一、选择题
1.10，4分）如图，在矩形A中，A＝4，AD＝6，E是A边的中点，F是线段C上的动点，将△F沿F所在直线折叠得到△′F，连接′D，则′D的小值是）
A． B．6C． D．4答案
2.（2015山东省青岛市，7，3分）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于O点，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF.若EF=，BD=4，则菱形ABCD的周长为（）
A.4B.C.D.28
【答案】D
3.（2015四川省遂宁市，6，4分）在正方形、矩形、、平行四边形、腰梯形中，其中中心对称图形的数是
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C．
【解析】
所谓中心对称图形，就是把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能和自身相重合那么个图形就是中心对称图形显然、、菱形、平行四边形都是中心对称图形，有4个，而等腰梯形不是中心对称图形
故选C
4.（2015四川省泸州市）菱形具有而平行四边形不具有的性质是
A.两组对边分别平行B.两组对角分别相等
C.对角线互相平分D.对角线互相垂直
【答案
5.（2015湖南省益阳市，5，5分）如图2，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】本题考查矩形的性质：
6.（2015浙江省湖州市，3，分）如图，AC是矩形ABCD的⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，痕为FG，点F、G分别AD、BC上连结OG、DG，若OG⊥DG，且⊙O的长为1，则下列结论不成立是
A．CD＋DF＝4 BCD－DF＝23 C．BC＋AB＝24 D．BC－AB2
【答案】A
【解析】
如图所示，AB与圆O相切于M，BCO相切于点H，MO并延长MO交CD于点T，连接OHOD，过点G作GN⊥AD于点N，交OD于点K，交OT于P．
由折叠易知，OG＝DG，
OH⊥BC，所以∠OHG＝∠GCD＝90°，HOG＋∠OGH＝90°，∵OG⊥DG，
以∠OGH＋∠DGC＝90°，
以∠DGC∠HOG，
以△OHG≌△GCD，∴HG＝CD，GC＝OH＝1，得四边形BMOH，所以BM＝BH＝MO＝OH＝1，
CD＝1，则HG＝1，AB＝1，
以AM＝m－1，
∵⊙O是△ABC的圆，所以AC＝＋1＋m－1＝2m，以AC＝2AB，以∠ACB＝30°，
以C＝AB，2＋m＝m，得m＋1，m＝AB＝1，BC＝2＋m＝3＋
所以BC－AB＝2，选项正确；
BC＋AB＝2m＋2＝24，项确
由折叠知，OG＝GD，又OG⊥GD，
以△OGD是等腰三角形，且OR＝RD，
以RG＝RD，G⊥RD，
到N⊥AD为所作，所以∠GRD＝∠FRD＝90°，
RKG＝∠NKD，以KG＋∠RGK＝∠NKD＋NDK＝90°，
以∠NKD＝∠RGK，
以△RKG≌△RFD，所以FD＝KG，
易得四边形OHGP是矩形，PG＝1，
GN∥DC，OPK∽△OTD，
，
所以PK＝3－所以KG＝4－DF，CD－DF＝1－(4－2－3，正确；CD－DF＝1+(4－5，项错误故A．
7.(2015浙江台州，，分)
【答案】8.（2015浙江省台州市，9，4）如图，在菱形ABCD中，AB=8，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，过点E作EG//AD交CD于点G，过点F作FH//AB交BC于点H，EG与FH交于点O．当四边形AEOF与四边形CGOH的周长之差为12时，AE的值为 （）
A．6.5 B．6 C．5.5 D．5
【答案】C
【解答】AEOF的边长AE=x，则菱形CGOH的边长OH=8－x，由题列方程4x－4（8－x）=12，
解之得x=5.5，故选C
9.（2015安徽，8，3分）在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C,点E在边AB上，∠AED=60°则一定有
A.∠ADE=20°B.∠ADE=30°C.∠ADE=∠ADCD.∠ADE=∠ADC
【答案】D
【解析】解:当四边形ABCD为矩形时,∠ADE=30°且∠ADE=∠ADC,当四边形ABCD为不是矩形时,∠ADE≠30°.故选
10.（2015安徽，9，3分）如图，矩形ABCD中，AB=8,BC=4，点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线AC上，若四边形EGFH是菱形，则AE的长是
A.B.C.5D.6
【答案】C
【解析】解:连接EF交AC于点O,
∵若四边形EGFH是菱形，∴EF⊥GH,AB=2OC=2AO
∵BC=4,AB=8,AC2=AB2+BC2,∴tan∠CAB=,AC=∴AO=,
OE=,∴AE2=AO2+OE2,∴AE=5.故选
11.（2015山东临沂，12，3分）如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB。添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）
A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE
【答案】B
【解析】因为四边形ABCD为平行四边形，所以ADBC因为DE=AD所以DEBC
所以四边形EDBC为平行四边形，
假若AB=BE，因为AB=BE，AD=DE，BD=BD,所以△ADB≌△EDB,所以∠BDE=90°所以四边形EDBC为矩形；
假若∠ADB=90°，所以∠EDB=90°所以四边形EDBC为矩形；
假若CE⊥DE，所以∠DEC=90°所以四边形EDBC为矩形故选B
12.（2015山东济南，13，3分）如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，若AM=2，则线段ON的长为
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】
过点M作ME⊥AC于点E，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，
因为∠ACB的角平分线分别交AB、BD于M、N两点，
∴MB=ME，CE=BC,
∴AE=ME=MB=,
∴AB=+2，
∴OA=CO=1+,
所以OE=1,
∴,
∴，
∴，
故选C
13.（2015四川南充，9，3分）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（）
（A）1:2（B）1:3（C）1:（D）1:
第9题图
【答案
【解析】得边长为。又高AE长为，所以，△ABC、△ACD均为正三角形，。故角线AC长和BD长之比为，应选D。
14.（2015浙江省衢州市，8，3分）如图，已知某菱形花坛ABCD的周长是4m，AD=120°，则花坛对角线C的长是（
A.mB.6mC.mD.3m
【答案】B
【解析】解：易知△ABC为等边三角形，所以AC=AB=6.
