一、选择题
1.6，3分）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD。若B（1，0），则点C的坐标为（）
A.（1，2）【答案】
【】∴BC⊥OD，且点B是OD的中点
OB=BC
∵B（1，0），∴C（1，1）
2.（2015江苏省南京市，3，2分）如图，在△ABC中，DEBC，，则下列结论中正确的是
A．B．
C．D．
【答案】
【解析】周长比等于相似3.（2015浙江嘉兴，5，4分）如图，直线∥∥,直线AC分别交，，于点A，B，C；直线DF分别交，，于点D，E，F.AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则的值为（）
A.B.2C.D.
【答案】D
4.(2015贵州省顺市8,3分)如图点边D的中点C交对角线D于点
A.3：23：11：1 D.1：2
答案
5.（2015四川省绵阳市，12，3分）A．B．C．D．
【答案】【解析】
∴
故选B
6.（2015，1，）°，AC＝3，BC＝4．将边AC沿CE翻
折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为 （）
A． B． C． D．
【答案】
【解答】，解得AE=，CE=，∴DF=，B′F=BF=AB－AE－DF=，选B
7.（2015浙江宁波，10，4分）如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2015次操作后得到的折痕D2014E2014到BC的距离记为h2015.若hl=1，则h2015的值为()
A．B．C．D．
【答案
8.（2015湖南株洲，7，3分）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂是B、D、F，且B＝1，CD＝3那么F的长…….（）
A、B、C、D、
【解析】解：∵AB∥EF∥CD∴△ABE∽△DCE，，同理△BEF∽△BCD∴，故选
9.（2015江苏淮安，8，3分）如图，，直线a、b与分别相交于点A、B、C和点D、E、F。若，DE=4，则EF的长是（）
A．B．C．6D．10
【答案】C
【解析】因为，所以所以所以EF=6故选C
10.j（2015贵州省铜仁市，9，4分）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为()
A.3:4B.9:16C.9:1D.3:1
【答案
11.（2015成都市，1，3分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，BD=3，AE=4，则EC的长为（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】：B
【解析】：?解：根据平行线段的比例关系，，即，，选B。
12.（2015湖南省永州市，8，3分）如下图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）
A．∠ABD＝∠ACBＢ．∠ADB＝∠ABCＣ．AB2＝AD?ACD．
(第8题图)
【答案】D
【解析】解：在△ADB和△ABC中，∠A是它们的公共角,那么当时，才能使△ADB∽△ABC，不是.故答案选D.
二、填空题
1.4，4分）－副三角板叠放如图，则AOB与DOC的面积之比为________答案
2.（2015重庆B卷14，4分）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为2:3，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为________.
【答案】2:3
【解析】解：相似三角形对应中线的比等于相似比.故答案为2:3.
3.（2015浙江省金华市，14，4分）如图直线L1，L2，…，L6是一组等距的平行线，过直线L1上的点A作两条射线，分别与直线L3，L6相交于B，E，C，F，若BC＝2，则EF的长是____________.
【答案】5
4.（2015四川省凉山州市，17，4分）在ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△S△OBC= .
【答案】
【解析】S△ODM：S△OBC=4：9.
5.（2015四川省达州市，14，3分）如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶尖C恰好落在AB边的中点C′上，点D落在D′处，C′D′交AE于点M．若AB＝
【答案
【解析】∵C′是AB的中点，AB＝6，
∴AC′＝BC′＝′C′FE，′F，∠C＝C′，′＝′＝′2＝FC′2，
即32＋BF2＝（9－BF）2，
解得BF＝4，
∴FC′＝又∵∠BFC′＋∠BC′F＝∠AC′M＋∠BC′F＝∠BFC′＝∠AC′M，∠A＝∠B＝90°，
∴△FCB′∽△C′AM，，
即，
∴．
6.（2015湖南省长沙市，17，3分）如图，在中，，，，则的长是________．
(第17题图)
【答案】18
【解析】
7.（2015浙江嘉兴，12，5分）右图是百度地图的一部分（比例尺1﹕4000000），按图可估测杭州在嘉兴的南偏西______度方向上，到嘉兴的实际距离约为______________.
【答案】43，80km(允许误差)
8.（2015山东临沂，18，3分）如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于点0，则=.
