向量的两个性质在解题中的应用
罗文军
(甘肃省秦安县第二中学，741600)
本文给出向量的两条性质，并举例说明
这两条性质在解题中的应用．
首先，由向量基础知识不难给出以下性
质1．
性质1m·n≤|m||n|，当m与n同向
时取等号．
笔者用性质1来解几道高考题与竞赛题，
解答过程简洁，明了，给人耳目一新的感觉．
现介绍如下，以供参考．
例1(2013年全国高考题)设a，b，c均
为正数，且a+b+c=1，证明
(1)ab+bc+ca≤
1
3
;
(2)
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
a
≥1．
证明(1)略．
(2)设m=
a
槡
b
，
b
槡
c
，
c
槡
()
a
，n=(
槡
b，
槡
c，
槡
a)，则m·n=a+b+c，|m|=
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
槡
a
，|n
槡
|=b+c+a．
由m·n≤|m||n|，得a+b+c≤
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
槡
a
·
槡
b+c+a，即
a
2
b
+
b
2
c
+
c
2
a
≥a+b+c=1
櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷
．
=(b+1)+
1
b－1
+(a+1)+
1
a－1
=4+(b－1)+
1
b－1
+(a－1)+
1
a－1
≥4+2+2=8，
所以，A≥B≥8，即
a
2
b－1
+
b
2
a－1
≥8．
例4证明:
1
15
＜
1×3×5×…×99
2×4×6×…×100
＜
1
10
．
证明设A=
1×3×5×…×99
2×4×6×…×100
，
B=
2
3
×
4
5
×
6
7
×…×
98
99
×
100
101
．
∵
n－1
n
＜
n
n+1
，∴A＜B，
∴A
2
＜AB=
1
101
＜
1
100
，
∴A＜
1
10
．
又2A=
3
4
×
5
6
×
7
8
×…×
99
100
×1
＞
2
3
×
4
5
×
6
7
×…×
98
99
×
100
101
=B，
∴2A
2
＞AB=
1
101
，
A＞
1
2
槡
01
＞
1
15
，
∴
1
15
＜A＜
1
10
，
即
1
15
＜
1×3×5×…×99
2×4×6×…×100
＜
1
10
．
构造对偶式证明不等式，是一条解题捷
径，有着较为广泛的运用，对于培养学生数学
思维的灵活性、独创性、敏捷性，非常有效．
·54·
第12期高中数学教与学
当且仅当m与n同向时，
a
槡
b
∶
槡
b=
b
槡
c
∶
槡
c
=
c
槡
a
∶
槡
a＞0，即a=b=c=
1
3
时，等号成
立．得证．
例2(2013年全国高考题)设当x=θ
时，函数f(x)=sinx－2cosx取得最大值，则
cosθ=．
解设m=(1，－2)，n=(sinx，
cosx)，由m·n≤|m||n|，得
sinx－2cosx≤
槡
5．
当且仅当m与n同向时，1∶sinx=(－2)∶
cosx＞0，即sinx=
槡
5
5
，cosx=－
槡
25
5
时等号
成立．
因为当x=θ时，函数f(x)=sinx－
2cosx取得最大值，所以cosθ=－
槡
25
5
．
例3(2015年重庆高考题)设a，b＞0，
a+b=5，则a+
槡
1+b+
槡
3的最大值为
．
解取m=(1，1)，n=(a+
槡
1，
b+
槡
3)，则
m·n=a+
槡
1+b+
槡
3，
|m||n|=
槡
32．
根据m·n≤|m||n|，得
a+
槡
1+b+
槡
3≤
槡
32．
当m与n同向时，a+
槡
1=b+
槡
3，故a=
7
2
，b=
3
2
时，a+
槡
1+b+
槡
3取最大值
槡
32．
其次，由性质1不难给出以下性质2．
性质2若|m|=|n|，且m·n=|m|
|n|，则m=n．
例4(2012年辽宁高考题)已知sinα－
cosα=
槡
2，α∈(0，π)，则tanα=()
(A)－1(B)－
槡
2
2
(C)
槡
2
2
(D)1
解构造向量
m=(1，1)，n=(
槡
2sinα，
槡
2cosα)，
则|m|=|n|=
槡
2，
m·n=|m||n|=2，
所以m=n，即sinα=
槡
2
2
，cosα=－
槡
2
2
．
所以tanα=
sinα
cosα
=－1，故选A．
例5(2012年湖北高考题)设a，b，c，x，
y，z是正数，且a
2
+b
2
+c
2
=10，x
2
+y
2
+z
2
=
40，ax+by+cz=20，则
a+b+c
x+y+z
=()
(A)
1
4
(B)
1
3
(C)
1
2
(D)
3
4
解构造向量
m=
槡
10
10
(a，b，c)，n=
槡
10
20
(x，y，z)，
则|m|=|n|=1，且m·n=|m||n|=1．
于是由性质2知m=n，从而
槡
10
10
a=
槡
10
20
x，
槡
10
10
b=
槡
10
20
y，
槡
10
10
c=
槡
10
20
z，
即a=
1
2
x，b=
1
2
y，c=
1
2
z，
所以，
a+b+c
x+y+z
=
1
2
(x+y+z)
x+y+z
=
1
2
．
故选C．
例6(2013年湖北高考题)设x，y，z∈
Ｒ，且满足:x
2
+y
2
+z
2
=1，x+2y+3z=
槡
14，
则x+y+z=．
解设m=(x，y，z)，n=
1
槡
14
(1，2，3)，
则|m|=|n|=1，m·n=|m||n|=1，
于是m=n．
从而x=
槡
14
14
，y=
槡
14
7
，z=
槡
314
14
，
所以x+y+z=
槡
314
7
．
以上几例说明，若能善于观察题目特征，
构造恰当的向量并利用向量性质来解题，就
可使解题难点转移，使解题过程优化．
·64·
高中数学教与学2015年
|
|