15.（2015浙江宁波，12，4分）如图，小明家的住房平面图呈长方形，被分割成3个正方形和2个长方形后仍是中心对称图形.若只知道原住房平面图长方形的周长，则分割后不用测量就能知道周长的图形的标号为()
A.①②B.②③C.①③D.①②③
【答案
16.（201，，3分）．．．．【答案】D17.（2015，，分）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，交BD于点F，且点E是AB中点，则tan∠BFE的值是（）
A.B.2C.D.
【答案】D
18.（2015山东日照市，6，3分）小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件①ＡＢ＝ＢＣ，②∠ＡＢＣ＝９０°，③AC=BD，④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使ABCD成为正方形（如右图）现有下列四种选法，你认为其中错误的是（）
（A）ABCD的基础上，需要再同时具备矩形和菱形的特征”。①是菱形的特征；②是矩形的特征；③是矩形的特征，④是菱形的特征。而B中都是矩形的特征，故选.
19.（2015广东省深圳市，12，3分）如图，正方形ABCD中，AB＝12，点E在边BC上，BE＝EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF交边AB于点G，连接DG，BF．．其中所有正确结论的个数是（）
A．．．．°，
∴∠DFG＝∠A＝90°，∴△ADG≌△FDG，∴①正确；
∵正方形边长12，∴BE＝EC＝EF＝6
设AG＝GF＝x，则EG＝x＋6，BG＝12－x，
由勾股定理：EG2＝BE2＋BG2，即：(x＋6)2＝62＋(12－x)2，
解得：x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，BG＝2AG，∴②正确；
BE＝EF＝6，△BEF为等腰三角形，易知△GDE不是等腰三角形，∴③错误；
S△BEG＝×6×8＝24，S△BEF＝?S△BEG＝?24＝，∴④正确
20.（2015娄底市，5，3分）
下列命题中错误的是（）
A．平行四边形的对角线相互平分B．菱形的对角线相互垂直
C．同旁内角互补D．矩形的对角线相等
【答案】
C
【解析】
解：两直线平行，同旁内角互补，两条直线不平行，同旁内角不相等。
故选;C。
二、填空题
1.（2015山东省青岛市，12，3分）如图，平面直角坐标系的原点O是正方形ABCD的中心，顶点A、B的坐标分别为(1,1)(－1,1)，把正方形ABCD绕点O逆时针方向旋转45°得正方形A′B′C′D′，则正方形ABCD与正方形A′B′C′D′重叠部分组成的正八边形的边长为.
【答案】
2.（2015浙江省丽水市，15，4分）如图，四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，点E，F在BD上，已知∠BAD＝120°，∠EAF＝30°，则＝________．
【答案
3.（2015年四川省宜宾市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=3，则点P到AD的距离为。
【答案】3
【】DAB，∵PE⊥AB于点E，若PE=3，∴点P到AD的距离=PE=3
4.（2015重庆B卷1８4分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，AB=2，BC=，点E、F分别是线段AB，AD上的点，连接CE，CF，当∠BCE=∠ACF，且CE=CF时，AE+AF=.
【答案】
【解析】解：如图作FG⊥AC,易证△BCE≌△GCF（AAS），∴BE=GF,BC=CG，
∵在Rt△ABC中tan∠ACB＝＝＝.
∴∠ACB=30°，∴AC=2AB=4，∠DAC=∠ACB=30°(内错角)，∵FG⊥AC，∴AF=2GF,∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE,
设BE=x，在Rt△AFG中AG=GF=x，∴AC=AG+CG=x+2=4，解得x=－2.
∴AE+AF=AE+2BE=AB+BE=2+－2＝.
