⅰ）求()3fπ的值；
（Ⅱ）求()fx的最大值和最小值
解：（Ⅰ）22()2cossin333fπππ=+=31144?+=?
（Ⅱ）22()2(2cos1)(1cos)fxxx=?+?
23cos1,xxR=?∈
因为[]cos1,1x∈?,所以，当cos1x=±时()fx取最大值2；当cos0x=时，()fx去最小值-1。
（2010北京理数）（15）（本小题共13分）ww.@ks@5u.com
已知函数(x)f22cos2sin4cosxxx=+?。
（Ⅰ）求()3fπ=的值；
（Ⅱ）求(x)f的最大值和最小值。
解：（I）2239()2cossin4cos1333344fππππ=+?=?+=?
（II）22()2(2cos1)(1cos)4cosfxxxx=?+??
=23cos4cos1xx??
=2273(cos)33x??,xR∈
因为cosx∈[1,1]?，
所以，当cos1x=?时，()fx取最大值6；当2cos3x=时，()fx取最小值73?
（2010四川理数）（19）（本小题满分12分）（Ⅰ）○
1证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsinαβαβαβαβ++=?；
○2由Cαβ+推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossinαβαβαβαβ++=+.
（Ⅱ）已知△ABC的面积1,32SABAC=?=????，且35cosB=，求cosC.本小题主要考察两角和的正、余弦公式、诱导公式、同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。
解：(1)①如图，在执教坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与－β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，终边交⊙O于P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角－β的始边为OP1，终边交⊙O于P4.
则P1(1,0),P2(cosα,sinα)P3(cos(α＋β),sin(α＋β)),P4(cos(－β),sin(－β))
w_ww.k#s5_u.com由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos(－β)－cosα]2＋[sin(－β)－sinα]2展开并整理得：2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)
∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.……………………4分②由①易得cos(
2π－α)＝sinα,sin(2π－α)＝cosαsin(α＋β)＝cos[
2π－(α＋β)]＝cos[(2π－α)＋(－β)]＝cos(
2π－α)cos(－β)－sin(2π－α)sin(－β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ……………………………………6分
(2)由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c则S＝1
2bcsinA＝12ABAC?????＝bccosA＝3＞0
w_w.k#s5_u.com
∴A∈(0,2π),cosA＝3sinA
又sin2A＋cos2A＝1，∴sinA＝1010,cosA＝31010
由题意，cosB＝35,得sinB＝45
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝1010w_ww.k#s5_u.com
故cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－1010…………………………12分
（2010天津文数）（17）（本小题满分12分）在?ABC中，cos
cosACBABC=。（Ⅰ）证明B=C：
（Ⅱ）若cosA=-13，求sin4B3π??+????的值。
【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力.满分12分.
（Ⅰ）证明：在△ABC中，由正弦定理及已知得sinBsinC=cosBcosC.于是sinBcosC-cosBsinC=0，即sin（B-C）=0.因为BCππ?
所以B=C.（Ⅱ）解：由A+B+C=π和（Ⅰ）得A=π-2B,故cos2B=-cos（π-2B）=-cosA=1
3.
又0<2B<π,于是sin2B=21cos2B?=223.
从而sin4B=2sin2Bcos2B=429，cos4B=227cos2sin29BB?=?.
所以4273sin(4)sin4coscos4sin33318BBBπππ?+=+=
（2010天津理数）（17）（本小题满分12分）
已知函数2()23sincos2cos1()fxxxxxR=+?∈
（Ⅰ）求函数()fx的最小正周期及在区间0,2π??????上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若006(),,542fxxππ??=∈????，求0cos2x的值。
【解析】本小题主要考查二倍角的正弦与余弦、两角和的正弦、函数sin()yAxω?=+的性质、同角三角
函数的基本关系、两角差的余弦等基础知识，考查基本运算能力，满分12分。
（1）解：由2()23sincos2cos1fxxxx=+?，得
2()3(2sincos)(2cos1)3sin2cos22sin(2)6fxxxxxxxπ=+?=+=+
所以函数()fx的最小正周期为π
因为()2sin26fxxπ??=+????在区间0,6π??????上为增函数，在区间,62ππ??????上为减函数，又
(0)1,2,162fffππ????===?????????，所以函数()fx在区间0,2π??????上的最大值为2，最小值为-1
（Ⅱ）解：由（1）可知00()2sin26fxxπ??=+????
又因为06()5fx=，所以03sin265xπ??+=????
由0,42xππ??∈????，得0272,636xπππ??+∈????
从而2004cos21sin2665xxππ????+=??+=?????????
所以
0000343cos2cos2cos2cossin2sin66666610xxxxππππππ?????????=+?=+++=????????????????