【答案】2
【解析】因为BD、CE分别是边AC、AB上的中线，所以D、E为AB、AC的中点，所以DE//BC，所以=2故答案为2
9.（2015江苏泰州，14，3分）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C，AB=6，BD=4，则CD的长为．
【答案
10.（2015天津市，16，3分）如图，在△ABC中，DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3，DB=2，BC=6，则DE的长为
【答案
11.(2015年湖南衡阳，20，3分)如图，△，△，△，…，△都是等腰直角三角形，其中点，，…，在x轴上，点，，…，在直线y＝x上，已知O=1，则的长为.
【答案】
【解析】解：因为点B在直线y＝x上，所以∠＝45°.因为△是等腰直角三角形，所以∠＝90°.＝，所以O＝＝＝1，所以＝2，同理＝＝＝2，所以＝４，同理＝8＝，…，所以＝.故答案为.
12.（2015年江苏扬州市）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A、B、C都在横格线上，若线段AB=4cm，则线段BC=cm
13.（2015贵州省铜仁市，17，4分）如图，∠ACB=90°，D为AB中点，连接DC并延长到点E，使，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF=10，则AB的长为；
【答案
三、解答题
1.（2015山东省青岛市，24，12分）已知：如图①，在□ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB.△ACD沿AC的方向匀速平移得到△PNM，速度为1cm/s；同时，点Q从点C出发，沿着CB方向匀速移动，速度为1cm/s；当△PNM停止平移时，点Q也停止移动，如图②.设移动时间为t(s)（0＜t＜4).连接PQ、MQ、MC.解答下列问题：
(1)当t为何值时，PQ∥MN？
(2)设△QMC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(4)是否存在某一时刻t，使PQ⊥MQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
【答案】解：(1)如图所示，
若PQ∥MN，则有,
∵CQ=PA=t，CP=4－t，QB=5－t，
∴，
即，
解得.
(2)如图所示，
作PD⊥BC于点D，则△CPD∽△CBA，
∴,
∵BA=3，CP=4－t，BC=5，
∴，
∴.
又∵CQ=t，
∴△QMC的面积为：
(3)存在使得.理由如下：
∵，
，
,
∴，
∴，
即，
解得.
∴当时，.
(4)存在某一时刻t=3，使PQ⊥MQ.理由如下：
如图所示，
作ME⊥BC于点E，PD⊥BC于点D，则△CPD∽△CBA，
∴,
∵BA=3，CP=4－t，BC=5，CA=4，
∴，
∴，.
∵PQ⊥MQ，
∴△PDQ∽△QEM，
∴,
即PD·EM=QE·DQ.
∵，
，
，
∴，
即，
∴t=3（0舍去）.
∴当t=3时，使PQ⊥MQ.
2.（2015福建省福州市，24，12分）定义：长宽比为（n为正整数）的矩形称为矩形.下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图所示.
操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G处，折痕为BH.
操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF.
则四边形BCEF为矩形.
证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=.
由折叠性质可知BG=BC=1，AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形.
A=∠BFE.
∴EF∥AD.
∴,
即，
.
∴.
∴四边形BCEF为矩形.
阅读以上内容，回答下列问题：
(1)在图中，所有与CH相等的线段是，tanHBC的值是；
(2)已知四边形BCEF为矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN，如图，求证：四边形BCMN为矩形；
(3)将图中的矩形BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则n的值是.
【答案】解：(1)GH，DG；；
(2)证明：，BC=1，
BD=.
由折叠的性质可知：BP=BC=1，FNM=∠BNM=90°，则四边形BCEF为矩形.
BNM=∠F，
MN∥EF.
∴,
即
BP·BF=BE·BN，
，
∴.
∴四边形BCMN为矩形.
(3)6.
3.＝＝2，求的值；
（3）若＝＝，当为何值时，MN∥BE？
【答案∴MB＝AM．
（2）设MB＝．
∵AB∥CD，
∴△BMF∽△ECF．
∵＝2，
∴＝2．
∴CE＝．
∴AB＝CD＝2CE＝，AM＝AB－MB＝．
∵＝2，
∴BC＝AD＝．
∵MN⊥MC，∠A＝∠ABC＝90°，
∴△AMN∽△BCM．
∴＝，即＝．
∴AN＝，ND＝＝．
∴＝︰＝3．
（3）方法一：∵＝＝，设MB＝，由（2）可得BC＝，CE＝，AM＝．
由△AMN∽△BCM，AN＝，DN＝．
∵DH∥AM，＝，DH＝，
∴HE＝．
∵MBEH是平行四边形，
∴＝．
∴＝4．
方法二：∵＝＝，设MB＝，由（2）可得BC＝，CE＝．
当MN∥BE时，CM⊥BE，可证△MBC∽△BCE．
∴＝．
∴＝．
∴＝4．
4.（2015福建省福州市，25，13分）如图，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足AFE=∠A，DMEF交AC于点M.