5.（2015年四川省宜宾市，16，3分）在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD与点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H。给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②；③；④。其中正确的是。（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③
【】是正确的，选项证明△DPF∽△BHP③通过观察可发现△DPH∽△CPD，进而得，故正确；④，故错。
6.（2015浙江省湖州市，3，分）已知正方形ABC1D1边长为1，延长C1D1A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2C2D2到A2，以A2C2边右作正方形A2C2C3D3如图示，以此类推若1C1＝2，点A，D2D3，…，D10都在同一上，则正方形A9C9C10D10边长是＿＿＿＿
【答案】(或写)
【解析】
解：放入平面直角坐标中来考查知A0，，2(3，
所以OD10解析式为y＝A1C1＝2，BC2＝3，
C2C3＝m，则D33＋m，m，
3坐标入y＝3m＝3＋m＋3，得m＝3，以A2C23＝2×
设C3C4＝n，则BC46＋n，
以D6＋n，n，
4坐标代入y＝3n＝6＋＋3，得m＝，以A3C3＝2×2×()2；
设C4C5＝k，则BC5＋k，
D5(＋kk)，
D5坐标代入y＝3k＝＋k＋3，k＝27，k＝以4C4=k＝2×()3；
……
所以A9C92×()8＝.
7.（2015四川省泸州市）如图，在矩形ABCD中，，∠ADC的平分线交边BC于点E，AH⊥DE于点H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O，给出下列命题：21教育名师原创作品
①∠AEB=∠AEH②DH=
③④
其中正确命题的序号是（填上所有正确命题的序号）.
8.(2015浙江台州，，分)
【答案】9.（2015四川省凉山州市，26，5分）
【答案】
【解析】解：
如图，延长CD交y轴于点F，则CF⊥y轴，
∵四边形OBCD是菱形，
∵OD=CD=OB=2，
∵∠DOB=60°，则∠DOF=30°，
∴DF=1，OF=，
∴D(1,)，C(3，)，
设直线DE的解析式为，则，
∴，则，
设直线OC的解析为，则，
∴，则，
由，得，
∴点P的坐标为.
10.（2015山东济南，21，3分）如图在菱形ABCD中，AB=6，∠DAB=60°，AE分别交BC、BD于点E、F，CE=2，连接CF.以下结论：①△ABF≌△CBF；②点E到AB的距离是；③tan∠DCF=；④△ABF的面积为.其中一定成立的是.（把所有正确结论的序号都填在横线上）.
【答案】①②③
【解析】①∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC∠ABD=∠CBD
∵BF=BF
∴△ABF≌△CBF
∴①正确
②过E作EG⊥AB于G
∵AB=6
∴BC=6
∵CE=2
∴BE=4
∵∠BAD=60°
∴∠CBG=60°
∴∠BEG=30°
∴EG=
∴②正确
③延长AE交DC延长线于H，过D作DM⊥AE于M点，过点D作DN⊥AB于N点.
则△ABE∽△HCE∴CH=3由②可求知AE=，∠DCF=∠DAF，所以EH=，在△ADN中可求得DN=
∵△ADH=即，∴DM=
在Rt△ADM中，AM=
∴tan∠DCF=tan∠DAF=，∴③正确.
④：由△BEF∽△DAF
∴
∴
∵△ABD为等边三角形
∵三边上的高均为
∴S△ABF=
故④错误.
所以答案为①②③.
11.（2015上海市，16，4分）已知E是正方形ABCD的对角线AC上一点，AE=AD，过交那么=_____度.
【答案】22.5
【解析】
12.（2015四川南充，16，3分）如图，正方形ABCD，以AB为直径作半圆，点P是CD中点，BP与半圆交于点Q，连结DQ．给出如下结论：DQ＝1；②；③S△PDQ＝；④cos∠ADQ=．其中正确结论是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．（填写序号）
【答案
【考点解剖】本题考查了…………，解题的关键…………．
【答案】【解析】解：CD=BO=AB，且DP∥OB，
∴四边形OBPD是平行四边形。
∴∠AOD=∠OBQ,∠DOQ=∠OQB，
∵OB=OQ，
∴∠OBQ=∠OQB
∴∠AOD=∠DOQ，
∴△AOD≌△QOD，
∴∠OQD=∠DAO=90°，DQ=AD=1.
所以①正确。
②正确。理由：延长DQ交BC于点E，过点Q作QF⊥CD，垂足为F，
根据切线长定理，得QE=BE，设QE=x，则BE=x，DE=1+x，CE=1－x，
在Rt△CDE中，
（1+x）2=（1－x）2+1
解得x=，CE=
∵△DQF∽△DEC，
∴，
得FQ=，
∵△PQF∽△PBC，
∴,
∴，
所以②正确；
③错误，理由：
S△PDQ=DP·QF=××=，
所以③错误；
④正确，理由：∵AD∥BC，
∴∠ADQ=∠DEC，
∴cos∠ADQ=cos∠DEC==，
所以④正确。故答案为①②④.
13.（2015，1，）
【答案】16
【解答】AD，EH=GF=BD，又矩形中对角线AC=BD=8cm，则四边形EFGH的周长为16cm
14.（2015四川省广安市，15，3分）如图，已知E、F、G、H分别为菱形ABCD四边的中点，AB=6cm，∠ABC=60°，则四边形EFGH的面积为______cm2.
【答案
15.（2015山东日照市，14，4分）边长为1的一个正方形和一个等边三角形如右图摆放则△ＡＢＣ的面积为
【答案】
【解析】解：方法一：连接ＡＣ，由对称性可得：
＝＝
方法一：ＣＥ＝
16.（2015贵州省铜仁市，15，4分）已知一个菱形的两条对角线长分别为6㎝和8㎝，则这个菱形的面积为㎝2；
【答案
17.（2015成都市已知菱形A1B1C1D1的边长为2，?A1B1C1??60??，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系.以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为_________________.