（2010广东理数）16、（本小题满分14分）
已知函数()sin(3)(0,(,),0fxAxAx??π=+>∈?∞+∞<<在12xπ=时取得最大值4．
(1)求()fx的最小正周期；
(2)求()fx的解析式；
(3)若f(23α+12π)=125,求sinα．[来源:高考资源网KS5U.COM]
3sin(2)25πα+=，3cos25α=，2312sin5α?=，21sin5α=，5sin5α=±．
[来
（（（（2010广东文数）广东文数）广东文数）广东文数）
（2010全国卷1理数）(17)(本小题满分10分)
已知ABCV的内角A，B及其对边a，b满足cotcotabaAbB+=+，求内角C．
（2010四川文数）（19）（本小题满分12分）w_w.k#s5_u.co（Ⅰ）○
1证明两角和的余弦公式C:cos()coscossinsinαβαβαβαβ++=?；
○2由Cαβ+推导两角和的正弦公式S:sin()sincoscossinαβαβαβαβ++=+.
（Ⅱ）已知431cos,(,),tan,(,),cos()5232πααππββπαβ=?∈=?∈+，求cos()αβ+
（2010湖北文数）16.（本小题满分12分）
已经函数22cossin11(),()sin2.224xxfxgxx?==?
(Ⅰ)函数()fx的图象可由函数()gx的图象经过怎样变化得出？
（Ⅱ）求函数()()()hxfxgx=?的最小值，并求使用()hx取得最小值的x的集合。
（2010山东理数）
（2010湖南理数）16．（本小题满分12分）已知函数
2()3sin22sinfxxx=?．
（Ⅰ）求函数()fx的最大值；
（II）求函数()fx的零点的集合。
（2010湖北理数）16．（本小题满分12分）已知函数f(x)=11cos()cos(),()sin2
3324xxgxxππ+?=?（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h（x）=f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合。
（2010福建理数）19．（本小题满分13分）O某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上。在小艇出发时，轮船位于港口
O北偏西30?且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的
大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。【解析】如图，由（1）得
103,AC=10,>,,>ACOCOCACAC=≥故且对于线段上任意点P有OPOC，而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设
COD=(0<<90),103tanRtCODCDθθθ∠?=??则在中，，OD=103cosθ，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为10103tan30tθ+=和103costvθ=，
所以10103tan30θ+103cosvθ=，解得1533,30,sin(+30)sin(+30)2vvθθ=≤≥??又故，
从而30<90,30tanθθθ≤=???由于时，取得最小值，且最小值为33，于是
当30θ=?时，10103tan30tθ+=取得最小值，且最小值为23。
此时，在OAB?中，20OAOBAB===，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30
?，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
（2010安徽理数）16、（本小题满分12分）
设ABC?是锐角三角形，,,abc分别是内角,,ABC所对边长，并且
22sinsin()sin()sin33ABBBππ=+?+。
(Ⅰ)求角A的值；
(Ⅱ)若12,27ABACa==????i，求,bc（其中bc<）。
（2010江苏卷）17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠
ABE=α，∠ADE=β。
(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H的值；
(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？
[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1）tantanHHADADββ=?=，同理：tanHABα=，tanhBDβ=。
AD—AB=DB，故得tantantanHHhβαβ?=，解得：tan41.24124tantan1.241.20hHαβα×===??。
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知dAB=，得tan,tanHHhHhdADDBdαβ?====，
2tantantan()()1tantan()1
HHhhdhddHHhHHh
dHHhddddαβαβαβ
????====??
+?+?+?+
()2()HHhdHHhd?+≥?，（当且仅当()12512155dHHh=?=×=时，取等号）
故当555d=时，tan()αβ?最大。
因为02πβα<<<，则02παβ
故所求的d是555m。
（2010江苏卷）23.（本小题满分10分）已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。[解析]本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能
力。满分10分。
（方法一）（1）证明：设三边长分别为,,abc，222cos2bcaAbc+?=，∵,,abc是有理数，
222bca+?是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
∴2222bcabc+?必为有理数，∴cosA是有理数。（2）①当1n=时，显然cosA是有理数；
当2n=时，∵2cos22cos1AA=?，因为cosA是有理数，∴cos2A也是有理数；②假设当(2)nkk≤≥时，结论成立，即coskA、cos(1)kA?均是有理数。
当1nk=+时，cos(1)coscossinsinkAkAAkAA+=?，1cos(1)coscos[cos()cos()]
2kAkAAkAAkAA+=???+，11cos(1)coscoscos(1)cos(1)
22kAkAAkAkA+=??++，
解得：cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkA+=??∵cosA，coskA，cos(1)kA?均是有理数，∴2coscoscos(1)kAAkA??是有理数，
∴cos(1)kA+是有理数。即当1nk=+时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
222cos2ABACBCAABAC+?=?是有理数。
（2）用数学归纳法证明cosnA和sinsinAnA?都是有理数。
①当1n=时，由（1）知cosA是有理数，从而有2sinsin1cosAAA?=?也是有理数。
②假设当(1)nkk=≥时，coskA和sinsinAkA?都是有理数。当1nk=+时，由cos(1)coscossinsinkAAkAAkA+=???，
sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin)cos(sinsin)cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA?+=??+?=??+??，及①和归纳假设，知cos(1)kA+和sinsin(1)AkA?+都是有理数。
即当1nk=+时，结论成立。综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。
|
|