(1)证明：DM=DA；
(2)点G在BE上，且BDG=∠C，如图，求证：△DEGECF；
(3)在图中，取CE上一点H，使得CFH=∠B，若BG=1，求EH的长.
【答案】证明：(1)DM∥EF，
AMD=∠AFE.
∵∠AFE=∠A，
AMD=∠A，
DM=DA.
(2)∵D、E分别是AB、BC的中点，
DE∥AC，
DEG=∠C，BDE=∠A，
BDE=∠AFE.
∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.
∵∠BDG=∠C，
EDG=∠FEC,
∴△DEG∽△ECF.
(3)如图所示，
BDG=∠C=∠DEB，B=∠B，
BDG∽△BED.
∴，
即.
A=∠AFE，B=∠CFH，
C=180°－AFE－CFH=∠EFH.
又FEH=∠CEF，
△EFH∽△ECF.
∴，
即.
DE∥AC，DMEF，
四边形DEFM是平行四边形，
EF=DM=AD=BD.
∵BE=EC,
∴EH=BG=1.
解法2：如图所示，
在DG上取一点N，使得DN=FH.
A=∠AFE，ABC=∠CFH，C=∠BDG，
EFH=180°－AFE－CFH=∠C=∠BDG.
∵DE∥AC，DMEF，
四边形DEFM是平行四边形，
EF=DM=AD=BD.
∴△BDN∽△EFH，
BE=EH，BND=∠EHF，
BNG=∠FHC.
∵∠BDG=∠C，DBG=∠CFH，
BGD=∠FHC，
BNG=∠BGD，
BN=BG.
∴EH=BG=1.
解法:3：如图所示，
取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PEAB.
∴∠PEC=∠B，
CFH=∠B，
PEC=∠CFH.
又C=∠C，
CEP∽△CFH，
.
∴△CEF∽△CPH，
CFE=∠CHP.
由（2）可得CFE=∠DGE，
CHP=∠DGE，
PH∥DG.
∵D、P分别为AB、AC的中点，
DP∥GH，DP==BE，
四边形DGHP是平行四边形，
DP=GH=BE.
∴EH=BG=1.
解法4：如图所示，
作△EHF的外接圆交AC于另一点P，连接PE、PH.
则HPC=∠HEF，FHC=∠CPE，
B=∠CFH，C=∠C，
A=∠CHF，
A=∠CPE.
∴PE∥AB.
∵DE∥AC，
四边形ADEP是平行四边形，
DE=AP=，
DE=CP.
∵∠GDE=∠CEF，DEB=∠C，
GDE=∠CPH，
DEG≌△PCH，
GE=HC，
EH=BG=1.
解法5：如图所示，
取AC的中点P，连接PD、PE、PH.
则PEAB.
∴∠PEC=∠B.
又CFH=∠B，
PEC=∠CFH，
又C=∠C，
CEP∽△CFH，
.
∴△CEF∽△CPH，
CEF=∠CPH.
由（2）可得CEF=∠EDG，C=∠DEG.
∵D、E分别为AB、AC的中点，
DE==PC，
DEG≌△PCH，
GE=HC，
EH=BG=1.