【答案】：（3n－1，0）
【解析】：由题意，点A1的坐标为（1，0），
点A2的坐标为（3，0），即（32－1，0）
点A3的坐标为（9，0），即（33－1，0）
点A4的坐标为（27，0），即（34－1，0）
∴点An的坐标为（3n－1，0）
三、解答题
1.21.（2015山东省青岛市，21，8分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△ABD≌△CAE；
(2)连接DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论
【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，BD=CD.
∵AE∥BC，CE⊥AE，
∴四边形ADCE是矩形.
∴AD=CE.
在Rt△ABD与Rt△CAE中，
,
∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL).
(2)DE∥AB，DE=AB.证明如下：
如图所示，
∵四边形ADCE是矩形，
∴AE=CD=BD，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴DE∥AB，DE=AB.
2.27．（2015四川省巴中市，27，10分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，MN过点O且与边AD、BC分别交于点M和点N．
（1）请你判断OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）过点D作DEAC交BC的延长线于点E，当AB=6，AC=8时，求△BDE的周长．
【答案】解：（1）四边形ABCD为菱形，AD∥BC，AO=CO．MAO=∠NCO．
在△AOM与△CON中，△AOM≌△CON．OM=ON．
（2）依题意，DEAC，又ACBD，ADBC，四边形ACED为平行四边形，DEBD．CE=AD=AB=BC=6，DE=AC=8．
在Rt△BDE中，由勾股定理，得．
△BDE的周长为BD＋BE＋DE=＋20．
3.（2015浙江省金华市，21，8分）如图，在矩形ABCD中，点F在边BC上，且AF＝AD，过点D作DE⊥AF，垂足为点E.
(1)求证：DE＝AB
(2)以D为圆心，DE为半径作圆弧交AD于点G.若BF＝FC＝1，试求的长.
【答案】解：（1）证明：∵DE⊥AF，∴∠AED＝90°，
又∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠DAE＝∠AFB，∠AED＝∠B＝90°，
又∵AF＝AD，
∴△ADE≌△FAB（AAS），
∴DE＝AB.
（2）∵BF＝FC＝1，∴AD＝BC＝BF＋FC＝2，
又∵△ADE≌△FAB，∴AE＝BF＝1，
∴在Rt△ADE中，AE＝AD，∴∠ADE＝30°，
又∵DE＝，
∴的长＝
4.（2015四川省凉山州市，21，8分）如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由.
【答案】AF=BF+EF.
【解析】解：AF=BF+EF，理由如下：
如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∵BF∥DE，
∴∠BFA=∠AED，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴AE=BF，
∵AF=AE+EF，
∴AF=BF+EF.
5.(2015广东省广州市，18，9分)(本小题满分9分)如图7，正方形ABCD中，点E、F分别在AD，CD上，且AE＝DF，连接BE，AF．
求证：BE＝AF．
∴△EAB≌△FEA(SAS)
∴BE＝AF．
【解析】很明显要证明三角形全等，正方形的边相等，角相等，已知三角形的另一边相等，所以用边角边就可以证明全等，然后全等三角形的对应边相等即可证明．
判定三角形全等的方法：
边角边()：有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角(ASA)：有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．角角边(AAS)：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等．边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．公理：两直角三角形中斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．6.（2015山东省聊城市，21，8分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC，四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE。求证：四边形BECD是矩形
【解析】解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，
∵在△ABD和△CBD中，AB=BC，∠ABD=∠CBD，BD是公共边，
∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD，
又∵四边形ABED是平行四边形，∴AD∥BE且AD=BE，AB=DE，
∵AD=CD，∴CD∥BE且CD=BE，∴四边形BECD是平行四边形，
∵AB=BC，∴BC=DE，∴四边形BECD是矩形。
7.（2015湖南省长沙市，22，8分）如图，在菱形中，，，对角线、相交于点，将对角线所在的直线绕点顺时针旋转角后得直线，直线与、两边分别相交于点和点．
（1）求证：；
（2）当时，求线段的长度．
(第22题图)
【答案】(1)略(2)
【解析】解：（1）在菱形中，，，
∴在和中，
∴
（2），，∴是等边三角形．
，∴，时，．
在中，,．
又由（1），，∴．
8.（2015江苏省南京市，24，8分）如图，点E、F分别在AB、CD上，连接EF，AFE、CFE的平分线交于点G，BEF、DFE的平分线交于点H．
（1）求证：四边形EGFH是矩形．
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索，过G作MNEF，分别交AB、CD于点M、N，过H作PQEF，分别交AB、CD交于点P、Q，得到四边形MNQP．此时，他猜想四边形MNQP是菱形，请在下列图中补全他的证明思路．
【答案】
【解析】解：
（1）证明：EH平分BEF。
，
FH平分DFE，
∵AB∥CD
∴
∴
又
同理可证，
EG平分AEF，
∵EH平分BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上。
AEB=180°.
