历年中考经典题型
1.如图，⊙O交AC与E，（1）D是BC的中点（2）BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE证明：（1）∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD是底边BC上的高∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形∴D是BC的中点
(2)∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角∴∠CBE=∠CAD
又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC
（3）由△BEC∽△ADC，知即CD·BC=AC·CE
∵D是BC的中点∴CD=BC．
又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE
2.如图，在平面直角坐标系中，点C（－3，0），点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，
且满足．
（1）求点A、点B的坐标；
（2）若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB由C向B运动，连结AP，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
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解：（1）∵，
∴，∴，
由点，点分别在轴，轴的正半轴上，得A（1，0），B（0，）
（2）由（1），得AC=4，，．
∴∴△ABC为直角三角形，
设CP=t，过P作PQ⊥CA于Q，由△CPQ∽△CBO，易得PQ=．
∴S===－t（0≤t＜）
（3）存在，满足条件的的有两个：或
3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为BC边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F．FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．
（1）求证：ΔBEF∽ΔCEG．
（2）当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．
（3）设BE＝x，△DEF的面积为y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？
解：（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以
所以所以
（2）的周长之和为定值
理由一：过点C作FG的平行线交直线AB于H，因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以FH＝CG，FG＝CH，则的周长之和等于BC＋CH＋BH
由BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6，得BC＋CH＋BH＝24
理由二：由AB＝5，AM＝4，可知在Rt△BEF与Rt△GCE中
，
所以△BEF的周长是，
△ECG的周长是，又BE＋CE＝10，因此的周长之和是24．
（3）设BE＝x，则
所以
配方得所以，当时，y有最大值
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与坐标轴交于点A、B、C且OA＝1，OB＝OC＝3．
（1）求此二次函数的解析式．（2）写出顶点坐标和对称轴方程．
（3）点M、N在y＝ax2＋bx＋c的图像上(点N在点M的右边)，且MN∥x轴，求以MN为直径且与x轴相切的圆的半径．
解：（1）依题意分别代入
解得
（2）顶点坐标，对称轴
（3）设圆半径为，当在轴下方时，点坐标为
把点代入得，同理得另一情形的
圆的半径为或
5.已知两个关于的二次函数与当时，；且二次函数的图象的对称轴线．
（1）求的值；（2）求函数的表达式
（3）在同一直角坐标系内，问函数的图象与的图象是否有交点？请说明理由
解：（1）由
得
当时，，即，解得，或（舍去），故的值为
（2）由得，
所以函数的图象的对称轴为，
于是，由解得，所以．
（3）由，得函数的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为；
由，得函数的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为；故在同一直角坐标系内，函数的图象与的图象没有交点．
6.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为(2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.
（1）求该抛物线ABCD以每秒1个单位长度的速度从图12所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
②设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
解：（1）由抛物线的顶点M的坐标为(2,4)，设关系式为
又抛物线经过O(0,0)，则解得a=-1
∴所求函数关系式为，即
（2）①点P不在直线ME上
根据抛物线的对称性可知E点的坐标为(4,0)，又M的坐标为(2,4)，设直线ME的关系式为y=kx+b
则，解得，∴直线ME的关系式为y=-2x+8
由已知条件易得，当t时，OA=AP，
∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y=-2x+8.
∴当t时，点P不在直线ME上
②S存在最大值.理由如下：
∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上，∴OA=AP=t
∴点P，N的坐标分别为(t,t)、(t,-t2+4t)∴AN=-t2+4t(0≤t≤3)
∴AN-AP=(-t2+4t)-t=-t2+3t=t(3-t)≥0,∴PN=-t2+3t
（ⅰ）当PN=0，即t=0或t=3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S=DC·AD=×3×2=3
（ⅱ）当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形
∵PN∥CD，AD⊥CD，
∴S=(CD+PN)·AD=[3+(-t2+3t)]×2=-t2+3t+3=
其中(0＜t＜3)，由a=-1，0＜＜3，此时
综上所述，当t时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积有最大值
1
图2
B
C
O
A
D
E
M
y
x
P
N
·
图1
B
C
O
(A)
D
E
M
y
x
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