5.（2015浙江省湖州市，10，分）(本小题10分已知△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动与A、B不重合，点E与点D同出发，由点C沿BC的延长线运动E不与C重合，DE交AC于点F，点H是线段AF上一点
(1)初步尝试
1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D、E的运动速度相等
求证：HF＝AH＋CF
小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH＝AH，GF＝CF，
思路二：F作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，CM＝AH，HF＝MF，
请你任选一种思路，，：
2)类经探究
如图2，ABC中，∠ABC＝90°，ADH＝BAC＝30°，D、E∶1，求值；
3)延伸
如图3，若在△ABC中，AB＝AC，∠ADH＝∠BAC＝36°，＝m，且点D、E的运动速度相等，试用含m的代数式表示(写出结果，不必写解答过程
【答案】
【解析】
(1)证明方法一选择思路一
过点D作DGBC，交AC于G，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ADG＝＝60°，A＝60°，
ADG是等边三角形，
∴GD＝AD＝CE，
DH⊥AC，GH＝AH，
∵DG∥BC，∴GDF＝∠CEF，DGF＝∠ECF，
∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF，
∴GH＋GF＝AH＋CF，
F＝AH＋CF
方法(选择思路二：
点E作E⊥AC，交AC的延长线于点M，如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠ECM＝60°，
∵DH⊥AC，EM⊥AC，
∴∠AHD＝∠CME＝90°，
∵AD＝CE，
△ADH≌△CEM，
∴AH＝CM，DH＝EM，
∵∠DHF＝∠EMF＝90°，∠DFH＝∠EFM，
∴△DFH≌△EFM，
HF＝MF＝CM＋CF＝AH＋CF
(2)解：过D作DG∥BC，AC于点G，如图2∠ADG＝∠B＝90°，
∵∠BAC＝∠ADH＝30°，
∴∠HGD＝∠HDG＝60°，
∴AH＝GH＝GD，A＝GD，
题意知，AD＝CE，
∴GD＝CE，
DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，
∴△GDF≌△CEF，∴GF＝CF，
∴GH＋GF＝AH＋CF，即HF＝AH＋CF
∴．
(3)．
其思路是这样的，所，过点D作DMBE交AC于点M∠A＝∠ADH＝36°，AB＝AC，
得AH＝HD＝DM，MHD∽△ADM∽△ABC，以MH＝m·MD，DM∥BE，AD＝EC，，
所以MF＝m·FC，
以=
6.(2015浙江台州，，分)时，，求a，b的值；
（3）当时，请直接写出x的取值范围．
【答案①由题意有
四边形是平行四边形
＝1
∴
又
即
当，令
即则
当在上，
此时
∴函数的解析式
由随着的增大而减小有
解之得，
①当则
②当
对称轴,
当,,
，此时2
∴
7.（2015山东德州10分）
(1)问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，DPC=∠A=∠B=90°.
求证：ADBC=AP·BP.
(2)探究
如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图3，在ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.
【答案(1)证明：如图1
，
ADP+∠APD=90°,
∠BPC+∠APD=90°,
∴∠APD=∠BPC.
∴△ADP∽△BPC.
∴
∴AD·BC=AP·BP.
(2)结论ADBC=AP·BP仍成立.
理由：如图2，BPD=∠DPC+∠BPC.
又BPD=∠A+∠ADP.
∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP.
∵∠DPC=∠A=θ.
∴∠BPC=∠ADP.
又A=∠B=θ.
∴△ADP∽△BPC.
∴
∴AD·BC=AP·BP.
(3)如图3，过点D作DEAB于点E.
AD=BD=5,AB=6.
∴AE=BE=3.由勾股定理得DE=4.
以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切.
DC=DE=4.
∴BC=5－4=1,
又AD=BD,
∴∠A=∠B.
由已知，DPC=∠A，
DPC=∠A=∠B.
由（1）、（2）的经验可知ADBC=AP·BP.
又AP=t,BP=6－t,
t(6－t)=51.
解得t1=1,t2=5.
t的值为1秒或5秒.
8.（2015安徽，23，14分）如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是ABCD的中点.过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接GA、GB、GC、GD、EF.若∠AGD=∠BGC.
(1)求证：AD=BC;
(2)求证：△AGD∽△EGF;
(3)如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值.
【答案】(1)略(2)略(3)
【解析】解：(1)证明:∵GE是AB的垂直平分线,∴GA=GB.同理GD=GC.
在△ACD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,CD=GC,∴△AGD≌△BGC,∴AD=BC.
(2)证明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.
在△AGB和△DGC中,,∠AGB=∠DGC,∴△AGB∽△DGC.
∴.又∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF
(3)解:如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH.由△AGD≌△BGC,知∠GAD=∠GBC,在△GAM和△
HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB.
∴∠AGB=∠AHB=90°,∴∠AGE=∠AGB=45°,∴
又△AGD∽△EGF,∴
(本小题解法有多种,如可按图2和按图3作辅助线求解,过程略)
9.（2015江苏省南京市，20，8分）如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且．
（1）求证△ACDCBD；
（2）求ACB的大小．
【答案】
【解析】
（1）证明：CD是边AB上的高，
ADC=∠CDB=90°.