即AEF+∠BEF=180°。
即GEH=90°。
四边形EGFH是矩形。
（2）本题答案不唯一，下列解法供参考，例如，FG平分CFE；GE=FH；GME=∠HQH；GEF=∠EFH
9.（2015浙江嘉兴，19，8分）如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G.
(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明.
【答案】⑴与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD；⑵略
【解析】解：⑴与∠AED相等的角有：∠BFA，∠GAD；
⑵选∠AED=∠BFA
证明：∵四边形中ABCD是正方形
∴∠DAE=∠B=90°，DA=AB
在Rt△DAE与Rt△ABF中
DA=AB
AF=DE
∴Rt△DAE≌Rt△ABF
∴∠AED=∠BFA
10.（2015浙江嘉兴，24，14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.
⑴概念理解
如图1，在四边形ABCD中添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
⑵问题探究
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由.
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC沿∠ABC的平分线方向平移得到，连接，.小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？
⑶应用拓展
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC，BD为对角线，.试探究BC，CD，BD的数量关系.
【答案】⑴AB=BC或BC=CD或CD=AD或DA=AB（任写一个即可）
⑵①正确.理由略
②或或
⑶
【解析】解：⑵①正确.理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴为个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边个形”是菱形
②四由∠ABC=90°，AB=2，BC=1，得AC=
∵将Rt△ABC平移得到
∴，，，，
(Ⅰ)如图2－1，当时，
(Ⅱ)如图2－2，当时，
(Ⅲ)如图2－3，当时，延长交AB于点D，则，
∵平分∠ABC，∴，
∴，∴.
设,则，
∵在中，
∴
解得：(不合题意，舍去)
∴
(Ⅳ)如图2－4，当时，与(Ⅲ)同理得：
设,则
解得：(不合题意，舍去)
∴
⑶如图3，BC，CD，BD的数量关系为：
∵AB=AD，
∴将△ADC线绕点A旋转到△ABF，连接CF，则△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，，
∴△ACF∽△ABD，
∴
∵,
∴，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC=360°－（∠BAD+∠BCD）=360°－90°=270°
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴
∴
11.（2015山东临沂，25，11分）如图1，在正方形ABCD的外侧，作两个等边三角形ADE和DCF，连接AF，BE
（1）请判断：AF与BE的数量关系是，位置关系是；
（2）如图2，若将条件“两个等边三角形ADE和DCF”变成“两个等腰三角形ADE和DCF，且EA=ED=FD=FC”,第（1）问中的结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）若三角形ADE和DCF为一般三角形，且AE=DF，ED=FC，第（1）问中的结论都能成立吗？请直接写出你的判断。
【答案】（1）相等垂直（2）成立（3）成立，AF=BE，AF⊥BE
【解析】解：
（1）因为正方形ABCD，所以AB=AD=CD∠BAD=∠ACD=90°
因为△ADE和△CDE为等边三角形，所以∠DAE=∠CDF=60°,AE=AD,CD=DF
所以∠BAD+∠DAE=∠ACD+∠CDE
所以∠BAE=∠ADE
所以AE=DE
所以在△ADF和△BAE中，AE=DE，∠BAE=∠ADE，AB=AD
所以△ADF≌△BAE所以BE=AF∠ABE=∠DAF
因为∠DAF+∠BAF=90°所以∠ABE+∠BAF=90°
所以∠AMB=90°所以AF⊥BE
(2)因为正方形ABCD，所以AB=AD=CD∠BAD=∠ACD=90°
因为EA=ED=FD=FC
所以△AED≌△DFC
所以∠DAE=∠CDF
所以∠BAD+∠DAE=∠ACD+∠CDE
所以∠BAE=∠ADE
所以在△ADF和△BAE中，AE=DE，∠BAE=∠ADE，AB=AD
所以△ADF≌△BAE所以BE=AF∠ABE=∠DAF
因为∠DAF+∠BAF=90°所以∠ABE+∠BAF=90°
所以∠AMB=90°所以AF⊥BE
(3)成立，AF=BE，AF⊥BE
故答案为：（1）相等垂直（2）成立（3）成立，AF=BE，AF⊥BE
12.(2015贵州省安顺市,24,12分）
如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F
（1）证明AE=DF.
（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由.
解：以边形平行四边形以分菱形
证明：因为DE∥AC，DF∥AB，
所以四边形平行四形以以平行四形菱形
13.（2015山东济南，23，7分）（1）如图，在矩形ABCD中，BF=CE.求证：AE=DF.
【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形.
∴AB=CD∠ABC=∠DCB
∵BF=CE
∴BC－BF=BC－CE
即BE=FC
∴△ABE≌△DCF（SAS）
∴AE=DF
14.（2015四川省绵阳市，25，14分）
【答案】
【解析】解：
（3）①当M在AC上时，即时，易知△AMP为等腰直角三角形．
∵AM=t，∴．
∴．
当M在CG上时，即时，．
∵△ACD≌△GCD（SAS）．∴∠ACD=∠GCD=45°．
∴∠ACM=∠ACD+∠GCD=90°．
∴∠G=90°－∠GCD=90°－45°=45°．
∴△MFG为等腰三角形．
∴FG=MG·cos45°=．．
∴S=S△ACG－S△CMJ－S△FMG=
=．
∴
②在范围内，当时，S的最大值为
在范围内，，
当时，S的最大值为．
∵，∴当秒时，S的最大值为．
15.（2015江苏泰州，25，12分）（本题满分12分）
如图，正方形ABCD的边长为8cm，E、F、G分别是AB、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH.