又
△ACD∽△CBD
（2）△ACD∽△CBD
∴∠A=∠BCD
在△ACD中，ADC=90°,
∴∠A+∠ACD=90°.
∴∠BCD+∠ACD=90°
即ACB=90°
10.（2015上海市，23，12分）已知：如图5，平行点且=OB，联结
求证DE⊥BE；
如果OE⊥CD，求证BDDE
【答案】(1)证明略；（证明
【解析】解：（1）∵OB=OE，∴∠OEB=∠OBE
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD；
∵OB=OE，∴OD=OE，∴∠OED=∠ODE；
∵在△BED中，∠OEB+∠OBE+∠OED+∠ODE=180
∴∠OEB+∠OED=，即=90，故
（2）设OE交CD于H，
∵OE⊥CD于H，∴∠CHE=90，∴∠CEH+∠HCE=90∠OBE=∠
∵∠CED=90，∴∠CDE+∠DCE=90
∴∠CDE=∠CEH；
∵∠OEB=∠OBE，∴∠OBE=∠CDE；
在△CED与△DEB中
∴△CED∽△DEB
∴
11.（2015江苏泰州，23，10分）（本题满分10分）
如图，某仓储中心有一斜坡AB，其坡度为i=1﹕2，顶部A处的高AC为4m，B、C在同一水平面上.
（1）求斜坡AB的水平宽度BC；
（2）矩形DEFG为长方形货柜的侧面图，其中DE=2.5m，EF=2m．将货柜沿斜坡向上运送，当BF=3.5m时，求点D离地面的高．≈2.236，结果精确到0.1m）
解：斜坡AB坡度为i=1﹕2，,
∵AC=4m，
∴BC=8m；
（2）过点D作BC的垂线，垂足为点H，交AB于点M，
在矩形DEFGEF=2m，GF=DE=2.5m，，
∴GM=1cm，
∴FM=1.5m，DM=m，
∴BM=FM＋BF=5m，
在Rt△BHM中，BM2=MH2＋BH2，BH=2MH，
∴MH=m，
∴DH=2m≈4.5m．
12.（2015四川南充，22，8分））如图，矩形纸片ABCD，将AMP和BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合再将CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上点F处．
（1）（2）如果AM＝1，sinDMF＝，求AB的长．
【答案】【解析】解：,即BQ=。
由△AMP∽△CQD得，,即CQ=2。
AD=BC=BQ+CQ=+1
又∵在Rt△FDM中，sin,DF
=DC=2x，
∴
变形得，，解方程得，，（不合题意，舍去）
即AB=6
13.（2015，，）°？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．
【答案】解：1≤m≤9；（2）m的值为3.5或6.5．
【解答】由题可得，BC=5，B、C两点在y=2的直线上，直线y=2与y轴交于点G，过A点作AH⊥BC，垂足为H，易得△OPG∽△PAH，∴，设GP=x，则，解之得x=1或x=4，故存在以下两种情况
如图1，当∠OPA=90°时，GP=1时，P点在BC上，得，解之得：1≤m≤6
当如图2，当∠OPA=90°时，GP=4时，P点在BC上，得，解之得：4≤m≤9
综上可得，1≤m≤9
（2）∵BC∥OA，BC=OA=5、
∴四边形OABC是平行四边形
∴AB∥OC
延长AQ交OC延长线于点M
∴∠3=∠M
∵AQ平分∠OAB
∴∠2=∠3
∴∠2=∠M
∴OA=OM
且OQ平分∠AOC，
∴OQ⊥AQ，AQ=MQ
由（1）得此时Q点坐标为（1，2）或（4，2），如图3，4
在△AQB和△MQC中
∴△AQB≌△MQC
∴CQ=BQ
当Q点坐标为（1，2）时
m－1=1－（m－5）
解之得m=3.5
当Q点坐标为（4，2）时
m－4=4－（m－5）
解之得m=6.5
综上可得，当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，m的值为3.5或6.5．
14.（2015，，）°，OM＝4，OQ＝1，求证：CN⊥OB．
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问：－的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）的值不变；②0＜≤
【解答】（1）证明：如图1，∵PQ∥OA，PM∥OB
∴四边形OMPQ是平行四边形
∴PQ=OM=4
∴
∴PQ=4，OC=6，OQ=1
∴QN=2
∴ON=3
取OC中点E，连接NE
∴ON=OE=3
∵∠AOB=60°
∴△ONE是等边三角形
∴∠ONE=∠NEO=60°
∴NE=OE=OC=3