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）判断直线EG是否经过某一定点，说明理由；
（3）求四边形EFGH面积最小值．
解：ABCD是正方形AE=DH，
∴BE=AH，
∴△AEH≌△BFE，
∴EH=FE，∠AHE=∠BEF，
同理：FE=GF=HG，
∴EH=FE=GF=HG，
∴四边形EFGH是菱形，
∵∠A=90°，
∴∠AHE＋∠AEH=90°，
∴∠BEF＋∠AEH=90°，
∴∠FEH=90°，
∴菱形EFGH是正方形；
解：（2）直线EG经过正方形ABCD的，理由ABCD是正方形AE=CG，
∴BE=DG，
∵∠EOB=∠GOD，
∴△EOB≌△GOD，
∴BO=DO，即点O为BD的中点，
∴直线EG经过正方形ABCD的AE=DH=x，
则AH=8－x，
在Rt△AEH中，EH2=AE2＋AH2=x2＋(8－x)2=2x2－16x＋64=2(x－4)2＋32，
∴四边形EFGH面积最小值16.（2015四川南充，24，10分）如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，．ADP沿点A旋转至ABP’，连结PP’，并延长AP与BC相交于点Q．
（1）求证：APP’是等腰直角三角形；
（2）求BPQ的大小；
（3）求CQ的长．
【答案】。
【解析】，
又∵BP′=，BP=2，
∴PP′2+BP2=BP′2
∴∠BPP′=90°…………………（4分）
∵∠APP′=45°
∴∠BPQ=180°－∠APP′－∠BPP′=45°.…………………（5分）
（3）,则BC=………………（8分）
∵∠BAQ=∠EAB，∠AEB=∠ABQ=90°
∴△ABE∽△AQB
∴，即：
∴AQ=………………（9分）
∴BQ==
∴CQ=BC－BQ=………………（10分）
17.（2015浙江省衢州市，24，12分）如图，在△ABC中，AB=5，AC=9，，动点运
（1）求tanA的值
（3）当t为何值时，正方形PQEF的某个顶点（Q点除外）落在正方形QCGH上，请直接写出t的值
(第)（备用图）
【答案】
【解析】解：
如图①，过E作BI⊥AC于I，∵∴又AC=9，∴BI=3.
在Rt△BIA中，AB=5,BI=3,∴AI=4,
∴tanA=
①
如图②，过P作PL⊥AQ于点L，∵AP=5t,tanA=，
②
∴PL=3t，AL=4t，又∵AQ=9－5t，所以LQ=，
在Rt△PLQ中，PQ2=PL2+LQ2=（3t）2+（9－9t）2=90t2－162t+81（0＜t≤）,
∴当t=时，S存在最小值，最小值为.
t=.
如图③，当E点在正方形QCGH上时，三角形HEQ≌△LPQ，∴HQ=LQ，即5t=9－5t－4t，解得t=
③
如图④，当F点在正方形QCGH上时，分别延长GH，LP，交于点M，易知△PMF≌△QLP，∴MP=LQ，即5t－3t=9－5t－4t，解得t=.
④
如图⑤，当E点,P点都在正方形QCGH上时，可知QE=AQ，即9－5t=4t，解得t=1.
18.（2015浙江宁波，24，10分）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点(横竖格子线的交错点)上，这样的多边形称为格点多边形.记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为，其中m，n为常数.
(1)在下面的方格纸中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形(非菱形)、菱形；
(2)利用(1)中的格点多边形确定m，n的值.
【答案
(2)三角形：a=4，b=6，S=6；
平行四边形：a=3，b=8，S=6；
菱形：a=5，b=4，S=6；
任选两组数据代入S=ma+nb－1，解得m=1，.
19.（201，，分）如图，E、F分别是正方形ABCD的边DC、CB上的点，且DE=CF以AE为边作正方形AEHG，HE与交于点Q连接DF．求证：△ADE≌△DCF；E是CD中点，求证；
△CEQ=S1，S△AED=S2，S△EAQ=S3，在（2）的条件下，判断说明理由．
【答案】（1）由AD=CD∠ADE=∠DCF=90°，DE=CF得△ADE≌△DCF
(2)易证△ADE∽△ECQ．
，所以，即点Q是CF中点．（3）成立理由：△ADE∽△ECQ，所以，所以．∠C=∠AEQ=90°，所以△AEQ∽△ECQ，所以△AEQ∽△ECQ∽△ADE．
，．．
由，即．20.（2015山东潍坊，23，12分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点.分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.
（1）求证：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转角（0°<α<360°）得到正方形，如图2.
①在旋转过程中，当∠是直角时，求的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求长的最大值和此时的度数，直接写出结果不必说明理由.
解：（1）如图1，延长ED交AG于点H.
∵O为正方形ABCD对角线的交点.
∴OA=OD，OA⊥OD.
∵OG=OE，∴Rt△AOG≌Rt△DOE，
∴∠AGO=∠DEO.