∴∠ENC=∠ECN=30°
∴∠ONC=∠ONE+∠ENC=90°
∴CN⊥OB
（2）①的值不变，理由如下：如图2，
∵四边形OMPQ是菱形
∴OM=OQ=PQ
∵四边形OMPQ是菱形
∴PQ∥OC
∴
∴
∵OC=6
∴
②过点Q作QG垂直OC，垂足为G，记作h1，过点N作NH垂直OC，垂足为H，记作h2
∴
∵QG⊥OC，NH⊥OC
∴∠QGO=∠NHO=90°
∴QG∥NH
∴
∵四边形OMPQ是菱形
∴PQ∥OC
∴
∴
设ON=a，QN=x，则OQ=a－x
∴
当x=时，有最大值
∴0＜≤
15.（2015山东省威海市，23，10分）
（1）如图，已知ACB=∠DCE=90°，AC=BC=6，CD=CE，AE=3，CAE=45°．
求AD的长．
（2）如图，已知ACB=∠DCE=90°，ABC=∠CED=∠CAE=30°，AC=3，AE=8，
求AD的长．
（第23题图）（第23题图）
【答案】(1)AD=9(2)AD=．
【解析】解：（1）连接BE．
（第23题图）
ACB=∠DCE=90°，
ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE．即BCE=∠ACD．
又AC=BC，CD=CE，
ACD≌△BCE，AD=BE．
AC=BC=6，AB=．
BAC=∠CAE=45°，BAE=90°．
在Rt△BAE中，AB=，AE=3，
BE==9，AD=9．
（2）连接BE．
（第23题图）
在Rt△ACB和Rt△DCE中，ABC=∠CED=30°，
．
ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠BCD+∠DCE．即BCE=∠ACD．
ACD∽△BCE．
．
BAC=60°∠CAE=30°，BAE=90°
∴在Rt△ACB中，AC=3，ABC=30°，AB=6，
在Rt△BAE中，AB=6，AE=8，BE=10，
，AD=．
16.m（2015浙江省杭州市，22，12分）如图，在△ABC中（BC＞AC），∠ACB=90°，点D在AB边上，DE⊥AC于点E.
（1）若，AE=2，求EC的长；
（2）设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F,C,G为顶点的三角形与△EDC有一个锐角相等，FG交CD于点P.问：线段CP可能是△CFG的高线还是中线？或两者都有可能？请说明理由.
（第22题）
解：.
因为，AE=2，所以，解得EC=6.
（2）①若∠CFG1=∠ECD.此时线段CP1为Rt△CFG1边上的中线.
证明：因为∠CFG1=∠ECD，所以∠CFG1=∠FCP1，
又因为∠CFG1+∠CG1F=90°，∠FCP1+∠P1CG1=90°，
所以∠CG1F=∠P1CG1，所以CP1=G1P1，
又因为∠CFG1=∠FCP1，所以CP1=FP1，所以CP1=FP1=G1P1，
所以线段CP1为Rt△CFG1的FG1边上的中线.
②若∠CFG2=∠EDC.此时线段CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.
证明：因为∠CFG2=∠EDC，
因为DE⊥AC，所以∠DEC=90°，
所以∠EDC+∠ECD=90°，
所以∠ECD+∠CFG2=∠ECD+∠EDC=90°，
所以CP2⊥FG2，即CP2为Rt△CFG2的FG2边上的高线.
③当CD为∠ACB的平分线时，CP既是△CFG的FG边上的高线又是中线.
17.（2015山东省菏泽市，16①，6分）
（1）如图，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离
解18.(2015浙江省绍兴市，24，12分)(本题14分)
在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P，点Q分别是边BC，边AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点。
(1)若四边形OABC为矩形，如图1，
①求点B的坐标；
②若BQ:BP=1:2，且点B1落在OA上，求点B1的坐标；
(2)若四边形OABC为平行四边形，如图2，且OC⊥AC，过点B1作B1F∥x轴，与对角线AC、边OC分别交于点E、点F。若B1E:B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围。
【答案】(1)①点B(4，2)；
②如图1，过点P作PD⊥OA，垂足为点D。
∵BQ:BP=1:2，点B关于PQ的对称点为B1，
∴B1Q:B1P=1:2.