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠DEO+∠GAO=90°，
∴∠AHE=90°，即DE⊥AG.
（2）①在旋转过程中，∠成为直角有以下两种情况：
（ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠为直角时，
∵，
∴在Rt△中，，
∴∠.
∵OA⊥OD，∴∠DOG′=90°－∠=30°，即α=30°.
（2）α由90°增大到180°过程中，当∠为直角时，
同理可求的∠AOG′=30°，所以α=90°+∠=150°.
综上，当∠为直角时，α=30°或150°.
②AF′长的最大值是，此时α=315°.
∵AB=BC=CD=AD=1，
∴AC=BD=，AO=OD=．
∴OE′=E′F′=2OD=．
∴OF′=．
∴AF′=AO+OF′=．
∵∠E′OF′=45°
∴旋转角α=360°－45°=315°．
21.（2015江西省，第20题，8分）(1)如图1，纸片□ABCD中，AD＝5，S□ABCD＝15．过点A作AEBC，垂足为E，沿AE剪下△ABE将它平移至△DCE''''D，则四边形AEE''D的形状为()
A． B． C． D．
(2)如图2，在(1)中的四边形纸片AEE''D中，在EE''上取一点F使EF4，剪下△AEF将它平移至△DE''F''的位置拼成四边形AFF''D．
AFF''D是菱形；
②求四边形AFF''D的两条对角线的长
【答案】(1)C（2）答案略
【解析】解：
(1)由平移知：AEDE′,∴四边形AEE′D是平行四边形，又AE⊥BC,∴∠AEE′=90°,
∴四边形AEE′D是矩形，∴C选项正确.
(2)①∵AFDF′,∴四边形AFF′D是平行四边形，∵AE=3,EF=4,∠E=90°,∴AF=5,
∵S□ABCD=AD·AE=15,∴AD=5,∴AD=AF,∴四边形AFF′D是菱形.
②如下图，连接AF′,DF
在Rt△AEF′中，AE=3,EF′=9,∴AF′=
在Rt△′中，FE′=′=AE=3,∴DF=
∴四边形AFF′D两条对角线的长分别是和.
22.(2015浙江省绍兴市，23，12分)(本题12分)
正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=α，其中0°≤α≤180°，连结DF，BF，如图。
(1)若α=0°，则DF=BF，请加以证明；
(2)试画一个图形(即反例)，说明(1)中命题的逆命题是假命题；
(3)对于(1)中命题的逆命题，如果能补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由。
【答案】(1)证明：如图1，正方形ABCD和正方形AEFG中，
∵GF=EF，AG=AE，而AD=AB，
∴DG=BE。
又∵∠DGF=∠BEF=Rt∠，
∴△DGF≌△BEF，∴DF=BF；
(2)解：图形(即反例)如图2；
(3)解：不唯一，如点F在正方形ABCD内或α＜180°。
【解析】本题考查了．23.（2015江苏淮安，27，12分）
阅读理解：
如图①，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，∠B=∠D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”。
将一张如图①所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图②所示形状，再展开得到图③，其中CE、CF为折痕，∠BCE=∠ECF=∠FCD，点B＇为点B的对应点，点D＇为点D的对应点，连接EB＇、FD＇相交于点O。
简单应用：
（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是；
（2）当图③中的∠BCD=120°时，∠AEB＇=;
（3）当图②中的四边形AECF为菱形时，对应图③中的“完美筝形”有个（包含四边形ABCD）。
拓展提升：
当图③中的∠BCD=90°时，连接AB＇，请探求∠AB＇E的度数，并说明理由。
【答案】（1）正方形（2）80°（3）2个45°
【解析】解：（1）因为平行四边形和菱形中不一定有正方形，矩形没有两个邻边相等，所以一定的是正方形。
（2）在图3中，因为∠BCD=120°，∠BCE=∠ECF=∠FCD，
所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=40°又因为∠B=90°，所以∠BEC=50°，
所以∠B＇EC=50°所以∠AEB＇=180°－50°－50°=80°
（3）“完美筝形”有2个，分别为四边形ABCD和OB＇CD＇
∠BCD=90°,四边形ABCD为正方形，
所以∠BCE=∠ECF=∠FCD=30°所以假设BE=X，所以BC=x，所以AB=x，
所以AE=(－1)x，所以∠AEG=60°，所以EG=AG=
所以B’G=x－==AG所以∠AB’G=45°
故答案为（1）正方形（2）80°（3）2个45°
24.（，分）如图在A按顺时针方向旋转，记旋转角∠DAG=，其中0°≤≤180°，如图=0°，则DF=BF.请加以证明.
（2）试画一个图形（反例），说明（1）中命题的逆命题是假命题.
（3）对于（1）中命题的逆命题，如果补充一个条件后能使该逆命题为真命题，请直接写出你认为需要补充的一个条件，不必说明理由.
（1）证明：若=0°，如图1.
∵四边形AEFG是正方形，
∴GF=EF=AG=AE，∠AGF=∠AEF=90°.
∴∠DGF=∠BEF=90°.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∴AD－AG=AB－AE，即DG=BE，
在△DGF和△BEF中，
，
∴△DGF≌△BEF（SAS）
∴BF=DF.