∵∠PDB1=∠PB1Q=∠B1AQ=90°，
∴∠PB1D=∠B1QA，
∴△PB1D∽△B1QA，
∴=2，
∴BA=1，
∴OB1=3，即点B1(3，0)；
(2)∵四边形OABC为平行四边形，OA=4，OC=2，且OC⊥AC，
∴∠OAC=30°，
∴点C(1，)。
∵B1E:B1F=1:3，
∴点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上。
①当点B1在线段EF的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，
∴B1G=m。
设OG=a，则GF=a，OF=a，
∴CF=2－a，
∴EF=4－a，B1E=2－a
∴B1G=B1E+EF+FG=(2－a)+(4－a)+a=m，
∴a=－m+，即B1的纵坐标为－m+，
m的取值范围为≤m≤1+；
②当点B1在线段EF(除点E、F)上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，
∴B1G=m。
设OG=a，则GF=a，OF=a，
∴CF=2－a，
∴FE=4－a，B1F=EF=3－a
∴B1G=B1F+FG=(3－a)+a=m，
∴a=－m+，即B1的纵坐标为－m+，
m的取值范围为≤m≤3.
【解析】本题考查了．1D∽△B1QA，从而求得BA=1、OB1=3，即可得点B1坐标为(3，0)；第(2)题，先求得点C(1，)，再根据条件B1E:B1F=1:3，结合图形可得点B1不与点E、F重合、也不在线段EF的延长线上，从而分为①当点B1在线段EF的延长线上；②点B1在线段EF(除点E、F)上，进行问题讨论。
19.（，分）在平面直角坐标系中，x轴正半轴上，OA=4，OC=2，点P、Q分别是边BC、AB上的点，连结AC、PQ，点B1是点B关于PQ的对称点.
(1)若四边形OABC为矩形如图如图B1E:B1F=1:3，点B1的横坐标为m，求点B1的纵坐标，并直接写出m的取值范围.
【答案矩形）.
∵B1E:B1F=1:3，
∴点B1不与点E、F重合，也不在线段EF的延长线上.
①当点B1在线段FE的延长线上时，如图2，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，
∴B1G=m.
设OG=a，则GF=，OF=，
∴CF=2－.
∴FE=4－，B1E=2－.
∴B1G=B1E+EF+FG=m.
∴a=，点B1的纵坐标为.
m的取值范围是.
②当点B1在线段EF（除点E、F）上时，如图3，延长B1F与y轴交于点G，点B1的横坐标为m，B1F∥x轴，B1E:B1F=1:3，
∴B1G=m.
设OG=a，则GF=，OF=，
∴CF=2－.
∴FE=4－，B1F=.
∴B1G=B1F+FG=m.
∴a=，点B1的纵坐标为.
m的取值范围是.
20.（2015成都市（本小题满分10分）分别为四边形和的对角线，点在内，。
（1）如图①，当四边形和均为正方形时，连接。
1)求证：∽；2），求的长。
（2）如图②，当四边形和均为矩形，且时，若，
求的值；
（3）如图③，当四边形和均为菱形，且时，
设，试探究三者之间满足的等量关系。（直接写出结果，不必写出解答过程）
【答案】：（1）见解析，2）；（2）；（3）
【解析】：（1）
，
又，
CAE∽△CBF
（2），，由可△CAE∽△CBF得，
又，，即
由，解得
（2）连接，同理可得，由，可得
，所以，。
，解得。
（3）连接，同理可得，过作延长线于，
可解得，，
E
A
P
O
Q
C
D
F
B
第23题图
（第14题图）
（第23题图）
4m
（第23题答图）
4m
A
D
B
C
P
Q
M
E
F
C
B
A
E
D
F
B′
（第10题）
G
G
（第28题）
A
C
M
O
Q
N
B
P
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
F
G1
G2
P1
P2
A
B
C
D
E
F
第9题图
A
B
C
D
E
F
第17题图
图②
图①
图③
n
m
p
A
B
D
C
G
E
F
D
A
B
C
F
E
G
D
A
B
C
E
G
F
图②
图①
图③
n
m
p
A
B
D
C
G
E
F
D
A
B
C
F
E
G
D
A
B
C
E
G
F
H
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