（2）反例如图：DF=BF，但≠0°，=180°.
（3）答案不唯一，如：补充条件：＜180°.
25.(2015年湖南衡阳，28，10分)如图，四边形OABC是边长为4的正方形，点P为OA边上任意一点（与点O、A不重合），连结CP，过点P作PM⊥CP交AB于点D，且PM＝CP，过点M作MN∥OA，交BO于点N，连结ND、BM，设OP＝t.
（1）求点M的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变？并说明理由；
（3）当t为何值时，四边形BNDM的面积最小.
【答案】（１）4+t，t）；（２）不改变；（３）t＝２时，四边形BNDM的面积最小.
【解析】解：（１）如图，过点M作ME⊥Ox于点E，
∵∠CPM＝90°,
∴∠CPO+∠MPE＝90°.
∵∠CPO+∠OCP=90°,
∴∠MPE=∠OCP.
∵∠COP=∠PEM=90°,CP=PM
∴△OCP≌△EPM(AAS),
∴OE=PE=4,OP=ME=t，
∴OE＝４+t，
∴点M的坐标为（４+t，t）.
（２）MN的长度恒为４.
理由：设MN交AB于点F，
∵∠FAE＝∠MEA=∠MFA=90°，
∴四边形FAEM为矩形.
∴ME=FA=t，
∴BF＝４－t.
∵OE＝t+４，OA＝４，
∴AE＝t，
∴FM＝AE＝t，
∵MN∥OA，∠BOA＝45°,
∴∠BNF＝45°,
∴△BNF为等腰直角三角形，
∴NF=FB＝4－t
∴MN=NF+FM=4.
(3)∵DA∥ME
∴，
∴，
DA＝
∴BD＝
∵BD⊥MN
∴
＝（）×4
＝
∴当t＝２时，四边形BNDM的面积最小.
26.（2015贵州遵义，24，10分）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A做AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）证明略；（2）证明略；（3）S菱形ADCF=10．
【解析】解：（1）证明：∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DBE
∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵∠AEF=∠DEB
∴△AEF≌△DEB．
（2）证明：∵△AEF≌△DEB
∴AF=DB
∵D是BC的中点，
∴DC=DB
∴AF=DC
∵AF∥DC
∴四边形ADCF是平行四边形
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，
∴AD=CD
∴□ADCF是菱形．
（3）解：∵菱形ADCF是中心对称图形
∴S菱形ADCF=2S△ADC
∵D是BC的中点，
∴CD=BC
∴S△ADC=S△ABC，即S△ABC=2S△ADC
∴S菱形ADCF=S△ABC=AB·AC=×5×4=10．
27.（2015娄底市，25，10分）
如图，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），连接AP，过点B作BQ⊥AP交CD于点Q，将△BQC沿BQ所在的直线对折得到△BQC′，延长QC′交BA的延长线于点M.
（1）试探究AP与BQ的数量关系，并证明你的结论；
（2）若AB=3，BP=2PC，求QM的长；
（3）当BP=m，PC=n时，求AM.
【答案】
（1）AP=BQ
（2）QM=3.25
（3）AM=
【解析】
解：AP=BQ，理由：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=90°
∵AP⊥QB，∠C=90°
∴∠APB=∠CQB
在Rt△BCQ和Rt△ABP中：AB=BC，∠ABC=∠C，∠APB=∠CQB
∴Rt△BCQ≌Rt△ABP
∴AP=BQ.
（2）由（1）可知：QC=PB,
∵AB=3，PB=2PC
∴QC=2
由折叠的性质可知：QC′=2,∠CQB=∠C′QB，CB=C′B=3
∵DC∥AB
∴∠MBQ=∠CQB
∴∠C′QB=∠MBQ
∴MQ=MB
设AM=x，则QM=3+x，MC′=1+x
在Rt△BMC′中，由勾股定理得：（1+x）2+32=(3+x)2
解得x=0.25
∴QM=3.25
（3）∵BP=m，PC=n
设AM=x，则BM=（m+n）+x，MC′=n+x，C′B=m+n
在Rt△BMC′中，由勾股定理得：（n+x）2+(m+n)2=(m+n+x)2
解得：x=
∴AM=.
D
G
C
F
O
H
A
E
B
第9题图
A
B
C
D
E
J
I
H
G
F
第16题图
O
（第9题
A
E
D
F
C
图7
B
小明的思路
由ABCD，MNEF，易证四边形MNQP是平行四边形，要证□MNQP是菱形，只要证MN=NQ。由已知条件▲，MNEF，可证NG=NF，故只要证GM=FQ，即证△MEG△QFH.易证▲，▲。故只要证MGE=∠QFH。易证MGE=∠GEF，QFH=∠EFH，.即可得证。
图3
(第25题图)
(第25题答图)
E
C
D
B
A
C
D
P
Q
B
A
O
A
B
C
D
P
Q
A
B
C
D
P
Q
E
B
A
E
C
G
D
H
F
（第14题）
A
B
C
D
E
F
G
H
（第24题图）
B2
y
B1
C2
C3
A2
A3
A1
O
C1
D1
D2
x
|
|
